Materiaal foar kontinuïteitsfergeliking
Besykje de wetterkraan stadich iepen te iepenjen wylst jo de stream fan wetter observearje dy't út 'e kraan komt. Sadree't de kraan ophâldt mei draaien, blokkearje de kraan dan foar in part mei jo hân. Fergelykje no hokker wetterstream de grutste is. As jo in slang hawwe dy't normaal brûkt wurdt foar it wetter jaan fan blommen, lit it wetter der dan trochhinne streame. Blokkearje de slang foar in part mei jo hân of finger. Hoe mear fan 'e slang blokkearre is, hoe rapper it wetter derút streamt. Omkeard, as de slang net blokkearre is, sil it wetter minder fluch streame. Wêrom is dit sa? Om dit te begripen, bestudearje asjebleaft de kontinuïteitsfergeliking.
Streamlines en streambuizen
Earst, lit ús de konsepten fan streamlinen en streambuizen begripe. Dit konsept is wichtich, om't it jo sil helpe om de kontinuïteitsfergeliking te begripen.
Streamline
Sjoch nei de ôfbylding hjirûnder, de blauwe line is de Streamline.
Yn in fêste stream bliuwt de snelheid fan elk floeistofdieltsje op in punt, bygelyks punt A, konstant. As it punt B passearret, kin de snelheid fan 'e floeistofdieltsjes feroarje. By oankomst op punt B bliuwe de floeistofdieltsjes dy't derachter komme lykwols mei deselde snelheid streame as de floeistofdieltsjes dy't har foargongen. Itselde jildt by oankomst op punt C, ensafuorthinne. De streamline is de kromme dy't de punten A, B en C ferbynt.
Trochstreamingsbuis
Yn essinsje kinne wy elke streamline tekenje troch elk punt yn 'e floeistofstream. As wy in konstante floeistofstream beskôgje, foarmje in oantal streamlinen dy't troch in bepaalde hoeke op in tinkbyldige oerflak (tinbylde oerflak) geane in streambuis. Gjin floeistofdieltsjes kruse inoar mar binne altyd parallel, en de streambuis sil lykje op in piip dy't altyd deselde foarm hat. Floeistof dy't oan it iene ein fan 'e buis yngiet, sil oan it oare ein de buis ferlitte.
Debit
De ûntlading jout it folume oan fan in floeistof dy't troch in bepaalde dwersdoorsnede streamt yn in bepaald tiidsynterval. Wiskundich kin it as folget útdrukt wurde:
Om jo begryp fierder te ferbetterjen, litte wy in foarbyld brûke. Stel dat in floeistof troch in piip streamt. Piipen binne meastentiids silindrysk en hawwe in spesifike dwerstrochsneed. De piip hat ek in lingte.
As de floeistof yn 'e piip streamt oant L, dan is it folume fan floeistof yn 'e piip V = AL (V = floeistofvolume, A = dwerstrochsneedoppervlakte en L = piiplingte). Omdat tidens de stream yn 'e piip lâns L de floeistof in bepaald tiidsynterval ôfleit, kinne wy sizze dat de grutte fan 'e floeistofûntlading is:
Omdat v = s/t = L/t —> L = vt, wurdt de boppesteande fergeliking feroare nei:
Dus, as floeistof troch in piip streamt dy't in bepaalde dwersdoorsnede en lingte hat foar in bepaald tiidsynterval, is de grutte fan 'e floeistofûntlading (Q) gelyk oan it dwersdoorsnede-oerflakgebiet (A) fermannichfâldige mei de floeistofstreamsnelheid (v).
Kontinuïteitsfergeliking
Beskôgje de floeistofstream yn in piip mei ferskillende diameters, lykas werjûn yn 'e ôfbylding hjirûnder.
Dizze ôfbylding lit floeistofstream sjen fan lofts nei rjochts (floeistof streamt fan in piip mei in grutte diameter nei in piip mei in lytse diameter). De stippele linen binne streamlinen.
Ofbyldingsûnderskrift: A1 = dwerstrochsneedgebiet fan 'e piipseksje mei grutte diameter, A2 = dwerstrochsneedgebiet fan 'e piipseksje mei lytse diameter, v1 = floeistofstreamsnelheid yn 'e piipseksje mei grutte diameter, v2 = floeistofstreamsnelheid yn 'e piipseksje mei lytse diameter, L = ôfstân dy't de floeistof ôfleit.
Yn 'e ynlieding ta floeistofdynamika waard útlein dat wy yn floeistofdynamika de stream fan floeistoffen beprate dy't net-kompressibel, net-viskwyt, net-turbulent en stabyl binne. Yn in stabyl stream is de snelheid fan floeistofdieltsjes op in punt itselde as de snelheid fan oare floeistofdieltsjes dy't troch dat punt geane. De floeistofstreamingen kruse inoar ek net (de streamlinen binne parallel). Dêrom moat de massa floeistof dy't it iene ein fan 'e piip yngiet gelyk wêze oan de massa floeistof dy't it oare ein ferlit. As in floeistof mei in bepaalde massa in piip mei in grutte diameter yngiet, dan sil de floeistof de piip ferlitte mei in lytse diameter mei in konstante massa.
Sjoch no nei de ôfbylding fan 'e piip hjirboppe. Sjoch nei it diel fan 'e piip mei de grutte diameter en it diel fan 'e piip mei de lytse diameter.
Tidens in bepaald tiidsynterval streamt in bepaalde hoemannichte floeistof troch in seksje piip mei in grutte diameter (A).1) oant L1 (L1 =v1 t). It folume fan floeistof dy't streamt is V1 = A.1 L1 = A.1 v1 t. Tidens itselde tiidsynterval streamt in oare hoemannichte floeistof troch in seksje piip mei in lytsere diameter (A).2) oant L2 (L2 =v2 t). It folume fan floeistof dy't streamt is V2 = A.2 L2 = A.2 v2 t.
Kontinuïteitsfergeliking foar ûnkomprimeerbere floeistoffen (yncompressible)
Earst, lit ús it gefal fan in net-kompressibele floeistof beskôgje. Yn in net-kompressibele floeistof is de tichtheid, of massa, fan 'e floeistof altyd itselde op elk punt wêr't it trochhinne giet. De massa floeistof dy't yn in piip streamt mei in dwersdoorsnede A1 ( de grutte diameter fan 'e piip) yn in bepaald tiidsynterval is:
Likegoed is de massa floeistof dy't yn in piip streamt mei in dwersdoorsnede fan A2 ( lytse piipdiameter) tidens in bepaald tiidsynterval:
Mei it each op it feit dat by in konstante stream de massa fan floeistof dy't ynkomt itselde is as de massa fan floeistof dy't útgiet, dan:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (floeistoftichtens en tiidsynterval binne itselde, dus se annulearje inoar)
A 1 tsjin 1 = A 2 tsjin 2
Dus, yn ûnkomprimeerbere floeistoffen jildt de kontinuïteitsfergeliking:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Fergeliking 1
Ynformaasje:
A1 = dwerstrochsneedoppervlakte 1, A2 = dwerstrochsneedoppervlakte 2, v1 = floeistofstreamsnelheid by dwerstrochsneed 1, v2 = floeistofstreamsnelheid by dwerstrochsneed 2 , Av = folumestreamsnelheid V/t aka ûntlading
Fergeliking 1 lit sjen dat de folumestreamsnelheid, ek wol ûntlading neamd, altyd itselde is op elk punt lâns in piip of streambuis. As de piipdwersdoorsnede ôfnimt, nimt de floeistofstreamsnelheid ta; oarsom, as de piipdwersdoorsnede tanimt, nimt de floeistofstreamsnelheid ôf.
As wy de kraan foar in part tichtmeitsje, wurdt de wetterstream rapper as wannear't de kraan foar in part ticht is. Dit komt om't de dwerstrochsneed fan 'e kraan ôfnimt as de kraan foar in part ticht is, wêrtroch't de wetterstream tanimt (floeistof streamt rapper). Itselde jildt foar slangen. It is lykwols wichtich om te notearjen dat de ûntlading of volumetryske streamsnelheid op alle punten lâns de wetterstream itselde bliuwt, oft de kraan no foar in part ticht is of net. Wat dus feroaret, is de floeistofstreamsnelheid.
Dus hoe sit it mei de stream fan wetter yn in rivier? Djippe stikken fan in rivier hawwe in gruttere dwerstrochsneed as ûndjippere stikken, sadat de wetterstream yn djippere stikken leger is as yn ûndjippere stikken. As jo in heul kalme rivierstream sjogge, betsjut dat dat de rivier djip is. Mar as de rivier ynienen hurd streamt, is dat stik perfoarst ûndjip. De streamsnelheid fan it wetterfolume is lykwols altyd itselde, of it no yn djippe of kalme stikken fan 'e rivier is.
Kontinuïteitsfergeliking foar kompressibele floeistoffen (compressible)
Yn it gefal fan kompressibele floeistoffen is de tichtheid fan 'e floeistof net altyd itselde. Mei oare wurden, de tichtheid fan 'e floeistof feroaret by komprimearring. Wylst yn net-kompressibele floeistoffen de tichtheid fan 'e floeistof út 'e fergeliking eliminearre wurdt, is yn dit gefal de tichtheid fan 'e floeistof noch altyd opnommen. Mei ferwizing nei de earder ôflaatte fergeliking, litte wy de fergeliking foar kompressibele floeistoffen ôfliede.
Mei it each op it feit dat by in konstante stream de massa fan floeistof dy't ynkomt itselde is as de massa fan floeistof dy't útgiet, dan:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
It tiidsynterval fan floeistofstream is itselde, sadat it eliminearre wurde kin. De fergeliking feroaret nei:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Fergeliking 2
Dit is de fergeliking foar in kompressibele floeistof. It ienige ferskil leit yn 'e tichtens fan' e floeistof. As in floeistof komprimearre wurdt, feroaret syn tichtens. Omkeard, as in floeistof net kompressibel is, bliuwt syn tichtens konstant en kin it útskeakele wurde.
Foarbyldfraach 1:
Wetter streamt troch in piip mei in diameter fan 10 sm mei in snelheid fan 2 m/s. Wat is de wetterôffier?
Diskusje
It is bekend dat:
Piipdiameter = 10 sm (dit is de binnendiameter fan 'e piip)
Radius fan piip (r) = 5 sm = 0,05 m
v wetter = 2 m/s
Fraach: Debet
Antwurd:
Q = In v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Foarbyldfraach 2:
In wetterlieding mei in diameter fan 20 sm is ferbûn mei in oare lieding mei in diameter fan 10 sm. As de wetterstreamsnelheid yn 'e lieding mei in diameter fan 20 sm = 4 m/s is, wat is dan de wetterstreamsnelheid yn 'e lieding mei in diameter fan 10 sm?
Diskusje
It is bekend dat:
Diameter 1 = 20 sm (r1 = 10 sm = 0,1 m)
v1 = 4 m/s
Diameter 2 = 10 sm (r2 = 5 sm = 0,05 m)
Fraach steld: v 1
Antwurd:
Q 1 = Q 2
A 1 tsjin 1 = A 2 tsjin 2
(π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v2 = 16 m/s
