Bernoulli's prinsipe en fergelikingsmateriaal
KAs wy frij hurd motorfyts ride, dan pûlje de klean dy't wy drage oan 'e efterkant omheech. As jo noch gjin motorfyts ride kinne, let dan goed op jo âlden of freonen dy't motorfyts ride. De efterkant fan harren klean pûlje meastentiids oan 'e efterkant omheech as de motorfyts hurd giet. Soms, as it hurd waait, kin de doar fan it hûs fansels tichtgean. Sels as de wyn bûten it hûs waait, wylst de doar yn it hûs is.
Dit kin útlein wurde mei it prinsipe fan Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700–1782) ûntduts in prinsipe dat brûkt wurde kin om út te lizzen guon fan 'e boppesteande.
Bernoulli's Prinsipe
It prinsipe fan Bernoulli stelt dat as de streamsnelheid fan 'e floeistof heech is, de floeistofdruk leech is. Omkeard, as de streamsnelheid fan 'e floeistof leech is, wurdt de druk heech. As in motorfyts hurd beweecht, is de loftsnelheid foar en neist jo lichem heech. Sa wurdt de loftdruk leech. De efterkant fan jo lichem wurdt blokkearre troch de foarkant fan jo lichem, sadat de loftsnelheid efter jo lichem net feroaret nei heech (krekt efter jo lichem). As gefolch wurdt de loftdruk efter jo lichem grutter. Omdat der in ferskil yn loftdruk is, as de loftdruk krekt efter jo lichem grutter is, drukt de loft jo shirt nei efteren, wêrtroch't it liket as is it oan 'e efterkant útpuffd.
Hoe sit it mei in doar dy't fan himsels slút as de wyn hurd bûten waait? De loft bûten beweecht rapper as de loft binnen. Dêrtroch is de loftdruk bûten leger as de loftdruk binnen. Fanwegen dit ferskil yn druk, dêr't de loftdruk binnen heger is, wurdt de doar nei bûten skood. Mei oare wurden, de doar beweecht fan in plak mei hegere loftdruk nei in plak mei legere loftdruk.
Bernoulli's fergeliking
Earder hawwe wy leard oer it prinsipe fan Bernoulli. Bernoulli ûntwikkele dit prinsipe ek kwantitatyf. Om de Bernoulli-fergeliking ôf te lieden, nimme wy oan dat der in stabile, laminêre floeistofstream is, dat der net kompressibel is en dat der in lege viskositeit is, dy't negearre wurde kinne.
Yn 'e diskusje oer de Kontinuïteitsfergeliking hawwe wy leard dat de floeistofstreamsnelheid ek kin farieare ôfhinklik fan it dwerstrochsneedgebiet fan 'e streambuis. Op basis fan it hjirboppe útleine Bernoulli-prinsipe kin de floeistofdruk ek farieare ôfhinklik fan 'e floeistofstreamsnelheid. De floeistofdruk kin ek farieare ôfhinklik fan 'e hichte fan 'e floeistof. De relaasje tusken druk, streamsnelheid en streamhichte kin wurde krigen út 'e Bernoulli-fergeliking.
De Bernoulli-fergeliking is tige wichtich, om't it brûkt wurde kin om fleantugen, wetterkrêftsintrales, piipsystemen, ensfh. te analysearjen. Om de Bernoulli-fergeliking dy't wy ôfliede sille algemien fan tapassing te meitsjen, sille wy oannimme dat de floeistof troch in streambuis streamt mei ûngelikense dwerstrochsneedoppervlakken en ek ferskillende hichten (sjoch de ôfbylding hjirûnder). Om de Bernoulli-fergeliking ôf te lieden, tapasse wy de arbeid- en enerzjystelling op 'e floeistof yn it streambuisgebiet. Dêrnei sille wy de hoemannichte floeistof en it wurk berekkenje dat dien wurdt om de floeistof te ferpleatsen.
De ûntrochsichtige kleur yn 'e streambuis yn' e ôfbylding jout floeistofstream oan, wylst de wite kleur gjin floeistof oanjout.
De floeistof by dwerssnit 1 (linkerkant) streamt in ôfstân L1 en twingt de floeistof by dwerssnit 2 (rjochterkant) om in ôfstân L te bewegen2Omdat de dwersdoorsnede 2 oan 'e rjochterkant lytser is, is de floeistofstreamsnelheid oan 'e rjochterkant fan 'e streambuis grutter (Tink oan 'e kontinuïteitsfergeliking). Dit feroarsaket in drukferskil tusken dwersdoorsnede 2 (de rjochterkant fan 'e streambuis) en dwersdoorsnede 1 (de linkerkant fan 'e streambuis) - Tink oan it prinsipe fan Bernoulli. De floeistof links fan dwersdoorsnede 1 oefenet in druk P út.1 op 'e floeistof oan 'e rjochterkant en docht wurk fan:
Dan de fergeliking W1 kin skreaun wurde as:
W1 =p1 A1 L1
By dwersdoorsnede 2 (rjochterkant fan 'e streambuis) is it wurk dat oan 'e floeistof dien wurdt:
W2 = − p2 A2 L2
It negative teken jout oan dat de tapaste krêft tsjinoersteld is oan de rjochting fan beweging. Sa docht de floeistof wurk rjochts fan seksje 2. Derneist docht de swiertekrêft ek wurk op 'e floeistof. Yn it boppesteande gefal wurdt in bepaalde massa floeistof ferpleatst fan seksje 1 oer in ôfstân L.1 om seksje 2 oant L te oerstekken2, wêrby't it folume fan floeistof by dwersdoorsnede 1 (A1 L1) = folume fan floeistof by dwersdoorsnede 2 (A2 L2). It wurk dat troch swiertekrêft dien wurdt is:
W3 = − mg (oere2 - h1)
W3 = − mgh2 + mgh1)
W3 = mgh1 - mgh2
It negative teken komt trochdat de floeistof omheech streamt, tsjin de rjochting fan 'e swiertekrêft yn. Sa is it totale wurk dat oan 'e floeistof dien wurdt, lykas te sjen is yn 'e boppesteande ôfbylding:
W = W1 + W.2 + W.3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
De arbeid-enerzjy-stelling stelt dat it totale arbeid dat oan in systeem dien wurdt gelyk is oan de feroaring yn syn kinetische enerzjy. Sa kinne wy Arbeid (W) ferfange troch de feroaring yn kinetische enerzjy (EK).2 ‐ EK1).
Wy kinne de boppesteande fergeliking herskriuwe as:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 =P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mv22 – 1⁄2 mv12 =P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Massa fan floeistof dy't oer in ôfstân L streamt1 op dwerssnit A1 = massa fan floeistof dy't in ôfstân L streamt2 (dwarsdoorsnede A2In bepaalde massa floeistof, lit ús sizze m, hat in folume fan A.1L1 en In2 L2 wêr A1 L1 = A.2 L2 (L2 langer as L1).
No ferfange wy, of wy ferfange m yn 'e boppesteande fergeliking mei m = ρ AL:
Dit is de Bernoulli-fergeliking. Wy hawwe de Bernoulli-fergeliking ôflaat op basis fan it arbeid-enerzjyprinsipe, dus it is in foarm fan 'e Wet fan Behâld fan Enerzjy.
Ynformaasje:
P = Druk
ρ = Dichtheid fan floeistof
v = Fluidstreamsnelheid
g = Fersnelling troch swiertekrêft
h = Hichte fan 'e streambuis/piip fan it grûnoerflak
De lofter- en rjochterkanten fan 'e Bernoulli-fergeliking hjirboppe kinne ferwize nei twa punten lâns de streambuis, sadat wy de fergeliking hjirboppe kinne herskriuwe as:
Dizze fergeliking stelt dat de totale som fan 'e hoemannichten yn' e fergeliking deselde wearde hat yn 'e heule streambuis.
Litte wy no de fergeliking fan Bernoulli foar guon gefallen besjen.
Bernoulli's fergeliking foar floeistoffen yn rêst
In spesjaal gefal fan 'e fergeliking fan Bernoulli is foar floeistoffen yn rêst (statyske floeistoffen). As in floeistof yn rêst is, hat it gjin snelheid. Sadwaande v1 =v2 = 0. Yn it gefal fan in stilsteande floeistof kinne wy de Bernouli-fergeliking formulearje as:
As h2 - h1 = h, dan kin dizze fergeliking skreaun wurde as:
p1 - p2 = ρ g (h2 - h1)
p1 - p2 = ρ gh
Bernoulli's fergeliking foar streambuizen of pipen fan deselde hichte
As de hichte fan 'e streambuis of piip itselde is, dan wurdt de Bernoulli-fergeliking feroare nei:
