Moment d'inertie des particules – problèmes et solutions

Moment d'inertie des particules – problèmes et solutions

1. Deux boules sont reliées par une tige, comme illustré ci-dessous. On néglige la masse de la tige . La masse de la boule P est de 600 grammes et celle de la boule Q de 400 grammes. Quel est le moment d'inertie du système par rapport à AB ?

Connu :

L'axe de rotation est AB.

m _{_p} = 600 grammes = 0.6 kg, m_{_q} = 400 grammes = 0.4 kg

r _{_p} = 20 cm = 0.2 m, r_{_q} = 50 cm = 0.5 m

Recherche : Le moment d'inertie du système

Solution:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg m² ⁺ 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. La tige AB de masse 2 kg tourne autour du point A ; son moment d'inertie est de 8 kg m² ^. Si elle tourne autour du point O (AO = OB), quel est son moment d'inertie ?

Connu :

Masse de la tige AB (m) = 2 kg

Si le système est mis en rotation autour du point A de sorte que le rayon de rotation (r) soit égal à la longueur de AB (r), alors son moment d'inertie (I) est de 8 kg m²^.

Question : Si la tige est tournée autour du point O de sorte que le rayon de rotation (r) = longueur de AO = longueur de OB = 1/2 r, quel est le moment d’inertie de la tige ?

Solution:

I = mr ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ 2

r² = ^{4 m²}

r = 2 mètres

Si la rotation s'effectue autour du point O de sorte que ½ r = 1 mètre, alors le moment d'inertie est :

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Deux boules sont reliées par une tige, comme illustré ci-dessous. On néglige la masse de la tige. Quel est le moment d'inertie du système ?

Connu :

Masse de la balle A (m_A) = 200 grammes = 0.2 kg

Masse de la balle B (m_{_B} ) = 400 grammes = 0.4 kg

Distance entre la bille A et l'axe de rotation (r _A ) = 0

Distance entre la balle B et l'axe de rotation (r_{_B} ) = 25 cm = 0.25 m

Recherche : Moment d'inertie du système

Solution:

Le moment d'inertie de la balle A :

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

Le moment d'inertie de la balle B :

I B = (m B )(r B  2 ) = (0.4)(0.25) 2 = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m 2

Le moment d'inertie du système :

I = I_{_A} + I _{_B} = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ^² = 25 × 10 ^{^-3} kg m ^²

4. Quatre particules de masses différentes sont représentées sur la figure ci-dessous. Déterminez le moment d'inertie du système par rapport à la ligne horizontale P.

Solution

L'axe de rotation est la ligne horizontale P.

Connu :

Masse de la particule A (m _A ) = m

Masse de la particule B (m _B ) = 2m

Masse de la particule C (m _C ) = 3m

Passage de particules D (m _D ) = 4m

Distance entre la particule A et l'axe de rotation (r _A ) = b

Distance entre la particule B et l'axe de rotation (r_{_B} ) = b

Distance entre la particule C et l'axe de rotation (r_{_C} ) = 2b

Distance entre la particule D et l'axe de rotation (r_{_D} ) = 2b

On cherche : le moment d'inertie du système par rapport à la ligne horizontale P

Solution:

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

Je = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

je = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = Mo ² + 2 Mo ² + 12 Mo ² + 16 Mo ²

I = 31 ^mb²

5. Quatre particules sont reliées par une tige. On néglige la masse de la tige. Déterminer le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation passant par les particules m₁ _et m₂ _, comme illustré dans la figure ci-dessous.

Connu

Masse de la particule 1 (m₁) = 1/4 kg

Masse de la particule 2 (m ₂ ) = 1/2 kg

Masse de la particule 3 (m ₃ ) = 1/4 kg

Masse de la particule 4 (m ₄ ) = 1/4 kg

Distance entre la particule 1 et l'axe de rotation (r ₁ ) = 0

Distance entre la particule 2 et l'axe de rotation (r ₂ ) = 0

Distance entre la particule 3 et l'axe de rotation (r₄ ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Distance entre la particule 4 et l'axe de rotation (r₄ ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Recherche : Le moment d'inertie

Solution:

_I = _m₁r₁² + m₂r₂² _{+ m₃r₃²} ⁺ m₄r₄²^​​_​​_​^​​_​​_​^​

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

je = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

1. Quel est le moment d'inertie d'une particule ?
   • Compagnie de SolutionPour une seule particule de masse $m$ à une distance $r$ par rapport à un axe de rotation, son moment d'inertie $I$ est donné par I=m×r².
2. Pourquoi le moment d'inertie est-il souvent qualifié d'« analogue rotationnel » de la masse ?
   • Compagnie de SolutionDe même que la masse mesure la résistance d'un objet aux changements de son mouvement de translation (en vertu de la deuxième loi de Newton), le moment d'inertie mesure la résistance d'un objet aux changements de son mouvement de rotation.
3. Comment la modification de la distance d'une particule par rapport à son axe de rotation affecte-t-elle son moment d'inertie ?
   • Compagnie de SolutionLe moment d'inertie est proportionnel au carré de la distance à l'axe de rotation. Si l'on double cette distance, le moment d'inertie est multiplié par quatre.
4. Pourquoi le carré de la distance (r) est-il égal au carré de la distance (r) ?²) utilisée dans la formule du moment d'inertie au lieu de la simple distance ?
   • Compagnie de SolutionOn utilise le carré de la distance en raison du fonctionnement de l'énergie cinétique de rotation. Dans un mouvement de rotation, chaque particule d'un objet contribue à l'énergie cinétique de rotation proportionnellement à sa masse et au carré de sa distance à l'axe.
5. Comment évolue le moment d'inertie d'une particule si sa masse est triplée tout en maintenant constante la distance à l'axe ?
   • Compagnie de SolutionSi la masse est triplée et que la distance reste constante, le moment d'inertie triplera également car il est directement proportionnel à la masse.
6. Une particule peut-elle avoir un moment d'inertie nul ? Si oui, à quelles conditions ?
   • Compagnie de SolutionOui, une particule aura un moment d'inertie nul si elle est située directement sur l'axe de rotation, rendant sa distance nulle. $r$ de l'axe égal à zéro.
7. Pourquoi des objets différents ayant la même masse et la même taille ont-ils des moments d'inertie différents lorsqu'ils tournent autour d'axes différents ?
   • Compagnie de SolutionLa répartition de la masse autour de l'axe de rotation détermine le moment d'inertie. Même si deux objets ont la même masse et les mêmes dimensions, la répartition de leur masse par rapport à l'axe de rotation peut différer, ce qui entraîne des moments d'inertie différents.
8. Le moment d'inertie est-il une grandeur scalaire ou vectorielle ?
   • Compagnie de SolutionLe moment d'inertie est une grandeur scalaire. Cependant, pour les corps rigides de formes complexes et possédant plusieurs axes de rotation, il est représenté par un tenseur.
9. Si deux particules, chacune de masse $m$, sont situés à des distances r_1​ et r₂​ Par rapport à l'axe de rotation, quel est le moment d'inertie combiné ?
   • Compagnie de SolutionLe moment d'inertie est additif pour chaque particule. Ainsi, le moment d'inertie combiné est égal à . I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. Quel est le lien entre le moment d'inertie et la conservation du moment angulaire ?

    • Compagnie de Solution: Moment angulaire $L$ est le produit du moment d'inertie $I$ et vitesse angulaire $\omega$, représentée par l'équation $L=I\times \omega$Si aucun couple extérieur n'agit sur un système, son moment cinétique reste constant. Cela signifie que si le moment d'inertie varie (comme lorsqu'une patineuse artistique ramène ses bras vers elle), la vitesse angulaire doit s'ajuster pour que le produit reste constant.