Résolution de systèmes d'équations : un guide complet
En mathématiques, un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations comportant le même nombre d'inconnues. Les solutions de ce système sont les valeurs des variables qui satisfont simultanément toutes les équations. Les systèmes d'équations apparaissent fréquemment dans diverses disciplines, notamment l'économie, la physique, la chimie et l'ingénierie. Cet article présente les principales méthodes de résolution de systèmes d'équations, de la substitution et de l'élimination à l'utilisation des matrices et des déterminants.
1. Concept de base des systèmes d'équations simultanées
Un système d'équations comprend deux équations ou plus, avec deux inconnues ou plus. Un exemple simple est celui de deux équations linéaires à deux inconnues :
\[
\begin{cas}
2x + y = 5
3x – y = 4
\end{cas}
\]
L'objectif de la résolution de cette équation est de trouver les valeurs de \( x \) et \( y \) qui satisfont les deux équations.
2. Méthode de substitution
La méthode de substitution comprend les étapes suivantes :
1. Choisissez l'une des équations et changez-la sous la forme \( y = \) ou \( x = \).
2. Substituez les valeurs de la première équation dans la deuxième équation.
3. Résolvez l'équation résultante pour trouver la valeur d'une variable.
4. Remplacez la valeur dans l'une des équations originales pour trouver la valeur de l'autre variable.
Prenons comme exemple l'exemple précédent.
1. À partir de la première équation \( 2x + y = 5 \), nous pouvons exprimer \( y \) sous la forme \( y = 5 – 2x \).
2. Remplacez le \( y \) qui a été trouvé dans la deuxième équation : \( 3x – (5 – 2x) = 4 \).
3. Résoudre pour \( x \):
\[ 3x – 5 + 2x = 4 \]
\[ 5x – 5 = 4 \]
\[ 5x = 9 \]
\[ x = \frac{9}{5} \]
4. Remplacez \( x = \frac{9}{5} \) dans \( y = 5 – 2x \):
\[ y = 5 – 2\left(\frac{9}{5}\right) = 5 – \frac{18}{5} = 5 – 3.6 = 1.4 \]
Les valeurs \( x \) et \( y \) sont des solutions du système d'équations.
3. Méthode d'élimination
La méthode d'élimination consiste à éliminer une des variables en ajoutant ou en soustrayant son équation de soustraction. Les étapes sont les suivantes :
1. Multipliez une ou les deux équations de sorte que le coefficient de l'une des variables soit le même.
2. Additionnez ou soustrayez les deux équations pour éliminer la variable.
3. Résolvez l'équation résultante pour une seule variable.
4. Remplacez la valeur de la variable obtenue dans l'une des équations originales pour trouver l'autre variable.
Utilisons le même exemple pour appliquer la méthode d'élimination.
1. Multipliez la première équation par 1 et la seconde par 2 :
\[
\begin{cas}
2x + y = 5
6x – 2y = 8
\end{cas}
\]
2. Additionnez les deux équations :
\[
(2x + y) + (6x – 2y) = 5 + 8
\]
\[
8x – y = 13
\]
3. Résoudre pour \( x \):
\[
8x = 13 + y \]
Puisque notre étape d'élimination ne donne pas directement \(x\), essayons une autre étape d'élimination. Par souci de simplicité et à titre d'exercice, multiplions les deux membres de la première équation par 2 :
Première,
\[ \rightarrow 4x + 2y = 10 \]
Deuxièmement, nous pouvons ajouter :
\[ \rightarrow 3x – y = 4 \rightarrow 6x – 2y = 8 \]
Après avoir additionné :
\[ (4x + 6x ) + (2y – 2y ) = 10 + 8 \rightarrow 10x =18 \rightarrow x = \frac {18}{10} = 1.8 \]
Résoudre pour \(x = 1.8 \) :
Trouvez la valeur de \( y \):
\[ 2(1.8) + y = 5 \]
\[ 3.6 + y = 5 \rightarrow y = 5 – 3.6 = 1.4 \]
Maintenant confirmée à deux reprises, notre solution est solide : x = 1.8 et y = 1.4
Cette confirmation nous permet de constater que les résultats sont stables à la fois par substitution et par élimination.
4. Matrices et déterminants
Cette méthode est plus efficace pour les systèmes comportant un grand nombre d'équations et de variables. Les matrices et les déterminants sont des techniques fréquemment utilisées en algèbre linéaire.
Si nous avons un système d'équations comme :
\[
\begin{cas}
a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\
a_{21}x + a_{22}y = b_2
\end{cas}
\]
Cette équation peut être représentée sous forme matricielle :
\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \]
où
\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \]
À partir de là, nous pouvons écrire la solution en utilisant l'inverse de la matrice :
\[ \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \]
Convaincre le lecteur de la manière d'inverser [l'emplacement des connaissances plus fondamentales] :
Déterminant de la matrice :
\[ det(A)= a_{11}\cdot a_{22} – a_{21}\cdot a_{12} \]
dan
\[ A^{-1}= [detA]^{-1} a \]
Exemple dès que possible :
\[
\begin{cas}
2x + y = 5
3x – y = 4
\end{cas}
\]
Ké :
\[
A=
\begin{bmatrix}
2 et 1 \ 3 et -1
\fin{bmatrix}
\]
\[
Det (A)= ( 2\cdot -1) – (3\cdot 1)= -2-3=-5, \
\mathbf{x}=
1/secA \begin{bmatrix} -1&-1 \\ -3&2 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\end{cas}
J'espère que les étapes sont clairement décrites, ainsi que la manière dont cela pourrait être évalué.
conclusion
Les systèmes d'équations sont un outil essentiel en mathématiques et dans de nombreuses applications concrètes. Différentes méthodes – substitution, élimination et matrices – offrent diverses manières de les résoudre. Le choix de la méthode dépend de la complexité du système et du niveau de maîtrise de l'utilisateur. Les mathématiques sont un domaine vaste, et la multitude de techniques disponibles ne doit pas être intimidante, mais au contraire offrir un plus large éventail de solutions.
