Règles de permutation et de combinaison
En mathématiques, et plus particulièrement en probabilités et en statistiques, on se demande souvent « combien de façons » un événement peut se produire. Par exemple : combien de dispositions possibles existe-t-il pour un nombre donné de personnes ? De combien de façons peut-on sélectionner les membres d’une équipe parmi un groupe d’étudiants ? On répond à ces questions grâce aux règles de permutation et de combinaison, deux concepts clés du dénombrement. Si les deux règles traitent du « nombre de possibilités », la différence essentielle réside dans la prise en compte ou non de l’ordre.
1. Concept de base des règles d'énumération
Avant d'aborder les permutations et les combinaisons, il est essentiel de comprendre une notion fondamentale : l'énumération consiste à compter le nombre de résultats possibles à partir d'un ensemble de conditions donné. L'énumération peut être effectuée manuellement pour les petits ensembles, mais pour les plus grands, une formule efficace est nécessaire.
Les deux principes fondamentaux de l'énumération sont :
1. Règle du produit
Si un processus comporte plusieurs étapes, et que chaque étape offre un certain nombre de choix, alors le nombre total de possibilités est le produit du nombre de choix à chaque étape.
2. Règle de la somme
Si un choix peut être fait de plusieurs manières mutuellement exclusives (non superposées), alors le nombre total de possibilités est la somme de ces possibilités.
Les permutations et les combinaisons sont d'autres applications de ce principe, notamment lorsque des objets commencent à être agencés ou sélectionnés.
2. Permutation : Arrangement en tenant compte de l'ordre
Une permutation est une méthode d'arrangement ou de sélection d'objets où l'ordre importe. Cela signifie que l'arrangement AB est différent de BA.
a. Permutations de n objets différents (tous arrangés)
S'il y a n objets différents à disposer en séquence, le nombre de dispositions est :
\[
n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1
\]
Le symbole « ! » est appelé factorielle.
Exemple:
Il y a 4 livres différents. De combien de façons peut-on les ranger sur une étagère ?
\[
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
\]
Il y a donc 24 arrangements.
b. Permutation partielle : choisir r parmi n (l'ordre est pris en compte)
Si, parmi n objets différents, nous choisissons r objets à arranger (pas nécessairement tous), alors la formule de permutation est :
\[
P(n,r) = \frac{n!}{(nr)!}
\]
Exemple:
Parmi les 6 élèves, 3 seront choisis pour occuper les postes de président, vice-président et secrétaire. De combien de façons cela peut-il être fait ?
Étant donné que les postes de président et de vice-secrétaire sont différents, l'ordre est important.
\[
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120
\]
Il existe 120 façons.
c. Permutations avec le même objet (répétition/identique)
Il arrive que certains objets ne soient pas tous uniques. Par exemple, le mot « NIGHT » contient deux M et deux A (ou, pour « NIGHT » : y a-t-il 2 M et 2 A ? En réalité, « NIGHT » = NIGHT : M=2, A=2, L=1). Le nombre d’arrangements différents se calcule comme suit :
\[
\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \dots}
\]
où \(n\) est le nombre total d'objets, et \(n_1, n_2\) est le nombre d'objets identiques.
Exemple:
Combien existe-t-il d'arrangements différents des lettres du mot « NIGHT » ?
Nombre de lettres \(n=5\), M a 2, A a 2, L a 1.
\[
\frac{5!}{2!\,2!} = \frac{120}{4} = 30
\]
Il existe donc 30 configurations différentes.
3. Combinaison : Sélection sans tenir compte de l'ordre
La combinaison est une méthode de sélection d'objets où l'ordre n'a pas d'importance. Sélectionner A et B revient à sélectionner B et A.
La formule de combinaison sélectionne r objets parmi n :
\[
C(n,r) = \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(nr)!}
\]
a. Exemple de combinaison simple
Exemple:
Sur 10 élèves, 3 seront sélectionnés pour faire partie de l'équipe de compétition (sans poste précis). De combien de façons différentes ?
Puisqu'il n'y a pas de classement, l'ordre n'a pas d'importance.
\[
C(10,3)=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}=120
\]
Il existe 120 façons.
b. Relation entre les permutations et les combinaisons
Notez que les permutations et les combinaisons sont liées. Pour choisir r personnes et les arranger, nous pouvons :
– choisissez d'abord r personnes : (C(n,r))
– arranger r cette personne : \(r!\)
De sorte que:
\[
P(n,r) = C(n,r)\times r!
\]
Cela montre que la permutation est « plus grande » car elle distingue l'ordre.
4. Comment déterminer : utiliser une permutation ou une combinaison ?
Pour résoudre un problème, l'étape la plus importante consiste à déterminer si l'ordre est pris en compte.
Utilisez les permutations si :
– il y a une position ou un titre (président, adjoint, 1er-2e-3e),
– il y a un plan de table,
– il existe un code ou une séquence d'arrangement.
Utilisez une combinaison si :
– uniquement certains membres du groupe,
– l’ordre ne différencie pas les résultats,
– ce qui compte, c’est qui est élu, pas son poste.
Exemple rapide :
– Sélectionnez 5 personnes parmi 12 pour faire partie du comité : combinaison
– Détermination des gagnants de la 1re, 2e et 3e place parmi 12 participants : permutation
5. Exemples d'applications dans la vie quotidienne
Les permutations et les combinaisons apparaissent non seulement dans les livres de mathématiques, mais aussi dans des situations réelles :
1. Sécurité du mot de passe (mot de passe/code PIN)
Le nombre de codes PIN à 4 chiffres possibles (0–9) avec répétition autorisée est de 10⁴. Ceci est lié à la règle de multiplication et à l'idée de permutations avec répétition.
2. Organisation des horaires ou des places assises
Déterminer les places assises lors d'événements formels en utilisant les permutations dues aux différentes positions.
3. Sélection de l'équipe ou du comité
Sélectionner plusieurs personnes au sein d'un groupe constitue une combinaison, car l'ordre n'a pas d'importance.
4. Jeux de cartes
Les combinaisons sont souvent utilisées pour calculer la probabilité d'une main particulière au poker ou à d'autres jeux.
6. Erreurs courantes à éviter
Voici quelques erreurs fréquentes lors de la résolution de problèmes de permutation et de combinaison :
– Considérer l’ordre comme sans importance alors qu’il est important, par exemple pour le choix du président et du vice-président (il devrait s’agir d’une permutation).
– Oublier de diviser les objets identiques, comme composer des mots comportant des lettres répétées.
– Erreurs de calcul des factorielles, notamment lors de la simplification de la forme \(\frac{n!}{(nr)!}\).
Une façon d'éviter cela est de formuler l'interprétation de la question en phrases simples : « Est-ce que je choisis ou est-ce que j'organise ? » et « La position a-t-elle une incidence sur le résultat ? »
Clôture
Les règles des permutations et des combinaisons sont essentielles pour calculer le nombre de possibilités dans diverses situations. On utilise les permutations lorsque l'ordre ou la position importe, tandis que l'on utilise les combinaisons lorsque l'ordre n'a pas d'importance. En comprenant cette distinction, en maîtrisant les factorielles et en appliquant les formules appropriées, on peut résoudre de nombreux problèmes de dénombrement et de probabilités plus rapidement et avec plus de précision. En pratique, savoir choisir la bonne méthode – permutation ou combinaison – est souvent plus important que de simplement mémoriser les formules.
