Tilastollisen datan keskimääräisen poikkeaman määrittämistekniikat
Tilastoissa pelkkä datan "keskipisteen" ymmärtäminen – esimerkiksi keskiarvon tai mediaanin avulla – ei usein riitä. Kahdella datajoukolla voi olla sama keskiarvo, mutta ne voivat erota merkittävästi "variaation" tasoissa. Siksi hajonnan mittaaminen on tärkeää. Yksi hajonnan mitta, joka on suhteellisen helppo ymmärtää ja käyttää, on keskihajonta. Tässä artikkelissa käsitellään tekniikoita keskihajonnan määrittämiseksi erilaisissa tilastollisissa datamuodoissa, täydellisenä laskentavaiheineen ja esimerkkeineen.
Keskimääräisen poikkeaman ymmärtäminen
Keskipoikkeama on mitta, joka ilmaisee kunkin datapisteen keskimääräisen etäisyyden keskeisen tendenssin mittauksesta, yleensä aritmeettisesta keskiarvosta tai mediaanista. Kyseinen etäisyys on datapisteen ja keskeisen arvon välisen erotuksen itseisarvo, joten mikään negatiivinen ero ei "kumoa" positiivista eroa.
Yleisesti ottaen keskipoikkeama kuvaa, kuinka kauas data on levinnyt keskiarvostaan. Mitä pienempi keskipoikkeama on, sitä tiiviimmin data on ryhmittynyt keskipisteen ympärille; mitä suurempi arvo, sitä vaihtelevampaa data on.
Miksi käyttää absoluuttista arvoa?
Jos laskemme datan ja keskiarvon välisten erojen keskiarvon ilman absoluuttista arvoa, erojen summa on aina nolla (koska keskiarvo on tasapainopiste). Esimerkiksi jos erot ovat +5 ja -5, ne summautuvat 0:ksi. Siksi käytetään absoluuttisia arvoja, jotta poikkeamat todella heijastaisivat datan etäisyyttä keskipisteestä.
Keskimääräisen poikkeaman kaava yksittäisille tiedoille
Yksittäisille tiedoille (ei ryhmitellyille) keskimääräinen poikkeama keskiarvosta muotoillaan:
\[
SR = ∫\frac{\sum |x_i – ∫\bar{x}|}{n}
\]
Tiedot:
– \(SR \): keskimääräinen poikkeama
– \( x_i \): i:s data
– \( \bar{x} \): aritmeettinen keskiarvo (keskiarvo)
– \(n \): datan määrä
Yhden datan laskentatekniikka (vaiheet)
1. Laske kaikkien tietojen keskiarvo \( \bar{x} \).
2. Laske kunkin datan ja keskiarvon välinen erotus: \(x_i – \bar{x} \).
3. Ota kunkin erotuksen itseisarvo: \( |x_i – \bar{x}| \).
4. Laske yhteen kaikkien erojen itseisarvot.
5. Jaa datan lukumäärällä \(n \).
Yksittäisen datan esimerkki
Arvotiedot: 6, 8, 10, 12, 14
1) Keskiarvo:
\[
\bar{x}=\frac{6+8+10+12+14}{5}=\frac{50}{5}=10
\]
2) Erotuksen itseisarvo:
– |6 − 10| = 4
– |8 − 10| = 2
– |10 − 10| = 0
– |12 − 10| = 2
– |14 − 10| = 4
Yhteensä = 4 + 2 + 0 + 2 + 4 = 12
3) Keskimääräinen poikkeama:
\[
SR=\frac{12}{5}=2{,}4
\]
Tämä tarkoittaa, että keskimäärin jokainen arvo poikkeaa 2,4 yksikköä keskiarvosta (10).
Usein esiintyvien (diskreettien) tietojen keskipoikkeama
Jos tiedot esitetään arvojen ja frekvenssien muodossa (esim. taulukko), kaava on seuraava:
\[
SR = \frac{\f_i summa |x_i – \bar{x}|}{\f_i summa}
\]
Tiedot:
– \( f_i \): datataajuus \( x_i \)
Taajuustietojen laskentatekniikat
1. Laske keskiarvo: \(\bar{x}=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\)
2. Laske \( |x_i-\bar{x}| \)
3. Kerro taajuudella: \( f_i |x_i-\bar{x}| \)
4. Laske yhteen kaikki vaiheen 3 tulokset
5. Jaa kokonaistaajuudella
Esimerkkejä diskreetistä datasta
| Arvo (x) | Taajuus (f) |
|—|—|
| 5 | 2 |
| 7 | 3 |
| 9 | 1 |
Kokonaistaajuus: \(2 + 3 + 1 = 6\)
Tarkoittaa:
\[
\bar{x}=\frac{(5)(2)+(7)(3)+(9)(1)}{6}=\frac{10+21+9}{6}=\frac{40}{6}=6{,}67
\]
Laske poikkeama:
– Kun x=5: |5−6,67|=1,67 → kertaa f=2 → 3,34
– Kun x=7: |7−6,67|=0,33 → kertaa f=3 → 0,99
– Kun x=9: |9−6,67|=2,33 → kertaa f=1 → 2,33
Yhteensä: 3,34 + 0,99 + 2,33 = 6,66
Keskimääräinen poikkeama:
\[
SR=\frac{6{,}66}{6}=1{,}11
\]
Ryhmiteltyjen tietojen keskipoikkeama (luokkaväli)
Ryhmitellyissä tiedoissa (esimerkiksi intervallifrekvenssijakaumissa) data-arvoja ei näytetä yksittäin, vaan luokissa. Tätä tarkoitusta varten luokan keskipistettä (xi) käytetään esittämään luokan sisällä olevia tietoja.
Kaava:
\[
SR=\frac{\f_i summa |x_i -\bar{x}|}{\f_i summa}
\]
Kuitenkin \(x_i\) on luokan keskipiste.
Ryhmätietojen laskentatekniikat
1. Määritä kunkin luokan keskipiste:
\[
x_i=\frac{\text{alaraja + yläraja}}{2}
\]
2. Laske ryhmän keskiarvo:
\[
\bar{x}=\frac{\summa f_i x_i}{\summa f_i}
\]
3. Laske \( |x_i-\bar{x}| \)
4. Kerro taajuudella \(f_i \)
5. Laske kaikki tulokset yhteen ja jaa ne sitten kokonaisfrekvenssillä.
Ryhmätietojen esimerkki
| Luokka | f |
|—|—|
| 10–14 | 3 |
| 15–19 | 5 |
| 20–24 | 2 |
Keskipiste:
– 10–14 → 12
– 15–19 → 17
– 20–24 → 22
Kokonaisf = 10
Tarkoittaa:
\[
\bar{x}=\frac{(12)(3)+(17)(5)+(22)(2)}{10}=\frac{36+85+44}{10}=\frac{165}{10}=16{,}5
\]
Poikkeama:
– |12−16,5|=4,5 → ×3 = 13,5
– |17−16,5|=0,5 → ×5 = 2,5
– |22−16,5|=5,5 → ×2 = 11
Yhteensä = 13,5 + 2,5 + 11 = 27
Keskimääräinen poikkeama:
\[
SR=\frac{27}{10}=2{,}7
\]
Keskimääräinen poikkeama mediaanista
Keskiarvon lisäksi mediaanista voidaan laskea myös keskimääräinen poikkeama. Periaate on sama, vain keskiarvo on erilainen. Tästä on hyötyä, kun data sisältää poikkeavia arvoja, koska mediaani on kestävämpi ääriarvoille.
Yksittäisille tiedoille:
\[
SR_{Me}=\frac{\summa |x_i-Me|}{n}
\]
Taajuustiedot:
\[
SR_{Me}=\frac{\f_i-summa|x_i-Me|}{\f_i-summa}
\]
Keskipoikkeaman edut ja rajoitukset
Edut:
1. Helppo ymmärtää, koska se käyttää "keskimääräistä etäisyyttä" datakeskuksesta.
2. Käytä kaikkea dataa (ei vain tiettyä dataa).
3. Voidaan laskea erilaisille tiedon esitysmuodoille.
Rajoitukset:
1. Vähemmän suosittu kuin keskihajonta edistyneessä tilastollisessa analyysissä.
2. Absoluuttisten arvojen käyttö tekee siitä vähemmän kätevän joillekin algebrallisille manipulaatioille.
3. Ei yhtä vahva kuin keskihajonta monissa päättelymenetelmissä.
Sulkeminen
Tilastollisen datan keskipoikkeaman määritystekniikka noudattaa pohjimmiltaan johdonmukaista kaavaa: määritä keskeinen arvo (keskiarvo tai mediaani), laske kunkin datapisteen (tai luokan keskipisteen) absoluuttinen etäisyys keskipisteestä ja laske sitten niiden keskiarvo – ottaen huomioon frekvenssin, jos data esitetään taulukossa. Keskipoikkeama on kätevä hajonnan mittari datan vaihtelun intuitiiviseen kuvaamiseen. Ymmärtämällä vaiheet voit vertailla vaihtelua eri datajoukkojen välillä ja arvioida datajoukon vakautta paremmin.
Jos haluat, voin auttaa sinua tekemään tästä artikkelista koulutehtävämuotoisen version (johdanto–keskustelu–loppu) tai lisätä harjoituskysymyksiä keskustelun oheen.
