Tekniikoita yksittäisten ja ryhmiteltyjen tietojen mediaanin laskemiseksi
Mediaani on tilastotieteessä usein käytetty keskeisen tendenssin mittari. Toisin kuin keskiarvo, joka laskee yhteen kaikki arvot ja jakaa ne sitten arvojen lukumäärällä, mediaani korostaa lajitellun tietojoukon "keskiarvoa". Sijaintikeskeisyytensä vuoksi mediaani on suhteellisen vastustuskykyinen ääriarvoille (poikkeamille), kuten silloin, kun yksi arvo on erittäin suuri tai erittäin pieni verrattuna muihin. Tästä syystä mediaania käytetään laajalti taloudellisessa data-analyysissä, koulutuksessa, yhteiskuntatutkimuksessa ja jopa testitulosten arvioinnissa.
Tässä artikkelissa käsittelemme tekniikoita mediaanin laskemiseksi kahden tyyppisille tiedoille: yksittäisille tiedoille (ryhmittelemättömille) ja ryhmitellyille tiedoille (esitetty frekvenssijakaumataulukossa). Kaavan lisäksi keskustelu sisältää käytännön vaiheita helppoa toteutusta varten.
-
1. Mediaanin peruskäsite
Mediaani on keskimmäinen arvo sen jälkeen, kun tiedot on lajiteltu pienimmästä suurimpaan. Jos datapisteiden lukumäärä on pariton, mediaani on tarkka keskimmäinen arvo. Jos datapisteiden lukumäärä on parillinen, mediaani on kahden keskimmäisen arvon keskiarvo.
Intuitiivisesti mediaani jakaa datan kahteen osaan:
– 50 % tiedoista on mediaanin alapuolella (tai yhtä suuri kuin)
– 50 % tiedoista on mediaanin yläpuolella (tai yhtä suuri kuin)
Koska mediaani on järjestyspohjainen, ensimmäinen vaihe, joka lähes aina vaaditaan, on datan lajittelu.
-
2. Yksittäisen datan mediaanin laskeminen
Yksittäinen data on dataa, joka esitetään sellaisenaan (esimerkiksi oppilaiden arvosanojen luettelo), eikä sitä ole tiivistetty intervalliluokkiin kuten ryhmädatassa.
A. Yleiset vaiheet
1. Lajittele tiedot pienimmästä suurimpaan arvoon.
2. Määritä datan määrä, esimerkiksi n.
3. Määritä mediaanin sijainti:
– Jos n on pariton, mediaani on kohdassa \((n+1)/2\).
– Jos n on parillinen luku, mediaani on kohdissa \(n/2\) ja \((n/2)+1\) olevien tietojen keskiarvo.
B. Yksittäisten tietojen mediaanikaava
– Jos n on pariton:
\[
Minä = x_{(n+1)/2}
\]
Tämä tarkoittaa, että mediaani on datan arvo n(n+1)/2. kertaluvussa.
– Jos n on parillinen:
\[
Me = \frac{x_{n/2} + x_{(n/2)+1}}{2}
\]
C. Esimerkki yksittäisistä tiedoista (n pariton)
Tiedot: 7, 2, 9, 4, 3
1) Lajittele: 2, 3, 4, 7, 9
2) n = 5 (pariton)
3) Mediaaniasema = \((5+1)/2 = 3\)
Mediaani = 3. data = 4
Datan mediaani on siis 4.
D. Esimerkki yksittäisistä tiedoista (n parillinen)
Tiedot: 10, 4, 6, 8
1) Lajittele: 4, 6, 8, 10
2) n = 4 (parillinen)
3) Keskimmäinen sijainti on toinen ja kolmas data
Mediaani = \((6 + 8)/2 = 7\)
Datan mediaani on siis 7.
E. Tärkeä huomautus: Data, jolla on frekvenssi
Joskus yksittäinen datajoukko voidaan antaa arvona ja frekvenssinä (esim. 60 esiintyy kahdesti, 70 viisi kertaa). Tässä tapauksessa mediaani löydetään edelleen datan "järjestyksen" perusteella, mutta voimme käyttää kumulatiivista frekvenssiä mediaanisijainnin määrittämiseen listaamatta datapisteitä erikseen. Periaate on sama: etsi (n+1)/2. sijainti (pariton) tai (n/2) ja (n/2)+1. sijainti (parillinen) ja katso sitten arvoja, jotka kattavat kyseisen sijainnin, kumulatiivisen frekvenssin perusteella.
-
3. Ryhmiteltyjen tietojen mediaanin laskeminen
Ryhmitelty data on dataa, joka on tiivistetty luokkaväleihin ja niiden frekvensseihin. Esimerkiksi: 3 henkilöä, joiden pituus on 150–154 cm, 8 henkilöä, joiden pituus on 155–159 cm, ja niin edelleen. Toisin kuin yksittäisten data-aineistojen, ryhmiteltyjen data-aineistojen mediaania ei yleensä määritetä tarkasti, koska emme tiedä yksittäisiä arvoja aikavälin sisällä. Siksi mediaani lasketaan käyttämällä approksimaatiota (estimaatiota) ryhmiteltyjen jakaumien mediaanikaavaa käyttäen.
A. Tärkeitä termejä ryhmätietojen mediaanissa
Ennen kaavan käyttöä meidän on ymmärrettävä useita komponentteja:
– n = kokonaisfrekvenssi (datan kokonaismäärä)
– n/2 = kumulatiivinen mediaanisijainti
– Mediaaniluokka = ensimmäinen intervalliluokka, joka tuottaa kumulatiivisen frekvenssin ≥ n/2
– L = mediaaniluokan alareuna (ei alaraja, vaan luokan reuna; jatkuvalle datalle käytetään yleensä 0,5:n säätöä, jos data on kokonaislukuja)
– F = kumulatiivinen frekvenssi ennen mediaaniluokkaa
– f = mediaaniluokan frekvenssi
– c = luokan pituus (välin leveys)
B. Ryhmätietojen mediaanin määrittämisen vaiheet
1. Luo frekvenssijakaumataulukko ja lisää kumulatiivinen frekvenssisarake.
2. Laske n (taajuuksien lukumäärä) ja määritä n/2.
3. Määritä mediaaniluokka eli luokka, joka sisältää n/2 positiota kumulatiivisen frekvenssin perusteella.
4. Syötä arvot ryhmätietojen mediaanikaavaan.
C. Ryhmätietojen mediaanikaava
\[
Me = L + ∫(∫(n2 – Ff) kertaa c)
\]
Tämä kaava suorittaa lineaarisen interpoloinnin mediaaniluokan sisällä olettaen, että data jakautuu tasaisesti luokkavälin yli.
D. Esimerkki ryhmätietojen mediaanista
Esimerkiksi seuraavat testitulostiedot:
| Arvoväli | Taajuus (f) |
|—|—:|
| 40–49 | 5 |
| 50–59 | 8 |
| 60–69 | 12 |
| 70–79 | 10 |
| 80–89 | 5 |
1) Kokonaistaajuus:
\[
n = 5 + 8 + 12 + 10 + 5 = 40
\]
2) Laske n/2:
\[
n/2 = 20
\]
3) Kumulatiivinen esiintymistiheys:
– 40–49: 5
– 50–59: 5 + 8 = 13
– 60–69: 13 + 12 = 25
– 70–79: 35
– 80–89: 40
Sijoitus 20 on luokassa, jonka ensimmäinen kumulatiivinen pistemäärä on ≥ 20, eli välillä 60–69. Tämä on siis mediaaniluokka.
4) Määritä komponentit:
– L = mediaaniluokan alareuna. Välillä 60–69 alareuna on 59,5 (jos data on kokonaislukuarvo).
– F = kumulatiivinen frekvenssi ennen mediaaniluokkaa = 13
– f = mediaaniluokan frekvenssi = 12
– c = luokan pituus = 10
5) Syötä kaavaan:
\[
Me = 59,5 + ∫(20 – 13}{12) kertaa 10
\]
\[
Me = 59,5 + ∫(712) × 10
\]
\[
Minä = 59,5 + 5,833… = 65,333…
\]
Ryhmätietojen mediaani on siis noin 65,33.
-
4. Yleisiä virheitä
Yleisiä virheitä mediaania laskettaessa:
1. Dataa ei lajitella yksittäisten datatietojen mukaan, joten keskimmäinen arvo ei ole tarkka.
2. Mediaanin sijainnin virheellinen määrittäminen, kun n on parillinen (on otettava kahden keskimmäisen arvon keskiarvo).
3. Ryhmädatan tapauksessa mediaaniluokan valitseminen on väärin, koska se ei luo kumulatiivista frekvenssiä.
4. Käytetään alareunaluokan (L) alarajaa, kun data on jatkuvia/välikokonaislukuja.
5. Luokan pituuden (c) virheellinen määrittäminen, varsinkin jos välit ovat epäjohdonmukaisia.
-
5. Pennutup
Mediaani on yksinkertainen mutta tehokas mittari keskeiselle trendille, erityisesti silloin, kun data sisältää ääriarvoja. Yksittäisille datajoukoille mediaani määritetään suoraan keskikohdasta datan lajittelun jälkeen, ja parittomille ja parillisille datajoukoille tehdään eri käsittely. Ryhmitellyille datajoukoille mediaani lasketaan interpolointikaavalla, joka perustuu mediaaniluokkaan, kumulatiiviseen frekvenssiin ja luokan pituuteen.
Ymmärtämällä käsitteen ja vaiheet voit laskea mediaanin nopeasti ja tarkasti sekä yksinkertaisista tiedoista että taulukoihin kootuista tiedoista. Monissa analyyttisissä tilanteissa mediaani on edustavampi vaihtoehto kuin keskiarvo, varsinkin silloin, kun datajakauma on epäsymmetrinen tai sisältää poikkeavia arvoja.
Halutessasi voin lisätä harjoituskysymyksiä keskustelujen ohella vahvistaakseni ymmärrystäsi yksittäisten ja ryhmätietojen mediaanista.
