Bernoullin periaate ja yhtälömateriaali
Kun ajamme moottoripyörällä melko kovaa, vaatteemme pullistuvat takaa. Jos et vielä osaa ajaa moottoripyörällä, kiinnitä huomiota vanhempiisi tai ystäviisi, jotka ajavat moottoripyörällä. Heidän vaatteidensa selkä pullistuu yleensä takaa, kun moottoripyörä kulkee kovaa. Joskus kovassa tuulessa talon ovi voi sulkeutua itsestään. Vaikka tuuli puhaltaisi talon ulkopuolella, vaikka ovi olisi sisällä talossa.
Tämä voidaan selittää Bernoullin periaatteella. Daniel Bernoulli (1700–1782) löysi periaatteen, jota voidaan käyttää selittämään joitakin edellä mainituista asioista.
Bernoullin periaate
Bernoullin periaatteen mukaan nesteen virtausnopeuden ollessa suuri nesteen paine on pieni. Käänteisesti, jos nesteen virtausnopeus on pieni, paine nousee korkeaksi. Kun moottoripyörä liikkuu nopeasti, ilman nopeus edessäsi ja vieressäsi on suuri. Näin ollen ilmanpaine laskee. Takaosa on kehon etuosan peitossa, joten ilman nopeus kehon takana ei muutu suureksi (juuri kehon takana). Tämän seurauksena kehon takana oleva ilmanpaine kasvaa. Koska ilmanpaineissa on eroja, joissa kehon takana oleva ilmanpaine on suurempi, ilma työntää paitaasi taaksepäin, jolloin se näyttää siltä kuin se olisi pullistunut takaa.
Entä ovi, joka sulkeutuu itsestään, kun ulkona tuulee kovaa? Ulkoilma liikkuu nopeammin kuin sisäilma. Tämän seurauksena ulkoilman paine on alhaisempi kuin sisäilman paine. Tämän paine-eron vuoksi, missä sisäilman paine on korkeampi, ovi työntyy ulospäin. Toisin sanoen ovi liikkuu korkeamman ilmanpaineen paikasta matalamman ilmanpaineen paikkaan.
Bernoullin yhtälö
Aiemmin opimme Bernoullin periaatteesta. Bernoulli kehitti tämän periaatteen myös kvantitatiivisesti. Bernoullin yhtälön johtamiseksi oletamme tasaisen, laminaarisen nestevirtauksen, kokoonpuristumattomuuden ja alhaisen viskositeetin, jotka voidaan jättää huomiotta.
Jatkuvuusyhtälön käsittelyssä opimme, että nesteen virtausnopeus voi vaihdella myös virtausputken poikkileikkauspinta-alan mukaan. Edellä selitetyn Bernoullin periaatteen perusteella nesteen paine voi myös vaihdella nesteen virtausnopeudesta riippuen. Nesteen paine voi myös vaihdella nesteen korkeudesta riippuen. Paineen, virtausnopeuden ja virtauskorkeuden välinen suhde voidaan saada Bernoullin yhtälöstä.
Bernoullin yhtälö on erittäin tärkeä, koska sitä voidaan käyttää lentokoneiden lennon, vesivoimalaitosten, putkistojen jne. analysointiin. Jotta johtamamme Bernoullin yhtälö soveltuisi yleisesti, oletamme, että neste virtaa virtausputken läpi, jolla on epätasainen poikkileikkauspinta-ala ja myös eri korkeus (katso alla oleva kuva). Bernoullin yhtälön johtamiseksi sovellamme työ- ja energialausetta virtausputken alueella olevaan nesteeseen. Seuraavaksi laskemme nesteen määrän ja nesteen liikuttamiseen tehdyn työn.
Kuvassa olevan virtausputken läpinäkymätön väri osoittaa nesteen virtausta, kun taas valkoinen väri tarkoittaa, ettei nestettä ole.
Neste virtaa poikkileikkausalueella 1 (vasen puoli) matkan L1 ja pakottaa nesteen poikkileikkausalueella 2 (oikea puoli) liikkumaan matkan L2 . Koska poikkileikkausalue 2 oikealla puolella on pienempi, nesteen virtausnopeus virtausputken oikealla puolella on suurempi (muista jatkuvuusyhtälö). Tämä aiheuttaa paine-eron poikkileikkauksen 2 (virtausputken oikea puoli) ja poikkileikkauksen 1 (virtausputken vasen puoli) välille - Muista Bernoullin periaate. Poikkileikkauksen 1 vasemmalla puolella oleva neste kohdistaa paineen P1 oikealla puolella olevaan nesteeseen ja tekee työtä:
Tällöin yhtälö W1 voidaan kirjoittaa muodossa:
W1 = p1 A1L1
Poikkileikkauksessa 2 (virtausputken oikealla puolella) nesteelle tehty työ on:
W² = −p²A²L²
Negatiivinen merkki osoittaa, että käytetty voima on vastakkainen liikesuunnalle. Neste siis tekee työtä osan 2 oikealla puolella. Lisäksi myös painovoima tekee työtä nesteeseen. Yllä olevassa tapauksessa tietty nestemassa siirtyy osasta 1 pisteeseen L1 osaan 2 pisteeseen L2 , jossa nesteen tilavuus osassa 1 (A1L1 ) = nesteen tilavuus osassa 2 (A2L2 ) . Painovoiman tekemä työ on :
W3 = −mg( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mg/ h1 − mg / h2
Negatiivinen merkki johtuu siitä, että neste virtaa ylöspäin, painovoiman suuntaa vastaan. Näin ollen nesteelle tehty kokonaistyö, kuten yllä olevassa kuvassa näkyy, on:
W = W1 + W2 + W3
W = P1A1L1 - P2A2L2 + mgh1 - mgh2
Työ-energia-lause sanoo, että systeemiin tehty kokonaistyö on yhtä suuri kuin sen kineettisen energian muutos. Siten voimme korvata työn (W) kineettisen energian muutoksella (EK2 - EK1 ).
Voimme kirjoittaa yllä olevan yhtälön uudelleen seuraavasti:
W = P1A1L1 - P2A2L2 + mgh1 - mgh2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv 2 2 - 1⁄2 mv 1 2 = P 1 A 1 L 1 - P 2 A 2 L 2 + mgh 1 - mgh 2
Poikkileikkauksessa A 1 matkan L 1 virtaavan nesteen massa = matkan L 2 (leikkaus A 2 ) virtaavan nesteen massa. Nesteen massalla, esimerkiksi m, on tilavuus A 1 L 1 ja A 2 L 2, missä A 1 L 1 = A 2 L 2 (L 2 on pidempi kuin L 1 ).
Nyt sijoitamme tai korvaamme m:n yllä olevassa yhtälössä m:llä = ρ AL:
Tämä on Bernoullin yhtälö. Johdatimme Bernoullin yhtälön työ-energia-periaatteen perusteella, joten se on eräänlainen energian säilymislaki.
Tietoja:
P = Paine
ρ = Nesteen tiheys
v = Nesteen virtausnopeus
g = Painovoiman kiihtyvyys
h = Virtausputken korkeus maanpinnasta
Yllä olevan Bernoullin yhtälön vasen ja oikea puoli voivat viitata mihin tahansa kahteen pisteeseen virtausputkessa, joten voimme kirjoittaa yllä olevan yhtälön uudelleen seuraavasti:
Tämä yhtälö toteaa, että yhtälön suureiden kokonaissummalla on sama arvo koko virtausputkessa.
Tarkastellaan nyt Bernoullin yhtälöä joissakin tapauksissa.
Bernoullin yhtälö lepotilassa oleville nesteille
Bernoullin yhtälön erikoistapaus on levossa olevat nesteet (staattiset nesteet). Kun neste on levossa, sillä ei ole nopeutta. Siten v1 = v2 = 0. Lepossa olevan nesteen tapauksessa Bernoullin yhtälö voidaan muotoilla seuraavasti:
Jos h² - h¹ = h, niin yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoullin yhtälö saman korkuisille virtausputkille tai putkille
Jos virtausputken tai -putken korkeus on sama, Bernoullin yhtälö muuttuu muotoon:
