Epätasainen lineaarinen liike – ongelmat ja ratkaisut

Epätasainen lineaarinen liike – ongelmat ja ratkaisut

1.

Yllä oleva taulukko näyttää tiedot kolmesta kappaleesta, jotka kulkevat saman matkan nopeudella jatkuva kiihtyvyys.

Mikä on kappaleen P loppunopeus ja kappaleen Q alkunopeus?

ratkaisu:

Ensin määritetään kohteen 3 kulkema matka.

Kohteen kulkema matka 3 :

Tunnettu :

Alkunopeus (v_o) = 0 m/s

Loppunopeus (v_t) = 30 m/s

Kiihtyvyys (a) = 3 m/s²

Ostetaan : Etäisyys

ratkaisu:

v_t² = v_o² + 2 akselia

v_t² - v_o² = 2 akselia

30² - 0² = 2 (3) sekuntia

900 – 0 = 6 sekuntia

900 = 6 sekuntia

s = 900 / 6

s = 150 metriä

Kohteen 1 loppunopeus :

Tunnettu:

Alkunopeus (v_o) = 20 m/s

Kiihtyvyys (a) = 4 m/s²

Etäisyys (s) = 150 metriä

Etsitään: Loppunopeus (v_t)

ratkaisu:

v_t² = v_o² + 2 akselia

v_t² = 20² + 2 (4)(150)

v_t² = 400 + 1200

v_t² = 1600

v_t = 40 m/s

Kappaleen 2 alkunopeus:

Tunnettu:

Loppunopeus (v_t) = 50 m/s

Kiihtyvyys (a) = 3 m/s²

Etäisyys (s) = 150 metriä

Etsitään: Alkuperäinen nopeus (v_o)

ratkaisu:

v_t² = v_o² + 2 akselia

v_t² – 2 kun = v_o²

50² – 2(3)(150) = v_o²

2500 – 900 = v_o²

1600 = v_o²

v_o = 40 m/s

2. Kolme kappaletta liikkuu vaakatasossa vakiokiihtyvyydellä. Kaikilla kolmella kappaleella on sama kiihtyvyys. Kolmen kappaleen tiedot 10 sekunnin matkalla on esitetty alla olevassa kuvassa.

Määritä P ja Q.

ratkaisu:

Määritä ensin kappaleen 1 kiihtyvyys.

Kohteen 1 kiihtyvyys:

Tunnettu:

Alkunopeus (v_o) = 2 m/s

Loppunopeus (v_t) = 22 m/s

Etäisyys (s) = 120 metriä

Etsitään: Etäisyys

ratkaisu:

v_t² = v_o² + 2 akselia

v_t² - v_o² = 2 akselia

22² - 2² = 2 a (120)

484 – 4 = 240 a

480 = 240 a

a = 480/240

a = 2 m/s²

Kohteen 2 alkunopeus :

Tunnettu:

Kiihtyvyys (a) = 2 m/s²

Loppunopeus (v_t) = 24 m/s

Etäisyys (s) = 140 metriä

Etsitään: Alkunopeus (v_o)

ratkaisu:

v_t² = v_o² + 2 akselia

24² = v_o² + 2 (2)(140)

576 = v_o² + 560

576 – 560 = v_o²

16 = v_o²

v_o = 4 m/s

Kohteen 3 etäisyys:

Tunnettu:

Alkunopeus (v_o) = 0 m/s

Loppunopeus (v_t) = 20 m/s

Kiihtyvyys (a) = 2 m/s²

Ostetaan : Etäisyys (s)

ratkaisu:

v_t² = v_o² + 2 akselia

20² = 0² + 2 (2) sekuntia

20² = 2 (2) sekuntia

400 = 4 sekuntia

s = 400/4

s = 100 metriäs

3. Määritä kohteen 40 sekunnissa kulkema matka.

ratkaisu:

Pinta-ala 1 = suorakulmion pinta-ala = (20-0)(8-0) = (20)(8) = 160 metriä

Pinta-ala 2 = kolmion pinta-ala = ½ (25-20)(8-0) = ½ (5)(8) = (5)(4) = 20 metriä

Pinta-ala 3 = kolmion pinta-ala = ½ (30-25)(8-0) = ½ (5)(8) = (5)(4) = 20 metriä

Pinta-ala 4 = suorakulmion pinta-ala = (40-30)(8-0) = (10)(8) = 80 metriä

40 sekunnissa kuljettu matka = 160 + 20 + 20 + 80 = 280 metriä

4. Alla olevan kaavion mukaan kappaleen nopeuden muutos kahdessa sekunnissa. Määritä kappaleen kulkema matka.

ratkaisu:

Pinta-ala 1 = kolmion pinta-ala = ½ (5-0)(20-0) = ½ (5)(20) = (5)(10) = 50 metriä

Pinta-ala 2 = suorakulmion pinta-ala = (15-5)(20-0) = (10)(20) = 200 metriä

Pinta-ala 3 = kolmion pinta-ala = ½ (20-15)(20-0) = ½ (5)(20) = (5)(10) = 50 metriä

20 sekunnin aikana kuljettu matka = 50 + 200 + 50 = 300 metriä

1. Mikä erottaa epätasaisen lineaarisen liikkeen tasaisesta lineaarisesta liikkeestä?
   • Vastaus: Epätasaisessa lineaarisessa liikkeessä kappale liikkuu nopeuden muuttuessa ajan kuluessa, eli siihen liittyy kiihtyvyys. Tasainen lineaarinen liike taas tarkoittaa, että kappale liikkuu vakionopeudella eikä kiihdy.
2. Miten epätasaisessa lineaarisessa liikkeessä olevan kappaleen kulkema matka liittyy sen nopeus-aikakuvaajan alla olevaan pinta-alaan?
   • Vastaus: Kappaleen kulkema matka epätasaisessa lineaarisessa liikkeessä on yhtä suuri kuin sen nopeus-aika-kuvaajan alla oleva pinta-ala.
3. Jos kappaleen kiihtyvyys-aikakäyrä on suora vaakasuora viiva aika-akselin yläpuolella, mitä se kertoo kappaleen liikkeestä?
   • Vastaus: Se osoittaa, että kappale kiihtyy jatkuvasti positiivisesti. Kappaleen nopeus kasvaa jatkuvasti tasaisesti.
4. Miksi keskinopeutta ei voida laskea yksinkertaisesti alku- ja loppunopeuksien keskiarvona epätasaisessa liikkeessä?
   • Vastaus: Epätasaisessa liikkeessä nopeus ei ole vakio, joten todellinen siirtymä voi olla suurempi tai pienempi kuin mitä ennustetaan yksinkertaisesti laskemalla alku- ja loppunopeuden keskiarvo. Oikea menetelmä epätasaiselle liikkeelle on integroida nopeus annetun aikavälin yli tai käyttää kinemaattisia yhtälöitä, jotka ottavat huomioon kiihtyvyyden.
5. Miten kuvailisit kappaleen liikettä, jonka nopeus-aika-käyrä on alaspäin kalteva suora viiva?
   • Vastaus: Alaspäin viettävä suora viiva nopeus-aika-käyrässä osoittaa, että kappale liikkuu vakiona negatiivisella kiihtyvyydellä, eli se hidastuu, jos sillä oli alun perin positiivinen nopeus.
6. Miten hetkellinen nopeus tietyllä hetkellä liittyy siirtymä-aikakuvaajan kulmakertoimeen epätasaisessa liikkeessä?
   • Vastaus: Hetkellinen nopeus tietyllä hetkellä epätasaisessa liikkeessä annetaan siirtymä-aikakuvaajan kulmakertoimena tai gradienttina kyseisessä pisteessä.
7. Mitä siirtymä-aika-kuvaajan käyrä kertoo kappaleen liikkeen luonteesta?
   • Vastaus: Siirtymä-aika-kuvaajan käyrä osoittaa epätasaista liikettä, mikä tarkoittaa, että kappaleen nopeus muuttuu (joko kasvaa tai laskee) ajan kuluessa.
8. Jos kappaleen siirtymä-aikakäyrä on paraabeli ja avautuu ylöspäin, mitä voit päätellä sen kiihtyvyydestä?
   • Vastaus: Jos siirtymä-aikakäyrä on ylöspäin avautuva paraabeli, se viittaa siihen, että kappale kiihtyy jatkuvasti positiivisesti.
9. Miten epätasaisessa liikkeessä olevan kappaleen kiihtyvyys liittyy sen nopeus-aika-kuvaajan alla olevaan pinta-alaan?
   • Vastaus: Kappaleen nopeuden muutos (joka kerrottuna massalla antaa liikemäärän muutoksen) epätasaisessa liikkeessä on yhtä suuri kuin sen kiihtyvyys-aika-kuvaajan alla oleva pinta-ala. On tärkeää huomata, että nopeus-aika-kuvaaja näyttää nopeuden muutoksen, ei suoraan kiihtyvyyttä.
10. Miten negatiivinen kiihtyvyys (hidastuvuus) vaikuttaa epätasaisesti liikkuvan kappaleen nopeuteen?

• Vastaus: Negatiivinen kiihtyvyys, jota usein kutsutaan hidastuvuudeksi, johtaa kappaleen nopeuden pienenemiseen. Jos kappaleella on aluksi positiivinen nopeus ja se kiihtyy negatiivisesti, sen nopeus laskee, ja jos hidastuvuus jatkuu, kappale voi muuttaa liikesuuntaansa.