3 Hitausmomenttiyhtälön ongelmat ja ratkaisut
1. Kiinteän sylinterin säde on 8 cm ja massa 2 kg. Kiinteän pallon säde on 5 cm ja massa 4 kg. Jos kappaleet pyörivät keskipisteensä kautta kulkevalla akselilla, määritä sylinterin ja pallon hitausmomenttien suhde.
Tunnettu:
Kiinteän sylinterin säde (r) = 8 cm = 0.08 m
Kiinteän sylinterin massa (m) = 2 kg
Umpinaisen pallon säde (r) = 5 cm = 0.05 m
Kiinteän pallon massa (m) = 4 kg
Etsitään: Sylinterin ja pallon hitausmomentin vertailu
Ratkaisu :
Kiinteän sylinterin hitausmomentin kaava:
I = ½ MR 2 = ½ (2) (0,08) 2 = 0,0064
Kiinteän pallon hitausmomentin kaava:
I = 2/5 MR 2 = 1/5 (4) (0,05) 2 = (0,8) (0,0025) = 0,002
Sylinterin ja kuulan hitausmomentin vertailu:
0,0064: 0,002
3,2: 1
2. Vuokaa, johon keksit asetettiin, käytettiin leluna. Tölkin massa on 200 grammaa ja säde 15 cm. Tölkkiä pyöritellään vaakasuoralla lattialla. Jos tölkin kantta ja pohjaa ei oteta huomioon, määritä tölkin hitausmomentti.
Tunnettu:
Tölkki muistuttaa onttoa sylinteriä.
Massa (m) = 200 grammaa = 0.2 kg
Säde (r) = 15 cm = 0.15 m
Halusi:
Ratkaisu:
Onton sylinterin hitausmomentin kaava akselin läpi:
I = MR² = (0,2)(0,15) ² = (0,2)(0,0225) = 0,0045 kg/ m²
3. Pystyakselinsa ympäri vapaasti pyörivä kiekko pystyy pyörimään 80 kierrosta minuutissa. Jos kiekkoon 5 cm etäisyydellä akselista kiinnitetään pieni kappale, jonka massa on 4 x 10⁻⁷ kg, pyörimisnopeus on 60 kierrosta minuutissa. Määritä kiekon hitausmomentti.
Tunnettu:
Alkuperäinen kulmanopeus (ω 0 ) = 80 puttia / 60 s = 4/3 puttia/s
Alkuhitausmomentti (Io ) = I
Lopullinen kulmanopeus (ωt ) = 60 put / 60 s = 1 put/s
Lopullinen hitausmomentti (It ) = I + mr² = I + (0.04)(0.05) ² = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425
Etsitään: kiekon hitausmomentti
Ratkaisu:
Impulssimomentin säilymisen laki
Iωo = Iωt
I (4/3) = I + (0,0425 (1))
4 I / 3 = I + 0,0425
4 I = 3 I + 0,1275
4 I – 3 I = 0,1275
I = 0,1275 kg m²
