Artikkeli yhtälöstä luppi suurennuslasi
Kuten suurennuslasiaiheessa selitettiin, kohde näyttää pieneltä katsottuna kaukaa ja upealta läheltä. Silmän näkemän kohteen koon ero johtuu silmän ja kohteen välisen kulman erosta. Kun kohde on hyvin kaukana silmästä, silmän ja kohteen välinen kulma on pienempi, joten silmän verkkokalvolle muodostuva kuva on myös pienempi. Kääntäen, kun kohde on lähellä silmää, silmän ja kohteen välinen kulma on suurempi, joten silmän verkkokalvolle muodostuva kuva on myös merkittävämpi. Mitä lähempänä silmää, sitä suurempi on silmän ja kohteen välinen kulma, joten verkkokalvolle muodostuva kuva myös kasvaa. Huomaa, että keskimääräisen ihmissilmän lähipiste on 25 cm, joten silmän ja kohteen välinen etäisyys ei voi olla alle 25 cm. Voidaan päätellä, että keskimääräisen ihmisen normaalin silmän ja kohteen välinen kulma on suurin, kun silmän ja kohteen välinen etäisyys on 25 cm.
Jos kohdetta ei voida nähdä selvästi sen jälkeen, kun se on tuotu lähemmäs 25 cm:n päätä normaalista silmästä, tarvitaan optinen instrumentti auttamaan silmää näkemään kohde. Yksinkertainen suurennuslasi suurentaa silmän ja kohteen välistä kulmaa. Luupin kyky suurentaa kuvaa ilmaistaan kulmasuurennuksella (M). Luuppi, jonka kulmasuurennus on 2x, on luonnollisesti parempi kuin luuppi, jonka kulmasuurennus on 1x. Kulmasuurennus (M) on eri asia kuin lineaarinen suurennus (m).
Luupin kulmasuurennus
Luupin kulmasuurennus (M) on silmän ja kohteen kuvan välisen kulman (θ') suhde, kun kohdetta katsotaan luupin läpi, silmän ja kohteen väliseen kulmaan (θ), kun kohdetta katsotaan suoraan normaalin silmän lähipisteestä. Matemaattisesti:
M = θ' / θ
Luupin kulmasuurennuksen yhtälö
Kulmasuurennuksen yleinen yhtälö johdetaan tarkemmin seuraavassa katsauksessa. Ymmärryksen helpottamiseksi tarkastellaan alla olevaa kuvaa.
Kuvassa 1 esineet nähdään suoraan normaalin silmän lähipisteestä.
N = normaalin silmän lähipiste
θ = Silmien ja esineiden molempien päiden välinen kulma
h = ho = esineen korkeus
Kuvassa 2 esineet näkyvät suurennuslasin läpi.
s = do = esineiden ja linssien välinen etäisyys
θ' = suurennuslasin ja kohteen molempien päiden välinen kulma
h = ho = esineen korkeus
Jos kulma on pieni, niin tangentti θ ≈ θ
θ = h o / N
θ' = h o / do
Luupin kulmasuurennoksen (M) yleinen yhtälö:
M = kulmasuurennus, N = normaalin silmän lähipiste, do = kohteen etäisyys. Tämä on luupin kulmasuurennoksen yleinen yhtälö. Sitä kutsutaan yleiseksi yhtälöksi, koska luupin avulla havaittujen kohteiden välinen etäisyys (do) ei ole erityisen arvokas, vaan se voi olla mikä tahansa.
Kulmasuurennoksen yhtälö, kun silmä on tarkennettu kaukaiseen pisteeseen
Entä jos suurennuslasilla katsellessa tarkkailijan silmät ovat tarkentuneet kaukaiseen pisteeseen? Jos silmät on akkommodoitu minimiin, kuvan etäisyys on ääretön. Jotta kuva olisi ääretön, kohteen ja silmukan välisen etäisyyden on oltava sama kuin suurennuslasin polttoväli (vrt. suurennuslasia koskevaa selitystä). Katso alla oleva kuva.
Kuvassa 3 esineet nähdään suoraan normaalin silmän lähipisteestä.
N = normaalin silmän lähipiste
θ = silmien ja esineiden molempien päiden välinen kulma
h = kappaleen korkeus
Kuvassa 4 esineitä tarkastellaan suurennuslasin läpi, jossa tarkkailijan silmät ovat mahdollisimman lähellä toisiaan (silmä tarkennettuna kaukopisteeseen).
s = do = etäisyys esineiden välillä linssin ollessa = f = suurennuslasin polttoväli
θ' = silmukan ja kappaleen molempien päiden välinen kulma
h = kappaleen korkeus
Jos kulma on pieni, niin tangentti θ ≈ θ
Luupin kulmasuurennoksen (M) yhtälö, kun silmän akkommodaatio on pienimmillään (silmä tarkennettu kaukopisteeseen):
M = kulmasuurennus, N = lähellä normaalin silmän kärkeä, f = suurennuslasin polttoväli.
Tämä yhtälö osoittaa, että luupin kulmasuurennus (M) on kääntäen verrannollinen polttoväliin (f). Mitä suurempi polttoväli, sitä pienempi kulmasuurennus. Kääntäen, mitä pienempi polttoväli, sitä suurempi kulmasuurennus. Luuppi on kupera linssi, joten sen tulisi käyttää kuperaa linssiä, jolla on pieni polttoväli, tai kuperaa linssiä, jolla on pieni kaarevuussäde, jotta luupin suurennus on suuri.
Kulmasuurennoksen yhtälö, kun silmä tarkentuu lähipisteeseen
Entä jos suurennuslasia käytettäessä katsojan silmä on tarkentunut lähipisteeseen (akkommodaatio on maksimaalinen)? Jos silmän akkommodaatio on maksimaalinen, suurennuslasikameran tuottama kuvaetäisyys on sama kuin normaalin silmän lähipiste. Kuvat ovat virtuaalisia, joten kuvaetäisyys (tuumina) on negatiivinen.
Kun kuvan etäisyys (di) on sama kuin lähipiste (N), kohteen etäisyys (do):
Jos kulma on pieni, niin tangentti θ ≈ θ
Luupin kulmasuurennoksen yhtälö, kun silmä on tarkennettu lähipisteeseen (akkommodaatio on suurin):
M = kulmasuurennus, N = normaalin silmän lähellä oleva piste, f = suurennuslasin polttoväli.
Vertaa yhtälöä, joka kuvaa kulmasuurennusta, kun akkommodaatio on pienin (silmä on tarkentunut kaukopisteeseen), yhtälöön, joka kuvaa kulmasuurennusta, kun akkommodaatio on suurin (silmä on tarkentunut lähipisteeseen).
Näiden kahden yhtälön perusteella voidaan päätellä, että kulmasuurennus on suurempi, kun akkommodaatio on maksimaalinen (silmä on tarkentunut lähipisteeseen).
