Vektorien lisäys

Artikkeli vektorien yhteenlaskusta

1. Vektorin ja skalaarin suureet

Perus- ja johdettujen suureiden lisäksi fysikaaliset suureet voidaan jakaa kahteen muuhun tyyppiin: skalaarisuureisiin ja vektorisuureisiin. Suureet, kuten massa, etäisyys, aika ja tilavuus, ovat skalaarisuureita, joilla on vain suuruus, mutta ei suuntaa. Suureet, kuten siirtymä, nopeus, kiihtyvyys ja voima, ovat vektorisuureita, joilla on sekä suuruus että suunta.

a. s -kalaarin ja vektorisuureen välinen ero

Jos sanot pallon massan olevan 400 grammaa, tämä lause riittää tietämään pallon massan. Et tarvitse suuntaa selvittääksesi pallon massan. Sama pätee aikaan, lämpötilaan, tilavuuteen, tiheyteen jne. On olemassa useita fysikaalisia suureita, joita ei voida ilmaista pelkästään suuruutena. Jos sanot lapsen liikkuvan jopa 100 metriä, tämä lause ei riitä. Saatat kysyä, minne hän liikkui? Liikkuiko se pohjoiseen, etelään, itään vai länteen? Samoin jos sanot, että työnnät pöytää 200 N voimalla.

Minne ajat? Tällaisia ​​suureita kutsutaan vektorisuureiksi, joiden suuruus ja suunta vaativat selityksen. Esimerkkejä vektorisuureista ovat siirtymä, kiihtyvyys, impulssi, liikemäärä jne. Voit ymmärtää ne paremmin opiskellessasi näihin suureisiin liittyviä aiheita.

b. Piirrä vektori

Vektori on merkitty nuolella. Nuoli piirretään aina siten, että se osoittaa vektorin suuntaan. Nuolen pituutta kuvataan vektorin suuruutena. Esimerkiksi kuvassa, jossa voimavektori (F) on suuruudeltaan 2 N ja suunta on koilliseen eli 45 ^astetta x-akselin ympäri.

c . Vektorisuureiden kirjoittamissäännöt

Kun vektoria kirjoitetaan käsin, vektorin symboli kirjoitetaan yleensä kursiivilla isoilla kirjaimilla, ja sen yläpuolelle on lisättävä nuoli. Painetuissa kirjoissa vektorisymbolit kirjoitetaan lihavoituna isoilla kirjaimilla, esimerkiksi F. Vektorin suuruus kirjoitetaan käsin kirjoitettaessa esimerkiksi |F|. Painetuissa kirjoissa vektorin suuruus kirjoitetaan kursiivilla, esimerkiksi F.

2. Vektorien yhteenlasku – graafiset menetelmät

Vektoreita voi laskea graafisesti yhteen useilla tavoilla, mukaan lukien hännästä kärkeen -menetelmä ja suunnikasmenetelmä.

a. Vektorien yhteenlasku häntä-kärkeen -menetelmällä

Vektorit A ja B tunnetaan. Vektori A = 3 cm osuu x-akseliin (itään). Vektori B = 2 cm muodostaa 30 ^asteen kulman x-akseliin nähden (koilliseen). Laske A ja B graafisesti yhteen käyttäen häntä-kärkeen-menetelmää. a) R = A + B b) R = A – B

Resultanttivektorin (R) suuruus mitataan viivaimella. Resultanttivektorin suunta mitataan astelevyllä.

Tunnetut vektorit A, B ja C. Vektori A = 3 cm on x-akselin suuntainen (itään). Vektori B = 2 cm muodostaa 30 ^asteen kulman x-akseliin nähden (koilliseen). Vektori C = 1 cm muodostaa 60 ^asteen kulman x-akseliin nähden (koilliseen). Laske A, B ja C graafisesti yhteen käyttäen häntä-kärkeen-menetelmää.

a) R = A + B + C

b) R = A – B – C

Tuloksena oleva vektori (R) mitataan viivaimella. Tuloksena olevan vektorin suunta mitataan astelevyllä.

b. Suunnikasmenetelmä

Tunnetut vektorit A, B ja C. Vektori A = 3 cm on x-akselin suuntainen (itään). Vektori B = 2 cm muodostaa 30 ^asteen kulman x-akseliin nähden (koilliseen). Vektori C = 1 cm muodostaa 60 ^asteen kulman x-akseliin nähden (koilliseen). Laske A, B ja C graafisesti yhteen käyttäen suunnikasta.

a) R = A + B

b) R = A – B

c) R = A + B + C

d) R = A – B – C

Tuloksena oleva vektori (R) mitataan viivaimella. Tuloksena olevan vektorin suunta mitataan astelevyllä.

3. Vektorien yhteenlasku – aanalyyttinen menetelmä

Resultanttivektorin suuruuden ja suunnan määrittäminen graafisella menetelmällä on yksi lähestymistapa. Tulosten tarkkuus riippuu piirtämisen ja mittakaavan lukemisen tarkkuudesta ja oikeellisuudesta. Resultanttivektorin suuruus ja suunta saadaan tarkemmin matemaattisilla laskelmilla.

a. Kahden vektorin summan laskeminen kosinisäännön avulla

Kaava tuloksena olevan vektorin suuruuden määrittämiseksi:

Kaava tuloksena olevan vektorin suunnan määrittämiseksi:

C = resultanttivektori

A = vektori 1

B = vektori 2

cos ∠(A, B) = vektorien A ja B muodostama kulma

Esimerkkitehtävä 1:

F1 = 2N muodostaa 30 asteen kulman x-akselin ympäri, F2 ₌ 3N muodostaa 60 ^asteen kulman x-akselin ympäri, θ = ³⁰ _astetta.

Esimerkkitehtävä 2:

F1 = 2N osuu x-akseliin, F2 ₌ 3N muodostaa 90 asteen kulman ^x -akselin ympäri, θ = ₉₀ ^astetta.

b. Vektorien yhteenlasku komponenttien avulla

Tarkastele vektoria F, joka muodostaa tietyn kulman x-akselin ympäri, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Fx _ja Fy _ovat vektorin F komponenttivektoreita.

Komponenttivektorin suuruus määritetään kaavalla:

F _x = F cos θ

Fy = Fsin _θ

Tarkastele kahta vektoria F₁ ja F₂ joka muodostaa tietyn kulman x-akselin ympäri, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. F_1x ja F_1y ovat vektorin F komponentteja₁, joten F_2x ja F_2y ovat vektorin F komponentteja₂.

Komponenttivektori määritetään kaavalla:

F_1x =F₁ cos θ

F1y = _{F1 sin} θ

F²x = _F²cosθ​​

F1y = _{F1 sin} θ

Komponenttivektorien yhteenlasku:

Fx = _F1x + _F2x​

Fy = _F1y + _F2y​

Tuloksena oleva vektori määritetään kaavalla:

Tuloksena olevan vektorin suunta määritetään kaavalla:

Esimerkkitehtävä 1:

Määritä vektorin F komponentit, joiden suuruus on 20 N ja jotka muodostavat 30 ^asteen kulman x-akselin ympäri.

F _x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

Esimerkkitehtävä 2:

F1 = 20 N muodostaa 30 ^asteen kulman x-akselin ympäri ja F2 _{= 15} N muodostaa 180 asteen kulman x-akselin ympäri. Määritä resultanttivektorin suuruus ja suunta.

F1x = ( ₂₀ N)(cos 30 ^° ) = 17 N

F2x = F1 ₌ –15 _N

F _1y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

F2y = ₀

Komponenttivektorien yhteenlasku:

Fx ₌ F1x – F2x _{= 17N} – 15N = 2N

Fy = ₁₀ N

Tuloksena oleva vektori:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ₌ 2 ² + 102 ^{= 4} + 100 ⁼ ₁₀₄

F = 10.2 N

Tuloksena olevan vektorin suunta:

θ = tan −15 = 78.7 ^° x-akselin ympäri

Esimerkkitehtävä 3:

F₁, F_2, ja F₃ ovat 20 N, 30 N ja 40 N. F₁ muodostaa 60 asteen kulman^o x-akselin ympäri, F₂ muodostaa 150 asteen kulman^o x-akselin ympäri ja F₃ muodostaa 315 asteen kulman^o x-akselin ympäri. Määritä resultanttivektorin suuruus ja suunta.

F _1x = (20 N)(cos 60 ^° ) = 10 N

F _1y = (20 N) (sin 60 ^o ) = 17 N

F2x = ( ₃₀ N)(cos 30 ^° ) = -26 N

F _2y = (30 N) (sin 30 ^o ) = 15 N

F3x = ( ₄₀ N)(cos 45 ^° ) = 28 N

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

Komponenttivektorin lisääminen:

Fx ₌ F1x _– F2x + F3x _{= 10N} – 26N + 28N = 12N

F _y = F _1y + F _2y - F _3y = 17 N + 15 N - 28 N = 4 N

Tuloksena oleva vektori:

F² ⁼ F² + F² ₌ 12² ^{+ 4²} ₌ 144 + 16 ^{= 160}

F = 13 N

Tuloksena olevan vektorin suunta:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^° x-akselin ympäri