Pistekertolaskumateriaali yksikkövektorikomponenttien avulla
Voimme laskea skalaaritulon suoraan, jos tunnemme vektorien A ja B x-, y- ja z-komponentit (tunnetut vektorit).
Suorittaaksemme pistetulon tällä tavalla, laskemme ensin yksikkövektorien pistetulon, minkä jälkeen ilmaisemme vektorit A ja B komponentteinaan, hajotamme tulon ja käytämme yksikkövektorien tuloa.
Yksikkövektorit i , j ja k ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden, mikä helpottaa laskelmia. Käyttämällä yllä johdettua skalaarista kertolaskuyhtälöä ( AB = AB cos theta ) saadaan:
i. i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i.j = i.k = j.k = (1)(1) cos 90 ° = 0
Nyt ilmaisemme vektorit A ja B komponentteinaan, hajotamme niiden tulon ja käytämme yksikkövektorien tuloa.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
koska i . i = j . j = k . k = 1 ja i . j = i . k = j . k = 0, niin:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A × B × ( 1) + 0 + 0 +
0 + A y B y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Tämän laskelman tulosten perusteella voidaan päätellä, että kahden vektorin skalaaritulo eli pistetulo on niiden samankaltaisten komponenttien tulojen summa.
Esimerkkikysymys 1:
Suuri vektori A dan B ovat vastaavasti 5 ja 4, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Muodostunut kulma on 90oLaske se pistetulo molemmat vektorit.
Keskustelu
Ennen kuin laskemme vektorien A ja B pistetulon, meidän on ensin tiedettävä toisen vektorin komponentit.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Vektorilla A on vektorikomponentit vain x-akselilla ja vektorilla B on vektorikomponentit vain y-akselilla. Z-komponentti on nolla, koska vektorit A ja B ovat xy-tasossa.
Laskemme nyt vektorien A ja B välisen pistetulon käyttämällä komponenttivektoreilla varustettua pistetuloyhtälöä:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Verrataanpa sitä ensimmäiseen menetelmään
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Tulos on sama.
Esimerkkikysymys 2:
Suuri vektori A dan B ovat 5 ja 4, kuten alla olevassa kuvassa näkyy. Laske pistetulo molemmat vektorit, jos muodostuva kulma on 30o
Keskustelu
Ennen kuin laskemme vektorien A ja B pistetulon, meidän on ensin tiedettävä toisen vektorin komponentit.
Z-komponentti on nolla, koska vektorit A ja B ovat xy-tasossa.
Laskemme nyt vektorien A ja B välisen pistetulon käyttämällä komponenttivektoreilla varustettua pistetuloyhtälöä:
Vertaa ensimmäiseen menetelmään.
