4 esimerkkiä pyörän ja pyörän välisen yhteyden kysymyksistä
1. Kaksi pyörää A ja B on yhdistetty nauhalla (katso kuva). Jos A:n säde on kaksi kertaa B:n säde, niin tapahtuu seuraavaa...
A. vA = 2 vB
B. vA = 1/2 vB
C. vA = vB
D. ωA = ωB
E. ωA = 2 ωB
Keskustelu
Tiedetään, että:
Pyörän A säde (rA) = kaksi kertaa pyörän B säde (2 rB)
Kysytty:
– Pyörän A lineaarinopeuden (vA) ja pyörän B lineaarinopeuden (vB) välinen suhde
– Pyörän A kulmanopeuden (ωA) ja pyörän B kulmanopeuden (ωA) välinen suhde.
Vastaus:
Pyörät A ja B on yhdistetty teipillä siten, että kun pyörä A pyörii, myös pyörä B pyörii. Jos pyörän A pinta liikkuu 1 metrin sekunnissa, niin myös pyörän B pinta liikkuu 1 metrin sekunnissa. Pyörän A lineaarinopeus on siis sama kuin pyörän B lineaarinopeus (vA = vB).
Toisaalta, jos pyörä B on tehnyt yhden kierroksen, pyörä A ei ole tehnyt yhtäkään kierrosta, koska pyörän B ympärysmitta on pienempi ja pyörän A ympärysmitta suurempi. Toisin sanoen pyörän A kulmanopeus ei ole sama kuin pyörän B kulmanopeus. Mikä on pyörän A kulmanopeuden ja pyörän B kulmanopeuden välinen suhde?
Pyörän A nopeus: vA = rA ωA = 2rB ωA
Pyörän B nopeus: vB = rB ωB
Pyörän A nopeus on sama kuin pyörän B nopeus:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωA = ωB
ωA = 1/2 ωB
Oikea vastaus on C.
2. Kolme pyörää A, B ja C on yhdistetty toisiinsa kuvan mukaisesti. Jos pyörien A, B ja C säteet ovat vastaavasti 20 cm, 8 cm ja 4 cm ja pyörä B pyörii kulmanopeudella 10 rad.s-1, sitten pyörä C pyörii kulmanopeus yhtä suuri kuin…
A. 80 rad.s-1
B. 50 rad.s-1
C. 40 rad.s-1
D. 20 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Pyörän säde A (rA) = 20 cm = 0,2 metriä
Pyörän B säde (rB) = 8 cm = 0,08 metriä
Pyörän säde C (rC) = 4 cm = 0,04 metriä
Pyörän B kulmanopeus (ωB) = 10 rad/s
Kysymys: Pyörän C kulmanopeus (ωC)
Vastaus:
Pyörän vanteen A kulmanopeus ja lineaarinopeus
Pyörä A ja pyörä B ovat kiinni toisissaan, joten ne pyörivät yhdessä. Jos pyörä B pyörii yhden kierroksen (360o), niin samana aikana pyörä A liikkuu myös yhden kierroksen (360o). Koska ne pyörivät yhdessä, pyörän A kulmanopeus (ωA) on sama kuin pyörän B kulmanopeus (ωB).
Pyörän A kulmanopeus:
ωA = ωB = 10 radiaania/sekunti
Pyörän vanteen A lineaarinopeus:
Pyörän A reunan lineaarinopeuden suuruus lasketaan käyttämällä kaavaa lineaarinopeuden ja kulmanopeuden välisen suhteen kuvaamiseksi, v = r ω.
vA = rA ωA = (0,2 m)(10 rad/s) = 2 m/s
Pyörän vanteen C kulmanopeus ja lineaarinopeus
Pyörän A ympärysmitta on paljon suurempi kuin pyörän C ympärysmitta. Kun pyörä C on liikkunut ympyrää yhden kierroksen (360o), pyörä A ei ole saman ajan kuluessa vielä tehnyt yhtäkään kierrosta (360oo). Näin ollen pyörän A kulmanopeus ei ole sama kuin pyörän C kulmanopeus.
Pyörät A ja C on kuitenkin yhdistetty toisiinsa köydellä tai ketjulla. Koska ne ovat yhteydessä toisiinsa, pyörän A reunan kulkema matka saman aikavälin aikana on sama kuin pyörän C reunan kulkema matka. Näin ollen pyörän C reunan lineaarinopeus (vC) on sama kuin pyörän A reunan lineaarinopeus (vA).
Pyörän vanteen C lineaarinopeus:
vC = vA = 2 m/s
Pyörän C kulmanopeus:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 radiaania/sekunti = 50 rad.s-1.
Oikea vastaus on B.
3. Pyöräjärjestelmä, jonka säteet RA = 2 cm, RB = 4 cm ja RC = 10 cm, on kytketty kuvan mukaisesti. Pyörä B pyörii 60 kierrosta minuutissa, joten pyörän C lineaarinopeus on…
A. 8π cm·s-1
B. 12 cm.s-1
C. 12π cm.s-1
Halkaisija 24 cm-1
E. 24π cm.s-1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Pyörän säde A (rA) = 2 cm
Pyörän B säde (rB) = 4 cm
Pyörän säde C (rC) = 10 cm
Pyörän B kulmanopeus (ωB) = 60 kierrosta/minuutti = 60 kierrosta/60 sekuntia = 1 kierros/sekunti = 1(2π radiaania)/sekunti = 2π rad/s
Kysymys: Pyörän C lineaarinopeus (vC)
Vastaus:
Pyörän vanteen B lineaarinen nopeus
Pyörän reunan B lineaarinopeus:
vB = rB ωB = (4 cm)(2π rad/s) = 8π cm/s
Pyörän vanteen lineaarinen nopeus A
Pyörä A ja pyörä B on yhdistetty köydellä, joten pyörän A reunan lineaarinopeus (vA) on sama kuin pyörän B reunan lineaarinopeus (vB).
vA = vB = 8π cm/s
Pyörän vanteen C lineaarinen nopeus
Pyörä C ja pyörä A on yhdistetty köydellä, joten pyörän C reunan lineaarinopeus (vC) on sama kuin pyörän A reunan lineaarinopeus (vA).
vC = vA = vB = 8π cm/s
Oikea vastaus on A.
4. Tarkastellaan seuraavia pyörien välisiä suhteita! Pyörän säteet RA = 25 cm, RB = 15 cm, RC = 40 cm ja pyörä C pyörii nopeudella 60 kierrosta minuutissa. Pyörän A kulmanopeus on…
A. 2,5π rad.s-1
B. 3π rad.s-1
C. 3,2π rad.s-1
D. 3,5π rad.s-1
E. 3,8π rad.s-1
Keskustelu
Tiedetään, että:
Pyörän säde A (rA) = 25 cm = 0,25 metriä
Pyörän B säde (rB) = 15 cm = 0,15 metriä
Pyörän säde C (rC) = 40 cm = 0,4 metriä
Pyörän C kulmanopeus (ωC) = 60 kierrosta/minuutti = 60 kierrosta/60 sekuntia = 1 kierros/sekunti = 1(2π radiaania)/sekunti = 2π rad/s
Kysymys: Pyörän A kulmanopeus (ωA)
Vastaus:
Pyörän vanteen C lineaarinopeus:
vC = rC ωC = (0,4 m) (2π rad/s) = 0,8π m/s
Pyörän vanteen B lineaarinen nopeus
Pyörä C ja pyörä B on yhdistetty köydellä, joten pyörän C reunan lineaarinopeus (vC) on sama kuin pyörän B reunan lineaarinopeus (vB).
vB = vC = 0,8π m/s
Pyörän vanteen A kulmanopeus ja lineaarinopeus
Pyörä A ja pyörä B ovat yhteydessä toisiinsa yllä olevan kuvan mukaisesti, joten pyörän A kulmanopeus ei ole sama kuin pyörän B kulmanopeus. Tämä johtuu siitä, että pyörän A ympärysmitta on suurempi kuin pyörän B. Saman ajan kuluessa, kun pyörä A on liikkunut ympyrää yhden kierroksen (360o), pyörä B ei ole vielä tehnyt yhtä kierrosta (360o). Samana aikavälinä pyörän A reunan kulkema matka on kuitenkin sama kuin pyörän B reunan kulkema matka. Pyörän A reunan lineaarinopeus (vA) on siis sama kuin pyörän B reunan lineaarinopeus (vB).
Pyörän vanteen lineaarinen nopeus A
vA = vB = vC = 0,8π m/s
Pyörän A kulmanopeus
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2π rad/s
Oikea vastaus on C.
