Arkhimedeen lakiaineisto
Oletko koskaan nähnyt laivaa? Jos et ole nähnyt sellaista omin silmin, olet toivottavasti nähnyt sellaisen televisiossa tai internetissä. Hyvin suurimassainen laiva ei uppoa, kun taas pieni, kevyt kivi voi upota. Miksi näin on? Vastaus on melko yksinkertainen, jos ymmärrät kelluvuuden ja Arkhimedeen periaatteen käsitteet.
Arkielämässä huomaamme, että nesteeseen sijoitetut esineet, kuten kallio, painavat vähemmän kuin silloin, kun esine ei ole nesteessä. Kiven nostaminen maan pinnalta voi olla vaikeaa, mutta sama kivi nousee helposti altaan pohjalta. Tämä johtuu kelluvuusvoimasta. Kelluvuus syntyy nesteen paineen eroista eri syvyyksissä. Nesteen paine kasvaa syvyyden mukana, mitä syvempi neste, sitä suurempi nesteen paine. Kun esine asetetaan nesteeseen, sen yläpuolella olevan nesteen ja sen alapuolella olevan nesteen välillä on paine-ero. Esineen pohjalla olevalla nesteellä on suurempi paine kuin sen päällä olevalla nesteellä.
Kelluvuus
Kuvassa näkyy, että esine kelluu vedessä. Esineen alapuolella olevalla nesteellä on suurempi paine kuin esineen yläpuolella olevalla nesteellä. Tämä johtuu siitä, että esineen alapuolella olevalla nesteellä on suurempi syvyys kuin esineen yläpuolella olevalla nesteellä (h2 > h1).
F2 = nesteen kappaleen pohjaan kohdistama voima, F1 = nesteen kappaleen päälle kohdistama voima, A = kappaleen pinta-ala
F2 :n ja F1 :n välinen erotus on nesteen kappaleeseen kohdistama kokonaisvoima, jota kutsutaan kelluvuusvoimaksi. Kelluvuusvoiman suuruus on:
F kelluvuus = F2 − F1
F kelluva = (ρ gh 2 A ) − (ρ gh 1 A)
F liukuluku = ρ g A ( h 2 − h 1 )
F kelluvuus = ρ g A h
F kelluvuus = ρ g V
Tietoja:
ρ = nesteen tiheys
g = painovoiman aiheuttama kiihtyvyys
V = kappaleen tilavuus nesteessä
jotta yhtälö, joka ilmaisee yllä olevan kelluvuusvoiman (F kelluvuus) suuruuden, voidaan kirjoittaa muodossa:
F liukuluku = ρ F g V → m = ρ V
F kelluvuus = m F g
F kelluvuus = w F
m F g = w F = nesteen paino, jonka tilavuus on sama kuin upotetun kappaleen tilavuus.
Arkhimedeen periaate
Yllä olevan yhtälön perusteella voimme sanoa, että kellukevoima on yhtä suuri kuin syrjäytetyn nesteen paino ja syrjäytetyn nesteen tilavuus on yhtä suuri kuin nesteeseen upotetun kappaleen tilavuus.
Jos esine upotetaan nesteeseen ja se kelluu, ja vain osa siitä on upoksissa, niin syrjäytetyn nesteen tilavuus on yhtä suuri kuin nesteeseen upotetun esineen osan tilavuus. Esineen muodosta tai koosta riippumatta sama tapahtuu kaikille. Tämä on Arkhimedeen (287-212 eKr.) työ, joka tunnetaan nykyään Arkhimedeen periaatteena.
Arkhimedeen periaate toteaa, että:
Kun kappale on kokonaan tai osittain nesteeseen upotettu, neste kohdistaa kappaleeseen ylöspäin suuntautuvan voiman (kelluva voima), jossa ylöspäin suuntautuvan voiman (kelluva voiman) suuruus on yhtä suuri kuin syrjäytetyn nesteen paino.
Arkhimedeen tarina
Arkhimedes, joka eli vuosien 287 ja 212 eaa. välillä, sai kuningas Hieron II:lta tehtäväksi tutkia, oliko kuninkaalle tehty kruunu tehty puhtaasta kullasta. Arkhimedes oli aluksi hämmentynyt siitä, oliko kruunu tehty puhtaasta kullasta vai sisälsikö se muita metalleja. Ongelmana oli, että kruunu oli muodoltaan epäsäännöllinen, eikä sitä voitu rikkoa sen selvittämiseksi, oliko se puhdasta kultaa.
Kuninkaan kruunun puhtaasta kullasta valmistuksen määrittämisen ajatuksena on ensin määrittää kruunun ominaispaino ja sitten verrata sitä kullan ominaispainoon. Jos kruunu on tehty puhtaasta kullasta, kruunun ominaispaino = kullan ominaispaino.
Kappaleen ominaispaino on kappaleen painon suhde ilmassa veden painoon, kun veden tilavuus on sama kuin kappaleen. Matemaattisesti se kirjoitetaan seuraavasti:
Kuinka määrittää veden paino, jonka tilavuus on sama kuin esineen tilavuus?
Arkhimedeen mukaan veden paino, jonka tilavuus on sama kuin kappaleen tilavuus, = kellukkeen suuruus, kun kappale uppoaa (koko kappale on veden peitossa). Tämä on sama kuin kappaleen paino, jonka se menettää punnittaessa vedessä. Näin ollen:
Kruunun ominaispainon määrittämiseksi kruunu punnitaan ensin ilmassa (kruunun paino ilmassa). Seuraavaksi kruunu laitetaan veteen ja punnitaan uudelleen irronneen kruunun painon saamiseksi. Joten:
Kun kruunun ominaispaino on määritetty, sitä verrataan kullan ominaispainoon. Kullan ominaispaino on 19,3. Jos kruunun ominaispaino on yhtä suuri kuin kullan ominaispaino, kruunu on valmistettu puhtaasta kullasta. Jos kruunu ei kuitenkaan ole valmistettu puhtaasta kullasta, kruunun ominaispaino ei ole sama kuin kullan ominaispaino.
Miksi laivat eivät uppoa?
Jos kappaleen tiheys on pienempi kuin veden tiheys, kappale kelluu. Käänteisesti, jos kappaleen tiheys on suurempi kuin veden tiheys, kappale uppoaa. Useimmat laivat on valmistettu raudasta ja teräksestä. Raudan ja teräksen tiheys = 7,8 x 103 kg /m3 , kun taas veden tiheys = 1,00 x 103 kg /m3 . Näyttää siltä, että raudan ja teräksen tiheys on suurempi kuin veden tiheys. Tässä tapauksessa raudan ja teräksen ominaispaino = 7,8. Raudasta ja teräksestä valmistettujen laivojen pitäisi upota. Miksi laivat eivät uppoa? Aluksen kokonaistiheys on pienempi kuin veden tai meriveden tiheys.
Esimerkkikysymyksiä Arkhimedeen laista
Esimerkkikysymys 1:
Uima-altaan pohjalla on 40 kg painava kivi. Jos kiven tilavuus on 0,2 m3 , mikä on pienin voima, joka tarvitaan kiven nostamiseen?
Keskustelu
Tiedetään, että:
Kiven massa (m) = 40 kg
Kiven tilavuus (V) = 0,02 m3
Veden tiheys = 1000 kg/ m³
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Kysytty: Vähintään F
Vastaus:
F kelluvuus = w F
F kelluvuus = m F g → m = pV
F kelluvuus = ρ F g V
F kelluvuus = (1000 kg/m³ ) (10 m/s² ) (0,02 m³ )
F kelluvuus = 200 kg m/ s²
F kelluvuus = 200 N
Kiven paino (w) = mg
Kiven paino = (40 kg)(10 m/ s² )
Kiven paino = 400 kg m/ s²
Kiven paino = 400 N
Pienin kiven nostamiseen tarvittava voima:
Kiven paino – kelluvuusvoima = 400 N – 200 N = 200 Newtonia.
Esimerkkikysymys 2:
Kappaleen paino ilmassa = 5000 kg m/s² ja kappaleen paino vedessä = 4000 kg m/s² . Jos kappaleen tiheys = 2000 kg/m³ , mikä on kappaleen massa ja tilavuus? g = 10 m/ s²
Keskustelu
Painovoiman kiihtyvyys (g) = 10 m/ s²
Kappaleen tiheys = 2000 kg/ m³
Veden tiheys = 1000 kg/ m³
Kappaleen paino ilmassa = 5000 kg m/ s²
Kappaleen paino vedessä = 4000 kg m/ s²
Kelluvuusvoima (F kelluva) = Kappaleen paino ilmassa – Kappaleen paino vedessä
F kelluvuus = 5000 kg m/s² – 4000 kg m/ s²
F kelluvuus = 1000 kg m/ s²
F kelluvuus = syrjäytetyn veden paino
F kelluvuus = (veden massa)(g)
F kelluvuus = (syrjäytyneen veden tilavuus)(veden tiheys)(g)
Syrjäytyneen veden tilavuus = Veteen upotetun esineen tilavuus 😉
Joten kappaleen tilavuus = 0,1 m3
Kappaleen massa = ?
ρ = m / V
m = ρV
m = ( 2000 kg / m 3 ) ( 0,1 m 3 )
m = 200 kg
Esineen massa = 200 kg
Esimerkkikysymys 3:
Kuinka paljon heliumia tarvitaan, jos ilmapallon on nostettava 500 kg:n kuorma?
Keskustelu
Heliumin tiheys = 0,1786 kg/ m3
Ilman tiheys = 1,293 kg/ m³
Kelluntavoima = Syrjäytyneen ilman paino = Kuorman paino + Heliumin paino
Kelluntavoima = Kuorman paino + heliumin paino
Kelluvuusvoima = (kuorman massa)(g) + (heliumin massa)(g)
Kelluvuusvoima = (kuorman massa + heliumin massa) g —- yhtälö 1
Kelluvuusvoima = syrjäytetyn ilman paino
Kelluvuusvoima = (syrjäytyneen ilman massa)(g) —- yhtälö 2
Yhdistämme yhtälön 1 ja yhtälön 2:
(kuorman massa + heliumin massa)(g) = (syrjäytyneen ilman massa)(g)
kuorman massa + heliumin massa = syrjäytetyn ilman massa
500 kg + (ρ helium)(V helium) = (ρ ilma)(V ilma)
500 kg = (ρ ilma)(V ilma) – (ρ helium)(V helium)
Syrjäytyneen ilman tilavuus (V ilma) = ilmapalloa täyttävän heliumin tilavuus (V helium)
500 kg = (ρ ilma – ρ helium) (V)
Tämä on heliumin pienin tilavuus, joka tarvitaan painon nostamiseen maan pinnalla. Jotta ilmapallo voi leijua korkeammalle, heliumin tilavuutta on lisättävä. Tämä johtuu siitä, että ilman tiheys pienenee korkeuden kasvaessa.
