حرکت زاویه ای

حرکت زاویه ای

کمیت حرکت چرخشی، که در حرکت خطی با جرم (m) یکسان است، گشتاور اینرسی (I) است. کمیت حرکت چرخشی، که در حرکت خطی با سرعت (v) یکسان است، سرعت زاویه‌ای (ω) است. بنابراین، جسم چرخان دارای تکانه زاویه‌ای است که می‌توان آن را با استفاده از معادله زیر محاسبه کرد:

L = I ω

L = تکانه زاویه‌ای (کیلوگرم متر ^مربع بر ثانیه)، I = گشتاور اینرسی (کیلوگرم متر ^مربع )، ω = سرعت زاویه‌ای (رادیان بر ثانیه)

نمونه مسائل تکانه زاویه‌ای

نمونه سوال ۱.

ذره‌ای به جرم ۰.۵ گرم در یک مسیر دایره‌ای با سرعت زاویه‌ای ثابت ۲ رادیان بر ثانیه حرکت می‌کند. اگر شعاع مسیر ذره ۱۰ سانتی‌متر باشد، تکانه زاویه‌ای ذره را تعیین کنید.

راه حل:

گشتاور اینرسی ذره:

من = آقای ^۲ = (۰.۵ x ۱۰ ^-۳ کیلوگرم)(۱ x ۱۰ ^-۱ متر) ^۲ = (۰.۵ x ۱۰ ^-۳ کیلوگرم)(۱ x ۱۰ ^-۲ متر ^مربع ) = ۰.۵ x ۱۰ ^-۵ کیلوگرم متر ^مربع

سرعت زاویه‌ای ذره:

ω = 2 راد در ثانیه

تکانه زاویه‌ای ذره:

L = (0.5 x 10 ^-5 کیلوگرم متر مربع ⁾ (2 رادیان بر ثانیه) = 1 x 10 ^-5 کیلوگرم متر ^مربع بر ثانیه

قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای

قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای بیان می‌کند که اگر گشتاور برآیند نیرو روی یک جسم صلب هنگام چرخش صفر باشد، تکانه زاویه‌ای جسم صلب هنگام چرخش همیشه ثابت است. قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای را می‌توان با اصلاح معادله قانون دوم نیوتن در مورد تکانه زاویه‌ای به صورت ریاضی استخراج کرد. در اینجا معادله قانون دوم نیوتن در مورد تکانه زاویه‌ای آمده است:

اگر گشتاور نیروی حاصل صفر باشد، معادله بالا به صورت زیر تغییر می‌کند:

I _t = گشتاور اینرسی نهایی، I _o = گشتاور اینرسی اولیه، ω _t = سرعت زاویه‌ای نهایی، ω _o = سرعت زاویه‌ای اولیه، L _t = تکانه زاویه‌ای نهایی، L _o = تکانه زاویه‌ای اولیه.

نمونه مسائل قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای

نمونه سوال ۱.

یک دیسک استوانه‌ای جامد همگن در ابتدا با سرعت ۴ رادیان بر ثانیه به دور محور خود می‌چرخد. جرم و شعاع دیسک ۱ کیلوگرم و ۰.۵ متر است. اگر بالای صفحه، حلقه‌ای با جرم و شعاع ۰.۲ کیلوگرم و ۰.۱ متر و در مرکز حلقه قرار گیرد،

درست بالای مرکز دیسک، سپس دیسک و حلقه با سرعت زاویه‌ای ... به چرخش در می‌آیند.

راه حل:

ممان اینرسی استوانه جامد: I = 1⁄2 mr2 ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m2

ممان اینرسی حلقه: I = mr2 ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m ²

تکانه زاویه‌ای اولیه (L1 ₎ = تکانه زاویه‌ای نهایی ( _L2 )

من _۱ ω _۱ = من _۲ ω _۲

(0.125 کیلوگرم بر متر ^مربع )(4 رادیان بر ثانیه) = (0.125 کیلوگرم بر متر ^مربع + 0.002 کیلوگرم بر متر ^مربع )( _ω2 )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 رادیان بر ثانیه

پرسش و پاسخ مفهومی

1. تکانه زاویه‌ای چیست؟
   پاسخ: تکانه زاویه‌ای معیاری برای سنجش میزان چرخش یک جسم با توجه به جرم و شکل آن است. این معادل چرخشی تکانه خطی است.
2. تکانه زاویه‌ای چگونه از نظر ریاضی تعیین می‌شود؟
   پاسخ: تکانه زاویه‌ای (L) به صورت زیر تعریف می‌شود: $L=r\times p$، که در آن $r$ بردار موقعیت از محور چرخش تا نقطه اعمال نیرو است، و $p$ تکانه خطی است.
3. آیا تکانه زاویه‌ای یک کمیت اسکالر است یا برداری؟
   پاسخ: تکانه زاویه‌ای یک کمیت برداری است.
4. واحد اندازه گیری تکانه زاویه ای در سیستم SI چیست؟
   پاسخ: واحد تکانه زاویه‌ای در سیستم SI، کیلوگرم-متر مربع بر ثانیه (kg·m) است.²/ها).
5. تکانه زاویه‌ای چگونه حفظ می‌شود؟
   پاسخ: در یک سیستم بسته بدون گشتاور خارجی، کل تکانه زاویه‌ای ثابت می‌ماند.
6. اصل پایستگی تکانه زاویه‌ای چیست؟
   پاسخ: این اصل بیان می‌کند که کل تکانه زاویه‌ای یک سیستم بسته ثابت می‌ماند مگر اینکه تحت تأثیر گشتاور خارجی قرار گیرد.
7. چرخش یک اسکیت‌باز چه ارتباطی با تکانه زاویه‌ای دارد؟
   پاسخ: وقتی یک اسکیت‌باز نمایشی در حین چرخش، دست‌ها و پاهایش را به بدنش نزدیک می‌کند، گشتاور اینرسی خود را کاهش می‌دهد و باعث می‌شود سریع‌تر بچرخد. این نشان دهنده‌ی پایستگی تکانه زاویه‌ای است.
8. رابطه بین گشتاور و تکانه زاویه‌ای چیست؟
   پاسخ: گشتاور ($\tau$) نرخ تغییر تکانه زاویه‌ای است. از نظر ریاضی، τ=dلیتر بر ثانیه​.
9. آیا ممکن است جسمی بدون سرعت زاویه‌ای، تکانه زاویه‌ای داشته باشد؟
   پاسخ: خیر، اگر جسمی تکانه زاویه‌ای داشته باشد، سرعت زاویه‌ای نیز دارد. بزرگی و جهت تکانه زاویه‌ای هم به گشتاور اینرسی و هم به سرعت زاویه‌ای بستگی دارد.
10. گشتاور اینرسی چگونه بر تکانه زاویه‌ای تأثیر می‌گذارد؟
    پاسخ: تکانه زاویه‌ای (L) حاصلضرب گشتاور اینرسی (I) و سرعت زاویه‌ای (ω) است. $L=I\omega$، افزایش گشتاور اینرسی برای یک سرعت زاویه‌ای معین، تکانه زاویه‌ای را افزایش می‌دهد.
11. تفاوت بین اسپین و تکانه زاویه‌ای مداری در مکانیک کوانتومی چیست؟
    پاسخ: تکانه زاویه‌ای اسپینی یک ویژگی ذاتی ذراتی مانند الکترون‌ها است و از حرکت در فضا ناشی نمی‌شود. از سوی دیگر، تکانه زاویه‌ای مداری از حرکت یک ذره به دور یک نقطه مرکزی ناشی می‌شود.
12. تکانه زاویه‌ای چه نقشی در شکل‌گیری منظومه‌های سیاره‌ای دارد؟
    پاسخ: همچنان که یک ابر مولکولی فرو می‌ریزد تا ستاره‌ها و سیارات را تشکیل دهد، پایستگی تکانه زاویه‌ای باعث می‌شود که ماده به صورت دیسکی در اطراف ستاره تازه متولد شده مسطح شود، که از آن سیارات می‌توانند تشکیل شوند.
13. چگونه یک ژیروسکوپ جهت خود را در فضا حفظ می‌کند؟
    پاسخ: یک ژیروسکوپ چرخان دارای تکانه زاویه‌ای است. هنگامی که یک گشتاور خارجی سعی در تغییر جهت آن می‌کند، ژیروسکوپ به دلیل پایستگی تکانه زاویه‌ای، محور چرخش خود را در جهت عمود بر گشتاور اعمال شده تغییر می‌دهد.
14. چه چیزی باعث ایجاد حرکت تقدیمی در فرفره می‌شود؟
    پاسخ: حرکت تقدیمی در یک فرفره چرخان ناشی از گشتاور ناشی از گرانش است که بر مرکز جرم فرفره وارد می‌شود و نسبت به نقطه محوری آن، انحراف دارد. این گشتاور منجر به تغییر جهت تکانه زاویه‌ای فرفره شده و باعث حرکت تقدیمی آن می‌شود.
15. چرا ستاره‌ها در قطب‌هایشان مسطح می‌شوند؟
    پاسخ: با چرخش ستارگان، نیروی گریز از مرکز آنها را به سمت بیرون هل می‌دهد. این اثر در استوا قوی‌تر از قطب‌ها است و منجر به شکل پخ‌دار یا مسطح آنها می‌شود.
16. تکانه زاویه‌ای چه ارتباطی با قانون دوم کپلر دارد؟
    پاسخ: قانون دوم کپلر بیان می‌کند که پاره خطی که یک سیاره و خورشید را به هم وصل می‌کند، در فواصل زمانی مساوی، مساحت‌های مساوی را جاروب می‌کند. این نتیجه‌ای از پایستگی تکانه زاویه‌ای است.
17. چرا گربه هنگام سقوط همیشه روی پاهایش فرود می‌آید؟
    پاسخ: گربه‌ها از قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای استفاده می‌کنند. آن‌ها با پیچاندن بدنشان و تغییر گشتاورهای اینرسی خود در هوا، می‌توانند بدون نقض قوانین پایستگی، جهت خود را تغییر دهند تا روی پاهایشان فرود بیایند.
18. گشتاور مغناطیسی چگونه با تکانه زاویه‌ای در الکترون‌ها مرتبط است؟
    پاسخ: گشتاور مغناطیسی یک الکترون از تکانه زاویه‌ای اسپین و مداری آن ناشی می‌شود. گشتاور مغناطیسی متناسب با تکانه زاویه‌ای الکترون است.
19. تکانه زاویه‌ای بر حسب مختصات قطبی چیست؟
    پاسخ: در مختصات قطبی، تکانه زاویه‌ای $L$ برای یک جرم نقطه‌ای می‌توان آن را به صورت زیر بیان کرد $L=mrv$، که در آن $m$ جرم است، $r$ فاصله شعاعی است، و $v$ سرعت مماسی است.
20. وقتی دو جسم با هم برخورد می‌کنند، چه اتفاقی برای تکانه زاویه‌ای یک سیستم بسته می‌افتد؟
    پاسخ: در یک سیستم بسته که دو جسم با هم برخورد می‌کنند، با فرض اینکه هیچ گشتاور خارجی بر سیستم وارد نشود، کل تکانه زاویه‌ای قبل از برخورد با کل تکانه زاویه‌ای بعد از برخورد برابر است.

مشکلات و راه حل ها

۱. مسئله: یک جسم نقطه‌ای به جرم m = 2 کیلوگرم با سرعت v = 3 متر بر ثانیه در دایره‌ای به شعاع r = 4 متر حرکت می‌کند. تکانه زاویه‌ای آن را حول مرکز دایره محاسبه کنید.

راه حل: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m ² / s

۲. مسئله: یک کره جامد به جرم ۳ کیلوگرم و شعاع ۰.۵ متر با سرعت زاویه‌ای ω = ۲ رادیان بر ثانیه حول قطر خود می‌چرخد. تکانه زاویه‌ای آن چقدر است؟

راه حل: برای یک کره جامد، I = 2/5 m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 کیلوگرم بر مترمربع ^بر ثانیه

۳. مسئله: یک جرم نقطه‌ای به جرم ۳ کیلوگرم با سرعت ۴ متر بر ثانیه در یک خط مستقیم در حال حرکت است. تکانه زاویه‌ای آن حول نقطه‌ای که ۵ متر از خط حرکت آن فاصله دارد، چقدر است؟

راه حل:

$L=m\times v\times r$

طول = ۳×۴×۵ = ۶۰ کیلوگرم ^بر متر مربع بر ثانیه

۴. مسئله: دیسکی به جرم ۵ کیلوگرم و شعاع ۳ متر با سرعت زاویه‌ای ۲ رادیان بر ثانیه در حال چرخش است. تکانه زاویه‌ای آن را محاسبه کنید.

راه حل: برای یک دیسک، I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

۵. مسئله: میله‌ای به طول ۴ متر و جرم ۲ کیلوگرم با سرعت زاویه‌ای ۳ رادیان بر ثانیه حول یک انتها می‌چرخد. تکانه زاویه‌ای آن را بیابید.

راه حل: برای میله‌ای که حدود یک سر آن قرار دارد، I = 1/3 میلی‌لیتر بر ^لیتر

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

۶. مسئله: اگر سرعت زاویه‌ای یک جسم چرخان دو برابر شود، تغییر در تکانه زاویه‌ای چقدر خواهد بود؟

راه حل: رابطه بین تکانه زاویه‌ای (L) و سرعت زاویه‌ای (ω) به صورت $L=I\times \omega$ است . اگر ω دو برابر شود، تکانه زاویه‌ای نیز دو برابر خواهد شد.

۷. مسئله: اگر شعاع مسیر دایره‌ای یک ذره متحرک با ثابت نگه داشتن سرعت دو برابر شود، تکانه زاویه‌ای با چه ضریبی تغییر می‌کند؟

راه حل: تکانه زاویه‌ای، $L=m\times r\times v$ . اگر r دو برابر شود، L نیز دو برابر خواهد شد.

۸. مسئله: کودکی به جرم ۳۰ کیلوگرم در لبه چرخ و فلکی که در حال سکون است ایستاده است. شعاع چرخ و فلک ۲ متر است. اگر کودک با سرعت ۲ متر بر ثانیه نسبت به زمین در امتداد لبه شروع به دویدن کند، تکانه زاویه‌ای کودک را نسبت به مرکز بیابید.

راه حل: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m ² / s

۹. مسئله: استوانه‌ای به جرم ۶ کیلوگرم و شعاع ۲ متر با سرعت زاویه‌ای ۵ رادیان بر ثانیه حول محور مرکزی خود می‌چرخد. تکانه زاویه‌ای آن را محاسبه کنید.

راه حل: برای یک استوانه، I = 1/2 m r ²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2 ^× 5=120 کیلوگرم بر متر مربع ^بر ثانیه

۱۰. مسئله: اگر گشتاور اینرسی یک جسم نصف و سرعت زاویه‌ای آن سه برابر شود، تکانه زاویه‌ای جدید آن چقدر خواهد بود؟

راه حل: با توجه به $L=I\times \omega$ ، اگر $I$ نصف و $\omega \; سه\; برابر\; شود،$$L$ جدید برابر با 1/2×3=1.5 × مقدار اولیه خواهد بود .

۱۱. مسئله: حلقه‌ای به جرم ۲ کیلوگرم و شعاع ۱ متر با سرعت زاویه‌ای ۴ رادیان بر ثانیه در حال چرخش است. تکانه زاویه‌ای آن را محاسبه کنید.

راه حل: برای یک حلقه، I = m r ²

$L=I\times \omega$

L=2×1 ² ×4=8 کیلوگرم ^{بر متر مربع} بر ثانیه

۱۲. مسئله: یک پنکه دارای پره‌هایی به طول ۰.۵ متر و جرم کل ۱ کیلوگرم است. اگر با سرعت زاویه‌ای ۱۰ رادیان بر ثانیه بچرخد، تکانه زاویه‌ای آن را تعیین کنید.

راه حل: با فرض اینکه پره‌های پنکه مانند میله‌هایی هستند که حول یک انتها می‌چرخند، I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5 ^× 10=0.833 کیلوگرم بر متر مربع ^بر ثانیه

۱۳. مسئله: تکانه زاویه‌ای زمین حول محور خود ناشی از چرخش آن را محاسبه کنید. با توجه به: جرم زمین $=$ ۵.۹۷۲×۱۰۲۴ ^{کیلوگرم} ، شعاع $r=\mathrm{۶۳۷۱}\text{کیلومتر}$ ، ω = ۷.۲۷ × ۱۰−۵ ^رادیان بر ثانیه.

راه حل: با فرض زمین به عنوان یک کره جامد، I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27× ^10-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

۱۴. مسئله: کودکی به سمت مرکز یک سکوی چرخان حرکت می‌کند. آیا تکانه زاویه‌ای افزایش می‌یابد، کاهش می‌یابد یا ثابت می‌ماند؟

راه حل: تکانه زاویه‌ای پایسته است. با حرکت کودک به سمت مرکز، گشتاور اینرسی کاهش می‌یابد. برای پایسته ماندن تکانه زاویه‌ای، سرعت زاویه‌ای افزایش می‌یابد. بنابراین، تکانه زاویه‌ای ثابت می‌ماند.

۱۵. مسئله: اگر انرژی جنبشی یک جسم چرخان دو برابر شود، تکانه زاویه‌ای آن چه عاملی تغییر می‌کند؟

راه حل: انرژی جنبشی K = 1/2 I ω ² و تکانه زاویه‌ای $L=I\omega$ . اگر انرژی جنبشی دو برابر شود و $I$ ثابت بماند، ω ² نیز دو برابر می‌شود. این بدان معناست که $\omega$ با ضریب √ 2 افزایش می‌یابد .$بنابراین،\; L$ نیز با ضریب √ 2 افزایش می‌یابد .

۱۶. مسئله: چرخ دوچرخه‌ای به شعاع ۰.۳ متر، لبه‌ای به جرم ۱.۵ کیلوگرم دارد. اگر با سرعت زاویه‌ای ۵ رادیان بر ثانیه بچرخد، تکانه زاویه‌ای آن را بیابید.

راه حل: با فرض اینکه لبه به عنوان یک حلقه است، I = m r ²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 کیلوگرم بر متر مربع ^بر ثانیه

L = 1.5 × 0. 3 2 × 5 = 6.75 کیلوگرم بر متر ^{مربع در} ثانیه

۱۷. مسئله: یک اسکیت‌باز روی یخ هنگام چرخش، بازوهایش را به سمت داخل می‌کشد. چه اتفاقی برای تکانه زاویه‌ای او می‌افتد؟

راه حل: تکانه زاویه‌ای اسکیت‌باز پایسته است. با جمع کردن دستانش، گشتاور اینرسی خود را کاهش می‌دهد و بنابراین سریع‌تر می‌چرخد (سرعت زاویه‌ای افزایش می‌یابد) تا تکانه زاویه‌ای خود را پایسته نگه دارد.

۱۸. مسئله: یک چرخ طیار دارای گشتاور اینرسی ۰.۲ کیلوگرم ^بر متر مربع ^است و با سرعت زاویه‌ای ۱۰ رادیان بر ثانیه می‌چرخد. تکانه زاویه‌ای آن را بیابید.

راه حل:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 کیلوگرم بر متر ^{مربع بر} ثانیه

L = 0.2 × 10 = 2 کیلوگرم ^{بر متر مربع} بر ثانیه

۱۹. مسئله: گشتاور خارجی خالص وارد بر یک سیستم صفر است. در مورد تکانه زاویه‌ای آن چه می‌توانید بگویید؟

حل: اگر گشتاور خارجی خالص صفر باشد، طبق قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای، تکانه زاویه‌ای کل سیستم ثابت می‌ماند.

۲۰. مسئله: یک جرم نقطه‌ای m = ۵ کیلوگرم با سرعت v = ۳ متر بر ثانیه عمود بر خط واصل آن به نقطه P حرکت می‌کند. اگر فاصله از نقطه P برابر با ۴ متر باشد، تکانه زاویه‌ای آن را حول نقطه P بیابید.

راه حل:

$L=m\times r\times v$ = 5×4×3 = 60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 کیلوگرم ^بر متر مربع در ثانیه