این معادله به این دلیل پوازوی نامیده میشود که توسط مرحوم ژان لویی ماری پوازوی (۱۷۹۹-۱۸۶۹) کشف شد. همانطور که توضیح داده شد، هر سیالی را میتوان یک سیال ایدهآل در نظر گرفت. سیالات ایدهآل ویسکوزیته ندارند. اگر یک سیال ایدهآل را در حال جریان در یک لوله تصور کنیم، هر قسمت از سیال با سرعت یکسانی (v) حرکت میکند. برخلاف سیالات ایدهآل، سیالات واقعی یا سیالاتی که در زندگی روزمره با آنها مواجه میشویم، ویسکوزیته دارند. از آنجا که ویسکوزیته دارند، به عنوان مثال، هنگام جریان در یک لوله، سرعت هر قسمت از سیال متفاوت است. لایه سیال در وسط سریعتر حرکت میکند (v بزرگ است)، در حالی که لایه سیال متصل به لوله حرکت نمیکند، یعنی ثابت است (v = ۰). بنابراین، از مرکز تا لبه لوله، هر قسمت از سیال با سرعتهای مختلفی حرکت میکند. برای درک آسانتر، تصویر زیر را مشاهده کنید…
اطلاعات:
R = شعاع لوله
v 1 = سرعت جریان سیال در مرکز/محور لوله
v2 = دبی سیال در فاصله r2 از لبه لوله
v3 = دبی سیال در فاصله r3 از لبه لوله
v4 = دبی سیال در فاصله r4 از لبه لوله
r = فاصله
برای اطمینان از یکسان بودن سرعت جریان هر سیال، باید در دو انتهای هر لوله یا تیوبی که سیال از آن عبور میکند، اختلاف فشار وجود داشته باشد. منظور ما از سیال در اینجا، سیالات واقعی مانند آب یا روغنی است که از طریق لوله جریان مییابد، خون از طریق رگهای خونی جریان مییابد و غیره. علاوه بر کمک به جریان روان سیال واقعی، اختلاف فشار میتواند به سیالات اجازه دهد تا در لولهها در ارتفاعات مختلف جریان یابند.
ژان لویی ماری پوازوی، دانشمند سابق فرانسوی که به جنبههای فیزیکی گردش خون انسان علاقهمند بود، تحقیقاتی را برای بررسی چگونگی تأثیر عواملی مانند اختلاف فشار، سطح مقطع لوله و اندازه لوله بر سرعت یک سیال واقعی انجام داد. نتایج بهدستآمده توسط ژان لویی ماری پوازوی به عنوان معادله پوازوی شناخته میشوند.
معادله پوازوی را میتوان با استفاده از معادله ضریب ویسکوزیته که قبلاً استخراج شده بود، استخراج کرد. ما از معادله ویسکوزیته استفاده میکنیم زیرا مورد مشابه است، هرچند یکسان نیست. هنگام استخراج معادله ضریب ویسکوزیته، جریان یک لایه سیال واقعی بین دو صفحه موازی را در نظر میگیریم و سیال به دلیل نیروی کششی (F) قادر به حرکت است. تفاوت این است که معادله پوازوی که ما استخراج خواهیم کرد در واقع عواملی را بیان میکند که بر جریان یک سیال واقعی در یک لوله/تیوب تأثیر میگذارند و سیال به دلیل اختلاف فشار جریان مییابد. بنابراین، معادله ضریب ویسکوزیته باید دوباره تنظیم شود.
سیالات میتوانند به دلیل اختلاف فشار جریان یابند (سیالات از مکانهایی با فشار بالا به مکانهایی با فشار پایین جریان مییابند)، بنابراین F را با p1 – p2 جایگزین میکنیم (p1 > p2 ).
هنگام استخراج معادله ضریب ویسکوزیته، جریان یک لایه سیال واقعی بین دو صفحه موازی را در نظر میگیریم. هر بخش از سیال، تغییر منظمی در سرعت به اندازه فاصله l را تجربه میکند. در این حالت، سرعت جریان سیال به طور منظم از محور لوله تا لبه لوله تغییر میکند. سیال در محور لوله با سرعت بیشتری (v) جریان مییابد. هرچه به سمت لبه لوله حرکت کنیم، سرعت سیال کاهش مییابد. شعاع لوله = فاصله بین محور لوله و لبه لوله = R. فاصله بین هر بخش از سیال و لبه لوله = r. از آنجایی که تعداد هر بخش از سیال بسیار زیاد است و فاصله آنها از لبه لوله نیز متفاوت است، ما به سادگی آن را به این صورت مینویسیم:
v1 = سرعت سیال در فاصله r1 از لبه لوله (r1 = R)
v2 = سرعت سیال در فاصله r2 از لبه لوله (r2 < r1)
v3 = سرعت سیال در فاصله r3 از لبه لوله (r3 < r2 < r1)
v4 = سرعت سیال در فاصله r4 از لبه لوله (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = سرعت سیال در فاصله rn از لبه لوله (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
تعداد هر قسمت از سیال بسیار زیاد است و ما دقیقاً نمیدانیم که مقدار واقعی آن چقدر است، بنابراین کافی است آن را با نماد n بنویسیم. هر قسمت از سیال به طور منظم، از محور لوله (r1 = R) تا لبه لوله (rn)، تغییر سرعت (v) را تجربه میکند. از محور لوله (r1 = R) تا لبه لوله (rn)، سرعت هر قسمت از سیال کمتر میشود (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
از توضیحات بالا، میتوانیم این ایده را بدست آوریم که از R به rn، سرعت سیال کاهش مییابد. طول لوله = L. معادله بدست آمده به صورت زیر است:
از آنجا که آنچه ما در نظر داریم نرخ (v) جریان سیال است، معادله ۲ به صورت زیر در میآید:
این معادله برای نرخ جریان سیال در فاصله r از لولهای با شعاع R است. اگر هنگام مشاهده تصویر بالا دچار سردرگمی شدید... لطفاً توجه داشته باشید که سیال در یک لوله یا تیوب جریان مییابد، بنابراین باید نرخ جریان حجمی سیال را بررسی کنیم.
درون لوله یک سیال وجود دارد. برای مثال، سیال را به قطعات بسیار کوچکی تقسیم میکنیم که هر قطعه مساحت واحد dA دارد، از محور لوله فاصله دارد و سرعت جریان آن v است. از نظر ریاضی، این را میتوان به صورت زیر نوشت:
dA1 = بخش سیال ۱، که فاصله آن از محور لوله ۱ است
dA2 = بخش سیال ۱، که فاصله آن از محور لوله ۱ است
dA3 = بخش سیال ۱، که فاصله آن از محور لوله ۱ است
..................................
dA n = سطح مقطع سیال n، که فاصله dA n از محور لوله است
قطعات سیال آنقدر زیاد هستند که راحتتر میتوان آنها را با نماد n نوشت. دبی حجمی هر قطعه سیال را میتوان به صورت ریاضی به صورت زیر نوشت:
هر قطعه سیال در فاصله r = 0 تا r = R (R = شعاع لوله) قرار دارد. به عبارت دیگر، فاصله هر قطعه سیال با اندازهگیری از محور لوله تغییر میکند. اگر با حساب دیفرانسیل و انتگرال (انتگرالگیری) سر و کار داشته باشیم، معادله نرخ جریان حجمی سیال در لوله را به دست خواهیم آورد:
اطلاعات:
Q = بدهکار
R = شعاع داخلی لوله یا تیوب
η = ضریب ویسکوزیته
P 1 – p 2 = اختلاف فشار بین دو انتهای لوله
L = طول لوله
p 1 -p 2 /L = گرادیان فشار (جریان سیال همیشه در جهت کاهش فشار حرکت میکند)
بر اساس معادله پوازوی بالا، به نظر میرسد که دبی حجمی سیال، که به آن دبی (Q) نیز گفته میشود، متناسب با توان چهارم شعاع لوله (R4 ) ، گرادیان فشار (p2 – p1 / L) و با ویسکوزیته نسبت معکوس دارد. اگر شعاع لوله افزایش یابد (ضریب ویسکوزیته و گرادیان فشار ثابت بمانند)، دبی سیال با ضریب 16 افزایش مییابد.
مفهوم اساسی طراحی لولهها، سرنگها و سایر موارد از این معادله استفاده میکند. سرعت جریان سیال با R4 (R = شعاع لوله) متناسب است . شعاع سرنگ یا شعاع لوله باید با دقت محاسبه شود. به عنوان مثال، اگر شعاع سوزن را دو برابر کنیم (r x 2)، سرعت جریان سیالی که اسپری میشود = نیروی فشار انگشت شست را 16 برابر افزایش میدهد.
معادله پوازوی همچنین نشان میدهد که توان چهارم شعاع (r⁻⁻⁻ ) با اختلاف فشار بین دو انتهای لوله نسبت معکوس دارد. برای مثال، در ابتدا خون در یک رگ خونی با شعاع داخلی r جریان مییابد. اگر رگ خونی باریک شود (مثلاً r⁻ ...
