ماده معادله پیوستگی
سعی کنید شیر آب را به آرامی باز کنید و همزمان جریان آب خروجی از شیر را مشاهده کنید. به محض اینکه چرخش شیر متوقف شد، با دست خود قسمتی از شیر را مسدود کنید. حالا مقایسه کنید که جریان آب کدام بیشتر است. وقتی قسمتی مسدود است یا باز؟ اگر شلنگی دارید که معمولاً برای آبیاری گل‌ها استفاده می‌شود، بگذارید آب از آن عبور کند. با دست یا انگشت خود قسمتی از شلنگ را مسدود کنید. هر چه قسمت بیشتری از شلنگ مسدود باشد، آب سریع‌تر خارج می‌شود. برعکس، اگر شلنگ مسدود نباشد، آب با سرعت کمتری جریان می‌یابد. چرا اینطور است؟ برای درک این موضوع، لطفاً معادله پیوستگی را مطالعه کنید.
خطوط جریان و لوله‌های جریان
ابتدا، بیایید مفاهیم خطوط جریان و لوله‌های جریان را درک کنیم. این مفهوم مهم است زیرا به شما در درک معادله پیوستگی کمک می‌کند.
خط جریان
به تصویر زیر نگاه کنید، خط آبی، خط جریان (Streamline) است.
در جریان پایدار، سرعت هر ذره سیال در یک نقطه، مثلاً نقطه A، ثابت می‌ماند. با عبور از نقطه B، سرعت ذرات سیال ممکن است تغییر کند. با این حال، به محض رسیدن به نقطه B، ذرات سیالی که پشت سر آنها قرار دارند، با همان سرعت ذرات سیالی که قبل از آنها بوده‌اند، به جریان خود ادامه می‌دهند. همین امر هنگام رسیدن به نقطه C و غیره نیز صدق می‌کند. خط جریان، منحنی است که نقاط A، B و C را به هم متصل می‌کند.
لوله جریان
اساساً، می‌توانیم هر خط جریان را از طریق هر نقطه در جریان سیال رسم کنیم. اگر جریان سیال پایدار را در نظر بگیریم، تعدادی از خطوط جریان که از زاویه خاصی روی یک سطح فرضی (مساحت سطح فرضی) عبور می‌کنند، یک لوله جریان را تشکیل می‌دهند. هیچ ذره سیالی یکدیگر را قطع نمی‌کند، بلکه همیشه موازی هستند و لوله جریان شبیه لوله‌ای خواهد بود که همیشه شکل یکسانی دارد. سیالی که از یک انتهای لوله وارد می‌شود، از انتهای دیگر لوله خارج می‌شود.
بدهی
دبی، حجم سیالی را نشان می‌دهد که در یک بازه زمانی مشخص، از یک مقطع عرضی مشخص عبور می‌کند. از نظر ریاضی، می‌توان آن را به صورت زیر بیان کرد:
برای درک بیشتر شما، از یک مثال استفاده می‌کنیم. فرض کنید سیالی از طریق یک لوله جریان دارد. لوله‌ها معمولاً استوانه‌ای شکل هستند و سطح مقطع مشخصی دارند. همچنین لوله دارای طول است.
وقتی سیال در لوله تا L جریان می‌یابد، حجم سیال در لوله برابر است با V = AL (V = حجم سیال، A = سطح مقطع و L = طول لوله). از آنجا که در طول جریان در لوله در امتداد L، سیال یک بازه زمانی مشخص را طی می‌کند، می‌توان گفت که مقدار دبی سیال برابر است با:
از آنجا که v = s/t = L/t —> L = vt است، معادله بالا به صورت زیر تغییر می‌یابد:
بنابراین، هنگامی که سیال از طریق لوله‌ای با سطح مقطع و طول مشخص برای یک بازه زمانی مشخص جریان می‌یابد، بزرگی دبی سیال (Q) برابر است با مساحت سطح مقطع (A) ضربدر سرعت جریان سیال (v).
معادله پیوستگی
جریان سیال را در یک لوله با قطرهای مختلف، مطابق شکل زیر در نظر بگیرید.
این تصویر جریان سیال را از چپ به راست نشان می‌دهد (سیال از لوله‌ای با قطر بزرگ به لوله‌ای با قطر کوچک جریان می‌یابد). خطوط نقطه‌چین، خطوط جریان هستند.
عنوان تصویر: A 1 = مساحت سطح مقطع لوله با قطر بزرگ، A 2 = مساحت سطح مقطع لوله با قطر کوچک، v 1 = سرعت جریان سیال در مقطع لوله با قطر بزرگ، v 2 = سرعت جریان سیال در مقطع لوله با قطر کوچک، L = مسافت طی شده توسط سیال.
در مقدمه دینامیک سیالات، توضیح داده شد که در دینامیک سیالات، ما در مورد جریان سیالاتی بحث می‌کنیم که تراکم‌ناپذیر، غیرلزج، غیرمتعادل و پایا هستند. در جریان پایا، سرعت ذرات سیال در یک نقطه برابر با سرعت سایر ذرات سیالی است که از آن نقطه عبور می‌کنند. جریان‌های سیال نیز یکدیگر را قطع نمی‌کنند (خطوط جریان موازی هستند). بنابراین، جرم سیال ورودی از یک انتهای لوله باید برابر با جرم سیال خروجی از انتهای دیگر باشد. اگر سیالی با جرم مشخص وارد لوله‌ای با قطر بزرگ شود، سیال از لوله‌ای با قطر کوچک و جرم ثابت خارج خواهد شد.
حالا به تصویر لوله بالا نگاه کنید. به قسمتی از لوله که قطر بزرگ دارد و قسمتی که قطر کوچک دارد نگاه کنید.
در یک بازه زمانی مشخص، مقدار مشخصی از سیال از بخشی از لوله با قطر بزرگ (A) عبور می‌کند.1) تا جایی که L1 (L1 = وی1 t) حجم سیال جاری V است1 = الف1 L1 = الف1 v1 در همان بازه زمانی، مقدار دیگری از سیال از بخشی از لوله با قطر کوچکتر (A) جریان می‌یابد.2) تا جایی که L2 (L2 = وی2 t) حجم سیال جاری V است2 = الف2 L2 = الف2 v2 t.
معادله پیوستگی برای سیالات تراکم‌ناپذیر (تراکم ناپذیر)
ابتدا، بیایید حالت یک سیال تراکم‌ناپذیر را در نظر بگیریم. در یک سیال تراکم‌ناپذیر، چگالی یا جرم سیال در هر نقطه‌ای که از آن عبور می‌کند، همیشه یکسان است. جرم سیالی که در یک لوله با سطح مقطع A1 ( قطر بزرگ لوله) در یک بازه زمانی مشخص جریان دارد، برابر است با:
به همین ترتیب، جرم سیالی که در یک لوله با سطح مقطع A2 (قطر لوله کوچک) در یک بازه زمانی مشخص جریان دارد، برابر است با:
با توجه به اینکه در جریان پایا، جرم سیال ورودی برابر با جرم سیال خروجی است، پس:
متر مربع = متر مربع
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (چگالی سیال و بازه زمانی یکسان هستند، بنابراین یکدیگر را خنثی می‌کنند)
الف ۱ در مقابل ۱ = الف ۲ در مقابل ۲
بنابراین، در سیالات تراکم‌ناپذیر، معادله پیوستگی به صورت زیر اعمال می‌شود:
الف ۱ در برابر الف ۲ در برابر الف ۲ - معادله ۱
اطلاعات:
A1 = مساحت سطح مقطع 1، A2 = مساحت سطح مقطع 2، v1 = سرعت جریان سیال در سطح مقطع 1، v2 = سرعت جریان سیال در سطح مقطع 2، Av = دبی جریان حجمی V/t (یا دبی )
معادله ۱ نشان می‌دهد که دبی حجمی، که به عنوان دبی نیز شناخته می‌شود، همیشه در هر نقطه در امتداد لوله یا تیوب جریان یکسان است. با کاهش سطح مقطع لوله، دبی سیال افزایش می‌یابد؛ برعکس، با افزایش سطح مقطع لوله، دبی سیال کاهش می‌یابد.
وقتی شیر آب را تا حدی می‌بندیم، جریان آب سریع‌تر از زمانی می‌شود که شیر آب تا حدی بسته است. دلیل این امر این است که سطح مقطع شیر آب وقتی شیر آب تا حدی بسته است کاهش می‌یابد و سرعت جریان آب افزایش می‌یابد (سیال سریع‌تر جریان می‌یابد). همین امر در مورد شیلنگ‌ها نیز صادق است. با این حال، توجه به این نکته مهم است که دبی یا سرعت جریان حجمی در تمام نقاط در امتداد جریان آب، چه شیر آب تا حدی بسته باشد و چه نباشد، یکسان باقی می‌ماند. بنابراین، آنچه تغییر می‌کند، سرعت جریان سیال است.
خب، در مورد جریان آب در یک رودخانه چطور؟ بخش‌های عمیق‌تر یک رودخانه سطح مقطع بزرگتری نسبت به بخش‌های کم‌عمق‌تر دارند، بنابراین سرعت جریان آب در بخش‌های عمیق‌تر کمتر از بخش‌های کم‌عمق‌تر است. اگر جریان رودخانه بسیار آرامی را مشاهده کردید، به این معنی است که رودخانه عمیق است. اما اگر رودخانه ناگهان جریان سریعی پیدا کند، آن بخش قطعاً کم‌عمق است. با این حال، سرعت جریان حجمی آب همیشه یکسان است، چه در بخش‌های عمیق و چه در بخش‌های آرام رودخانه.
معادله پیوستگی برای سیالات تراکم‌پذیر (قابل فشرده سازی)
در مورد سیالات تراکم‌پذیر ، چگالی سیال همیشه یکسان نیست. به عبارت دیگر، چگالی سیال هنگام فشرده شدن تغییر می‌کند. در حالی که در سیالات تراکم‌ناپذیر ، چگالی سیال از معادله حذف می‌شود، در این مورد، چگالی سیال همچنان لحاظ شده است. با مراجعه به معادله‌ی استخراج‌شده‌ی قبلی، معادله‌ی سیالات تراکم‌پذیر را استخراج می‌کنیم.
با توجه به اینکه در جریان پایا، جرم سیال ورودی برابر با جرم سیال خروجی است، پس:
متر مربع = متر مربع
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
فاصله زمانی جریان سیال یکسان است، بنابراین می‌توان آن را حذف کرد. معادله به صورت زیر تغییر می‌کند:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → معادله 2
این معادله برای یک سیال تراکم‌پذیر است. تنها تفاوت در چگالی سیال است. وقتی یک سیال فشرده می‌شود، چگالی آن تغییر می‌کند. برعکس، وقتی یک سیال تراکم‌ناپذیر است، چگالی آن ثابت می‌ماند و می‌توان آن را حذف کرد.
مثال سوال ۳:
آب با سرعت ۲ متر بر ثانیه از لوله‌ای به قطر ۱۰ سانتی‌متر عبور می‌کند. دبی آب چقدر است؟
پمباهاسان
معلوم است که:
قطر لوله = 10 سانتی‌متر (این قطر داخلی لوله است)
شعاع لوله (r) = 5 سانتی‌متر = 0,05 متر
آب v = 2 متر بر ثانیه
پرسیده شد: بدهی
جواب:
Q = A v
Q = (πr^ 2 ) (2 متر بر ثانیه)
Q = (3,14)(0,05 متر) ² (2 متر بر ثانیه)
Q = (3,14)(0,0025 متر مربع ) (2 متر بر ثانیه)
Q = 0,0157 متر مکعب بر ثانیه
مثال سوال ۳:
یک لوله آب با قطر 20 سانتی متر به لوله دیگری با قطر 10 سانتی متر متصل است. اگر سرعت جریان آب در لوله با قطر 20 سانتی متر = 4 متر بر ثانیه باشد، سرعت جریان آب در لوله با قطر 10 سانتی متر چقدر است؟
پمباهاسان
معلوم است که:
قطر ۱ = ۲۰ سانتی‌متر (r ۱ = ۱۰ سانتی‌متر = ۰.۱ متر)
v 1 = 4 متر بر ثانیه
قطر ۲ = ۱۰ سانتی‌متر (r ^2 = ۵ سانتی‌متر = ۰.۰۵ متر)
پرسیده شد: نسخه ۱
جواب:
سوال ۱ = سوال ۲
الف ۱ در مقابل ۱ = الف ۲ در مقابل ۲
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 متر) ² (4 متر بر ثانیه) = (0,05 متر) ² (v ² )
(0,01 متر مربع )(4 متر بر ثانیه) = (0,0025 متر مربع ) (v^ 2 )
(0,04 متر مکعب بر ثانیه) = (0,0025 متر مربع ) (v^ 2 )
v 2 = 16 متر بر ثانیه
