بردارها اعداد معمولی نیستند، بنابراین ضرب معمولی را نمیتوان مستقیماً روی آنها اعمال کرد. ما باید از ضرب برداری استفاده کنیم. دو نوع ضرب برداری وجود دارد: ضرب نقطهای و ضرب ضرب ضربدر. ضرب نقطهای، ضرب اسکالر نیز نامیده میشود زیرا یک کمیت اسکالر تولید میکند. ضرب ضرب ضربدر نیز ضرب برداری نامیده میشود زیرا یک کمیت برداری تولید میکند. به عنوان مثال، دو بردار وجود دارد، یعنی A دان Bضرب اسکالر بردارها A دان B بیان شده با ای بی کیاز آنجایی که این عرصه از نمادگذاری نقطهای استفاده میکند، این ضرب، ضرب نامیده میشود. ضرب نقطهایضرب برداری A دان B بیان شده با A x Bزیرا از نمادگذاری استفاده میکند x، آنگاه این ضرب، ضرب متقاطع نامیده میشود.
برای مثال، با توجه به بردار A دان B همانطور که در تصویر زیر نشان داده شده است. ضرب نقطهای بین بردارها A دان B نوشته شده به عنوان AB (A نقطه B).
برای تعریف ضرب نقطهای بردارها A دان B (الف)، بردار ترسیم شده A و بردارها توسط یکه زاویه ای را تشکیل می دهد θ. در مرحله بعد، تصویر بردار را رسم میکنیم B به سمت جهت بردار Aاین تصویر، جزئی از بردار است. B که موازی با بردار است Aکه به همان اندازه است B کیهان θ.
بنابراین، ما تعریف میکنیم AB به عنوان یک بردار بزرگ A ضرب در مؤلفههای برداری B که موازی با Aاز نظر ریاضی میتوانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:
AB کیهان θ یک عدد معمولی (اسکالر) است. بنابراین، ضرب داخلی، ضرب داخلی (اسکالر) نیز نامیده میشود. اگر ضرب داخلی بین بردارها A دان B تبدیل به کارشناسی قبل از اینکه تعریف کنیم کارشناسیابتدا تصویر بردار را رسم میکنیم A به بردارها ب (به تصویر زیر مراجعه کنید).
بر اساس این تصویر، میتوانیم تعریف کنیم کارشناسی به عنوان یک بردار بزرگ B ضرب در مؤلفههای برداری A که موازی با Bاز نظر ریاضی میتوانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:
نتیجه ضرب نقطهای AB = AB کیهان θ و حاصل ضرب نقطهای کارشناسی = BA کیهان θزیرا AB کیهان θ = BA کیهان θ، پس اعمال میشود AB = کارشناسی
نکاتی در مورد ضرب نقطهای که باید بدانید:
۱. ضرب داخلی، قانون جابجایی را برآورده میکند.
AB = BA
۲. حاصلضرب داخلی، قانون توزیعپذیری را برآورده میکند.
الف. (B + C) = AB + AC
۳. اگر بردارهای A و B بر یکدیگر عمود باشند، آنگاه حاصلضرب داخلی AB = ۰
وقتی بردار A دان B عمود بر هم باشند، زاویه تشکیل شده 90 درجه است.oکوس ۹۰o = 0. بنابراین: AB = AB کیهان تتا = AB 90o = ۰. از سوی دیگر، کارشناسی = BA کیهان تتا = BA 90o = 0
۴. اگر بردارهای A و B در یک جهت باشند ، آنگاه AB = AB cos 0 o = AB
وقتی بردار A دان B در همان جهت، زاویه تشکیل شده 0 استo. کزون ۰ = ۱. بنابراین، AB = AB کیهان تتا = AB 0o = ABبرعکس کارشناسی = BA کیهان تتا = BA 0o = BA
(نباید با هم اشتباه گرفته شوید) AB دان BAبزرگ AB = بزرگ BAبرای مثال، بزرگی بردار A = ۲. بزرگی بردار B = ۳. سپس AB = ۲.۳ = ۶؛ این همان است که کارشناسی = ۳.۲ = ۶.
۵. شرط دیگری برای دو بردار در یک جهت، اگر A = B باشد، آنگاه AA = A^ 2 یا BB = B^ 2 خواهیم داشت .
۶. اگر بردارهای A و B در جهت مخالف باشند (وقتی دو بردار در جهت مخالف باشند، زاویه تشکیل شده ۱۸۰ درجه است) ، آنگاه حاصل ضرب AB = AB cos ۱۸۰ درجه = AB (-۱) = -AB است.
کث ۱۸۰ درجه = -۱.
مثال مشکلات:
بردار A دارای بزرگی ۴ واحد و بردار B دارای بزرگی ۳ واحد است. اگر زوایای تشکیل شده توسط دو بردار ۶۰ درجه، ۹۰ درجه و ۱۸۰ درجه باشند، حاصلضرب داخلی این دو بردار را تعیین کنید.
پمباهاسان
از آنجا که AB = BA ، میتوانیم از هر یک از آنها استفاده کنیم. برای مثال، ما از AB استفاده میکنیم.
AB = AB کوس تتا
اندازه A = ۴ واحد و اندازه B = ۳ واحد.
