کاربرد اصل و معادله برنولی

کاربرد اصل و معادله برنولی

قضیه توریچلی

یکی از کاربردهای معادله برنولی، محاسبه سرعت مایعی است که از کف ظرف خارج می‌شود.

معادله برنولی را برای نقطه ۱ (سطح ظرف) و نقطه ۲ (سطح سوراخ) اعمال می‌کنیم. از آنجایی که قطر سوراخ در ته ظرف بسیار کوچکتر از قطر ظرف است، سرعت مایع در سطح ظرف صفر فرض می‌شود (v ₁ = 0). سطح ظرف و سطح سوراخ باز هستند، بنابراین فشار برابر با فشار اتمسفر است (P ₁ = P ₂ ). بنابراین، معادله برنولی برای این حالت به صورت زیر است:

اگر بخواهیم سرعت جریان مایع را در سوراخ ته ظرف محاسبه کنیم، این معادله به صورت زیر تغییر می‌کند:

طبق این معادله، سرعت جریان آب از طریق یک سوراخ در فاصله h از سطح ظرف برابر است با سرعت جریان آب در حال سقوط آزاد در فاصله h (مقایسه حرکت سقوط آزاد). این به عنوان قضیه توریچلی شناخته می‌شود . این قضیه توسط توریچلی، شاگرد گالیله، یک قرن قبل از کشف معادله برنولی، کشف شد.

اثر ونتوری 

علاوه بر قضیه توریچلی، معادله برنولی را می‌توان در موارد خاص دیگری نیز به کار برد، یعنی زمانی که سیال در بخش‌هایی از لوله که تقریباً در ارتفاع یکسانی هستند (اختلاف ارتفاع کم) جریان می‌یابد. برای درک... قلمjبه همین دلیل، به تصویر توجه کنید. 

در تصویر بالا، به نظر می‌رسد که ارتفاع لوله، چه قسمتی که سطح مقطع بزرگ دارد و چه قسمتی که سطح مقطع کوچک دارد، تقریباً یکسان است، بنابراین ارتفاع آنها یکسان در نظر گرفته می‌شود. وقتی این معادله در این مورد اعمال شود، معادله برنولی به صورت زیر تغییر می‌کند:

وقتی سیال از بخشی از لوله با سطح مقطع کوچک (A) عبور می‌کند₂) ، سپس سرعت سیال افزایش می‌یابد. طبق اصل برنولی، اگر سرعت سیال افزایش یابد، فشار سیال کاهش می‌یابد. فشار سیال در قسمت باریک لوله کمتر است اما سرعت جریان سیال بیشتر است.

این به عنوان اثر ونتوری شناخته می‌شود و به صورت کمی نشان می‌دهد که اگر سرعت جریان سیال بالا باشد، فشار سیال کم خواهد بود. برعکس، اگر سرعت جریان سیال پایین باشد، فشار سیال بالا خواهد بود.

متر ونتوری

یک کاربرد جالب اثر ونتوری، ونتوری متر است. این وسیله برای اندازه‌گیری سرعت جریان سیال، مانند محاسبه سرعت جریان آب یا روغن از طریق لوله، استفاده می‌شود. دو نوع ونتوری متر وجود دارد: آنهایی که مانومتر ندارند و آنهایی که از مانومتر پر شده با سیال دیگری مانند جیوه استفاده می‌کنند. اصل کار یکسان است.

ونتوری متر بدون مانومتر

تصویر زیر یک ونتوری متر را نشان می‌دهد که برای اندازه‌گیری دبی سیال در لوله استفاده می‌شود.

وقتی مایع از یک مقطع لوله با سطح مقطع کوچک (A2) عبور می‌کند _، سرعت مایع افزایش می‌یابد. طبق اصل برنولی، اگر سرعت مایع افزایش یابد، فشار مایع کمتر می‌شود. بنابراین فشار مایع در سطح مقطع بزرگ بیشتر از فشار مایع در سطح مقطع کوچک است (P1 _> P2 ₎ . برعکس، _v2 > _v1

آنچه مورد نظر است، نرخ جریان مایع در یک مقطع بزرگ (v1) است _. ما v2 را _در معادله 1 با v2 _در معادله 2 جایگزین می‌کنیم.

برای محاسبه فشار سیال در عمق مشخص، از معادله زیر استفاده کنید:

p = ρ gh → معادله a

اگر اختلاف چگالی سیال بسیار کم باشد، از این معادله برای تعیین اختلاف فشار در ارتفاعات مختلف استفاده کنید. بنابراین، معادله a را می‌توان به صورت زیر تغییر داد:

Δp = ρg Δh

برای حالت فوق، این معادله را می‌توان به صورت زیر تغییر داد:

p ₁ − p ₂ = ρ gh → معادله b

_{اکنون p1} - p2 _را در معادله ۳ با p1 _- p2 _در معادله b جایگزین می‌کنیم :

از آنجایی که مایعات یکسان هستند، چگالی‌ها نیز باید یکسان باشند. ρ را از معادله حذف کنید.

لوله پیتوت

اگر از ونتوری متر برای اندازه گیری دبی مایعات استفاده شود، از لوله پیتوت برای اندازه گیری دبی گازها یا هوا استفاده می شود. سوراخ در نقطه 1 موازی با جریان هوا است. موقعیت این دو سوراخ کاملاً دور از ... ساخته شده است. انتهای لوله پیتوت، به طوری که سرعت و فشار هوای بیرون سوراخ با سرعت و فشار هوای آزاد برابر باشد. در این حالت، v₁ = نرخ جریان هوای آزاد (این چیزی است که ما اندازه‌گیری خواهیم کرد) و فشار روی پای چپ مانومتر (لوله چپ) = فشار هوای آزاد (P₁).

سوراخی که به پایه سمت راست مانومتر منتهی می‌شود، عمود بر جریان هوا است. بنابراین، سرعت جریان هوا از طریق این سوراخ (قسمت میانی) کاهش می‌یابد و هوا با رسیدن به نقطه ۲ متوقف می‌شود. در این حالت، v2 ₌ 0. فشار در پایه سمت راست مانومتر برابر با فشار هوا در نقطه ۲ (P2) است _. ارتفاع نقاط ۱ و ۲ تقریباً یکسان است (اختلاف خیلی زیاد نیست) بنابراین می‌توان از آن صرف نظر کرد.

اختلاف فشار (P ₂ - P ₁ ) = فشار هیدرواستاتیک مایع در مانومتر (رنگ سیاه در مانومتر نشان دهنده مایع، جیوه، است). از نظر ریاضی، می‌توان آن را به صورت زیر نوشت:

p ₂ − p ₁ = ρ ' gh → معادله 2

ρ' = چگالی مایع در مانومتر

به معادله ۱ و معادله ۲ نگاه کنید. سمت چپ برابر است (P₂₂₂ _- P₂₂ ₎ . بنابراین، معادلات ۱ و ۲ را می‌توان به صورت زیر تغییر داد:

اسپری عطر

این یک نمای کلی است، با این حال هر کارخانه طراحی متفاوتی دارد.

به طور کلی، اصول کار یک اسپری عطر را می‌توان به شرح زیر توصیف کرد (با نگاه کردن به تصویر). وقتی توپ لاستیکی فشرده می‌شود، هوای داخل توپ لاستیکی از طریق لوله ۱ به بیرون پرتاب می‌شود. بنابراین، هوای لوله ۱ سرعت بیشتری دارد. از آنجا که سرعت هوا زیاد است، فشار هوا در لوله ۱ کم می‌شود. برعکس، هوای لوله ۲ سرعت کمتری دارد. فشار هوا در لوله ۲ بیشتر است. در نتیجه، مایع عطر به سمت بالا هل داده می‌شود. وقتی مایع عطر به لوله ۱ می‌رسد، هوایی که از داخل توپ لاستیکی به بیرون پرتاب می‌شود، آن را به بیرون هل می‌دهد... مایع عطر در نهایت به بیرون اسپری می‌شود و بدن را خیس می‌کند...

معمولاً سوراخ‌ها کوچک هستند، بنابراین عطر به سرعت بیرون می‌ریزد.

با پیپت یا سیفون بنوشید

آیا تا به حال با استفاده از پیپت، چای سرد یا شربت نوشیده‌اید؟ وقتی با استفاده از پیپت، آب را می‌مکییم یا بالا می‌کشیم، در واقع باعث می‌شویم هوای داخل پیپت سریع‌تر حرکت کند. در این حالت، هوای داخل پیپت متصل به دهان ما سرعت بیشتری دارد. در نتیجه، فشار هوا در قسمتی از پیپت که به نوشیدنی نزدیک‌تر است، کمتر می‌شود. هوا در قسمتی از پیپت که به نوشیدنی نزدیک‌تر است، سرعت کمتری دارد. از آنجا که سرعت آن کمتر است، فشار بیشتر است. این اختلاف فشار هوا همان چیزی است که باعث می‌شود آب یا نوشیدنی که می‌نوشیم به داخل دهان ما جریان یابد. در این حالت، مایع از قسمتی از پیپت که فشار هوای بالایی دارد به قسمتی از پیپت که فشار هوای پایینی دارد، حرکت می‌کند.

دودکش

آیا تا به حال دودکش دیده‌اید؟ اگر در شهری مانند سورابایا، سمارانگ، جاکارتا و غیره زندگی می‌کنید، احتمالاً دودکش‌های کارخانه‌ها را دیده‌اید. چرا دود از طریق دودکش بالا می‌رود؟ اولاً، دود حاصل از احتراق داغ است. به دلیل دمای بالا، چگالی هوا کم است. هوایی که چگالی کمی دارد به راحتی شناور می‌شود یا به سمت بالا می‌رود. این تنها دلیل نیست... اصل برنولی نیز در این امر دخیل است.

دوم، اصل برنولی بیان می‌کند که اگر سرعت جریان هوا زیاد باشد، فشار کم است و برعکس، اگر سرعت جریان هوا کم باشد، فشار زیاد است. بالای دودکش در فضای باز قرار دارد. در بالای دودکش باد می‌وزد، بنابراین فشار هوای اطراف کمتر است. در داخل یک اتاق بسته، بادی نمی‌وزد، بنابراین فشار هوا بیشتر است. بنابراین، دود از طریق دودکش به بیرون هدایت می‌شود. هوا از مناطقی با فشار هوای بالا به مناطقی با فشار هوای کم حرکت می‌کند.

موش‌ها هم اصل برنولی را می‌دانند

به تصویر زیر نگاه کنید. تصویر یک سوراخ موش در زمین است. موش ها هم اصل برنولی را درک می کنند.

ط. موش‌ها نمی‌خواستند از خفگی بمیرند، بنابراین دو گودال در ارتفاعات مختلف حفر کردند. به دلیل اختلاف سطح زمین، هوا به یکدیگر فشرده می‌شد. این شبیه به جریان آب از لوله‌ای با سطح مقطع بزرگ به لوله‌ای با سطح مقطع کوچک است. به دلیل له شدن، سرعت هوا افزایش و فشار هوا کاهش می‌یابد.

به دلیل اختلاف فشار هوا، هوا مجبور به جریان یافتن از طریق سوراخ موش می‌شود. هوا از مناطقی با فشار هوای بالا به مناطقی با فشار هوای پایین جریان می‌یابد.

نیروی بالابر هواپیما

یکی از عواملی که به هواپیماها اجازه پرواز می‌دهد، وجود بال است. بال‌های هواپیما منحنی هستند و قسمت جلویی آنها ضخیم‌تر از قسمت عقب است. این شکل بال، ایروفویل نامیده می‌شود. این ایده از بال‌های پرندگان کپی شده است که آنها نیز شکلی مشابه دارند (قسمت جلویی منحنی و ضخیم‌تر). تفاوت این است که بال‌های پرندگان را می‌توان تکان داد، در حالی که بال‌های هواپیما این قابلیت را ندارند. پرندگان می‌توانند پرواز کنند زیرا بال‌های خود را تکان می‌دهند و جریانی از هوا را از دو طرف بال‌ها عبور می‌دهند. برای اینکه هوا از دو طرف بال‌های هواپیما جریان یابد، هواپیما باید به جلو حرکت داده شود. انسان‌ها از موتورها برای حرکت هواپیماها استفاده می‌کنند.

جلوی بال طوری طراحی شده است که به سمت بالا انحنا داشته باشد. هوایی که از پایین جریان دارد، با همتای خود در بالا برخورد می‌کند، دقیقاً مانند آبی که از لوله‌ای با سطح مقطع بزرگ به لوله‌ای با سطح مقطع باریک جریان می‌یابد. در نتیجه، سرعت هوای بالای بال افزایش می‌یابد. از آنجا که سرعت هوا افزایش می‌یابد، فشار هوا کاهش می‌یابد. برعکس، سرعت جریان هوا در زیر بال کمتر است زیرا هوا کمتر متراکم است (فشار هوا بیشتر است). این اختلاف فشار باعث می‌شود بال‌های هواپیما به سمت بالا هل داده شوند.

اصل برنولی تنها یکی از عواملی است که باعث بلند شدن هواپیما می‌شود. عامل دیگر تکانه (یا مومنتوم) است. معمولاً بال‌های هواپیما کمی به سمت بالا کج می‌شوند. هوایی که به زیر بال برخورد می‌کند به سمت پایین منحرف می‌شود. از آنجا که هواپیماها دو بال دارند، یکی در سمت چپ و دیگری در سمت راست، هوای منحرف شده با یکدیگر برخورد می‌کند. تغییر در تکانه مولکول‌های هوای برخورد کننده، نیروی بالابر بیشتری ایجاد می‌کند.

از آنجا که بال به سمت پایین و دم هواپیما انحنا دارد، هوا توسط بال به سمت پایین جریان می‌یابد. طبق قانون سوم نیوتن، هر نیروی کنشی، نیروی واکنشی دارد. از آنجا که بال، هوا را به سمت پایین می‌راند، هوا نیز باید بال را به سمت بالا هل دهد. در این حالت، هوا نیروی بالابرنده را به بال وارد می‌کند. بنابراین، اصل برنولی تنها عاملی نیست که باعث بلند شدن هواپیما می‌شود.

ماهیگیران هم اصل برنولی را می‌دانند

تا حالا سوار قایق بادبانی شدی؟ ماهیگیرها هم می‌دونن اصل برنولی چطور کار می‌کنه 😉