قانون گاز ایده‌آل (معادله حالت گاز ایده‌آل)

مقاله در مورد قانون گاز ایده‌آل (معادله حالت یک گاز ایده‌آل)

قوانین گازها، از جمله قانون بویل، قانون چارلز و قانون گی-لوساک ، برای همه شرایط گازها صدق نمی‌کنند و همین امر تحلیل ما را دشوارتر می‌کند. برای ساده‌سازی تحلیل، مدلی از گاز ایده‌آل ایجاد می‌شود. گازهای ایده‌آل در زندگی روزمره وجود ندارند؛ آنها صرفاً اشکال کاملی هستند که برای ساده‌سازی تحلیل ایجاد شده‌اند. مفهوم گاز ایده‌آل همچنین در بررسی رابطه بین سه قانون گاز به ما کمک زیادی می‌کند.

رابطه بین دما، حجم و فشار گاز

با مراجعه به سه قانون گاز فوق، می‌توانیم رابطه کلی‌تری بین دما، حجم و فشار یک گاز به دست آوریم.

اگر معادله ۱، معادله ۲ و معادله ۳ با هم ترکیب شوند، به شکل زیر خواهد بود: PV ∝ T → Ratio 4

این نسبت بیان می‌کند که فشار (P) و حجم (V) متناسب با دمای مطلق (T) هستند.

برعکس، حجم (V) با فشار (P) نسبت معکوس دارد.

نسبت ۴ به معادله زیر تغییر می‌کند:

اطلاعات:

P1 = فشار _اولیه (Pa یا N/ ^m2 )

P2 = فشار نهایی (Pa یا N _/ ^m2 )

V1 = حجم اولیه ( _متر ^مکعب )

V2 = حجم نهایی ( _متر ^مکعب )

T1 = دمای اولیه ₍ K)

T2 = دمای نهایی ₍ K)

(Pa = پاسکال، N = نیوتن، m ² = متر مربع، m ³ = متر مکعب، K = کلوین)

رابطه بین جرم گاز (m) و حجم (V)

وقتی یک بادکنک هوای گرم باد می‌شود، هر چه هوای بیشتری به داخل آن کشیده شود، بادکنک بیشتر منبسط می‌شود. به عبارت دیگر، هر چه جرم گاز بیشتر باشد، حجم بادکنک نیز بیشتر است. می‌توانیم بگوییم که جرم گاز (m) با حجم گاز (V) نسبت مستقیم دارد. از نظر ریاضی:

V ∝ m → نسبت ۵

اگر معادله ۴ با معادله ۵ ترکیب شود، آنگاه:

PV ∝ mT → مقایسه ۶

تعداد مول‌ها (n)

۱ مول = جرم یک ماده که برابر با جرم مولکولی آن ماده است. جرم مولکولی و جرم با هم متفاوتند.

مثال ۱، جرم مولکولی گاز اکسیژن (O2 ₎ = 16 u + 16 u = 32 u (هر مولکول اکسیژن شامل ۲ اتم اکسیژن است که هر اتم اکسیژن جرمی برابر با ۱۶ u دارد). بنابراین، ۱ مول O2 _جرمی برابر با ۳۲ گرم دارد. یا جرم مولکولی O2 ₌ 32 گرم بر مول = 32 کیلوگرم بر کیلومتر مول.

مثال ۲، جرم مولکولی گاز مونوکسید کربن (CO) = ۱۲ u + ۱۶ u = ۲۸ u (هر مولکول مونوکسید کربن شامل ۱ اتم کربن (C) و ۱ اتم اکسیژن (O) است. جرم ۱ اتم کربن = ۱۲ u و جرم ۱ اتم اکسیژن = ۱۶ u. ۱۲ u + ۱۶ u = ۲۸ u). بنابراین، ۱ مول CO جرمی برابر با ۲۸ گرم دارد. یا جرم مولکولی CO = ۲۸ گرم بر مول = ۲۸ کیلوگرم بر کیلومتر مول.

مثال ۳، جرم مولکولی گاز دی اکسید کربن (CO2 ₎ = [12 u + (2 x 16 u)] = [12 u + 32 u] = 44 u (هر مولکول دی اکسید کربن شامل ۱ اتم کربن (C) و ۲ اتم اکسیژن (O) است. جرم ۱ اتم کربن = ۱۲ u و جرم ۱ اتم اکسیژن = ۱۶ u). بنابراین، ۱ مول CO2 _جرمی برابر با ۴۴ گرم دارد. یا جرم مولکولی CO2 ₌ ۴۴ گرم بر مول = ۴۴ کیلوگرم بر کیلومتر مول.

تعداد مول‌های (n) یک ماده = نسبت جرم ماده به جرم مولکولی آن. به صورت ریاضی به صورت زیر نوشته می‌شود:

مثال ۱: تعداد مول‌های موجود در ۶۴ گرم O را محاسبه کنید.₂

جرم O2 ₌ 64 گرم

مثال ۳: تعداد مول‌ها را در ۱۷۶ گرم CO محاسبه کنید

جرم CO2 = 280 گرم

مثال ۳: تعداد مول‌ها را در ۱۷۶ گرم CO محاسبه کنید₂

جرم CO2 ₌ 176 گرم

ثابت جهانی گازها (R)

بر اساس تحقیقات انجام شده توسط دانشمندان، کشف شد که وقتی از تعداد مول‌ها (n) برای بیان اندازه یک ماده استفاده می‌شود، ثابت تناسب برای هر گاز مقدار یکسانی دارد. ثابت تناسب مورد بحث، ثابت جهانی گازها (R) است.

R = 8,315 ژول بر مول.کلوین

= ۸۳۱۵ کیلوژول بر کیلومتر بر کیلوکالری

= 0,0821 (لیتر بر اتمسفر) / (مول بر کلوین)

= ۱.۹۹ کالری بر مول کلوین

(J = ژول، K = کلوین، L = لیتر، atm = اتمسفر، cal = کالری)

قانون گاز ایده‌آل (بر حسب مول)

مقایسه فوق را می‌توان با وارد کردن تعداد مول‌ها (n) و ثابت جهانی گازها (R) به یک معادله تبدیل کرد.

PV = nRT

این معادله، قانون گاز ایده‌آل یا معادله حالت گاز ایده‌آل نامیده می‌شود.

اطلاعات:

P = فشار گاز (نیوتن بر متر ^مربع )

V = حجم گاز (متر ^مکعب )

n = تعداد مول‌ها (mol)

R = ثابت جهانی گازها (R = 8,315 J/mol.K)

T = دمای مطلق گاز (K)

هنگام حل مسائل، با اصطلاح STP مواجه خواهید شد. STP مخفف دما و فشار استاندارد است.

دمای استاندارد (T) = 0 ^درجه سانتیگراد = 273 کلوین

فشار استاندارد (P) = 1 اتمسفر = 1,013 x 10 ⁵ نیوتن بر متر مربع ⁼ 1,013 x 10 ² کیلو پاسکال = 101 کیلو پاسکال

در حل مسائل قانون گازها، دما باید در مقیاس کلوین (K) بیان شود.

اگر فشار گاز هنوز فشار اندازه‌گیری است، ابتدا آن را به فشار مطلق تبدیل کنید.

فشار مطلق = فشار اتمسفر + فشار گیج (فشار اتمسفر = فشار هوای بیرون)

اگر فشار اتمسفر مشخص است (فشار گیج وجود ندارد)، مسئله را مستقیماً حل کنید.

مثال سوال ۳:

در فشار اتمسفر (101 کیلو پاسکال)، دمای گاز دی اکسید کربن = 20 ^o C و حجم آن = 2 لیتر است. اگر فشار به 201 کیلو پاسکال تغییر داده شود و دما به 40 ^o C افزایش یابد، حجم نهایی گاز دی اکسید کربن را محاسبه کنید.

پمباهاسان

معلوم است که:

پ _۱ = ۱۰۱ کیلو پاسکال

پ _۲ = ۲۰۱ کیلوپاسکال

دمای _۱ = ۲۰ ^درجه سانتیگراد + ۲۷۳ کلوین = ۲۹۳ کلوین

دمای _۲ = ۴۰ ^درجه سانتیگراد + ۲۷۳ کلوین = ۳۱۳ کلوین

V ₁ = 2 لیتر

پرسیده شد: نسخه _۲

جواب:

مثال سوال ۳:

حجم 2 مول گاز را در شرایط STP تعیین کنید (فرض کنید این گاز، گاز ایده‌آل است)

پمباهاسان

حجم 2 مول گاز در شرایط STP (دما و فشار استاندارد) برابر با 44,8 لیتر است.

مثال سوال ۳:

حجم گاز اکسیژن در شرایط استاندارد (STP) برابر با 20 متر ^مکعب است . جرم گاز اکسیژن چقدر است؟

پمباهاسان

جرم مولکولی اکسیژن = 32 گرم بر مول (جرم 1 مول اکسیژن = 32 گرم). بنابراین، جرم گاز اکسیژن برابر است با:

جرم (m) = تعداد مول‌ها (n) × جرم مولکولی

جرم = (۸۹۳ مول) × (۳۲ گرم بر مول) = ۲۸۵۷۶ گرم = ۲۸.۵۷۶ کیلوگرم

مثال سوال ۳:

یک مخزن حاوی ۴ لیتر گاز اکسیژن (O2 _{) است} . دمای گاز اکسیژن ۲۰ ^درجه سانتیگراد و فشار اندازه‌گیری شده ۲۰ × ۱۰۵ ^نیوتن بر متر مربع ^است . جرم گاز اکسیژن را تعیین کنید (جرم مولکولی اکسیژن = ۳۲ کیلوگرم بر کیلومتر مول = ۳۲ گرم بر مول)

پمباهاسان

قانون گاز ایده‌آل (بر حسب تعداد مولکول‌ها)

اگر اندازه یک ماده را نه بر حسب جرم (m)، بلکه بر حسب تعداد مول‌ها (n) بیان کنیم، آنگاه ثابت جهانی گازها (R) برای همه گازها اعمال می‌شود. این ثابت اولین بار توسط آمدئو آووگادرو (۱۷۷۶-۱۸۵۶)، دانشمند ایتالیایی، کشف شد.

آووگادرو گفت وقتی حجم، فشار و دمای هر گاز یکسان باشد، آنگاه هر گاز تعداد مولکول‌های یکسانی دارد.

جمله‌ای که با حروف پررنگ و ایتالیک نوشته شده، فرضیه آووگادرو نام دارد. فرضیه یا حدس آووگادرو با این واقعیت سازگار است که ثابت R برای همه گازها یکسان است. در اینجا چند اثبات آورده شده است:

اول ، اگر مسئله را با استفاده از معادله قانون گاز ایده‌آل (PV = nRT) حل کنیم، متوجه خواهیم شد که وقتی تعداد مول‌ها (n) یکسان باشد، فشار و دما نیز یکسان باشند، در صورت استفاده از ثابت جهانی گازها (R = 8,315 J/mol.K)، حجم همه گازها یکسان خواهد بود. در شرایط STP، هر گازی که تعداد مول‌های (n) یکسانی داشته باشد، حجم یکسانی خواهد داشت. حجم 1 مول گاز در شرایط STP = 22,4 لیتر. حجم 2 مول گاز = 44,8 لیتر. حجم 3 مول گاز = 67,2 لیتر. و به همین ترتیب ... این برای همه گازها صدق می‌کند.

دوم ، تعداد مولکول‌ها در ۱ مول برای همه گازها یکسان است. تعداد مولکول‌ها در ۱ مول = تعداد مولکول‌ها در هر مول = عدد آووگادرو (NA ₎ . بنابراین عدد آووگادرو برای همه گازها یکسان است.

اندازه عدد آووگادرو از طریق اندازه‌گیری‌ها به دست می‌آید:

NA = 6,02 x 1023 ^مولکول /مول

برای بدست آوردن تعداد کل مولکول‌ها (N)، می‌توانیم تعداد مولکول‌ها در هر مول (NA) را در تعداد مول‌ها (n) ضرب کنیم.

این معادله قانون گاز ایده‌آل بر حسب تعداد مولکول‌ها است.

اطلاعات:

P = فشار

V = حجم

N = تعداد کل مولکول‌ها

k = ثابت بولتزمن (k = 1,38 x ^10‐23 J/K)

T = دما

حجم

۱ لیتر (L) = ۱۰۰۰ میلی‌لیتر (mL) = ۱۰۰۰ سانتی‌متر مکعب ( ^cm³ )

۱ لیتر (L) = ۱ دسی‌متر مکعب (dm³ ⁾ = ۱ × ^۱۰‐۳ متر ^مکعب

فشار

۱ نیوتن بر متر ^مربع = ۱ پاسکال

۱ اتمسفر = ۱.۰۱۳ × ۱۰۵ ^نیوتن بر متر ^مربع = ۱.۰۱۳ × ۱۰۵ ^پاسکال = ۱.۰۱۳ × ۱۰۲ ^{کیلوپاسکال} = ۱۰۱.۳ کیلوپاسکال (معمولاً از ۱۰۱ کیلوپاسکال استفاده می‌شود)

پاسکال = پاسکال

اتمسفر = جو

انرژی داخلی یک گاز ایده‌آل

انرژی درونی یک گاز ایده‌آل تک اتمی

انرژی داخلی یک گاز ایده‌آل تک اتمی، مجموع کل انرژی جنبشی انتقالی مولکول‌های گاز ایده‌آل تک اتمی است. مجموع کل انرژی جنبشی انتقالی مولکول‌های یک گاز ایده‌آل = حاصلضرب میانگین انرژی جنبشی انتقالی هر مولکول در تعداد مولکول‌ها (N). از نظر ریاضی:

اطلاعات:

U = انرژی درونی یک گاز ایده‌آل تک اتمی (J)

N = تعداد مولکول‌ها

k = ثابت بولتزمن (k = 1,38 x ^10‐23 J/K)

T = دمای مطلق (K)

n = تعداد مول‌ها (mol)

R = ثابت جهانی گازها (R = 8,315 J/mol.K = 8315 kJ/kmol.K)

انرژی در گاز ایده‌آل دو اتمی

انرژی درونی یک گاز ایده‌آل دو اتمی، مجموع انرژی جنبشی انتقالی، انرژی جنبشی چرخشی و انرژی جنبشی ارتعاشی مولکول‌های گاز ایده‌آل دو اتمی است. طبق اصل برابری انرژی، انرژی درونی یک گاز ایده‌آل دو اتمی برابر است با:

U = 5/2 n RT

انرژی در گاز ایده‌آل چند اتمی

انرژی درونی یک گاز ایده‌آل چند اتمی، مجموع انرژی جنبشی انتقالی، انرژی جنبشی چرخشی و انرژی جنبشی ارتعاشی مولکول‌های گاز ایده‌آل چند اتمی است. طبق اصل برابری انرژی، انرژی درونی یک گاز ایده‌آل چند اتمی برابر است با:

U = 7/2 n RT

انرژی در گاز واقعی

انرژی موجود در یک گاز واقعی به دما نیز بستگی دارد. وقتی فشار یک گاز واقعی به اندازه کافی بالا باشد (حجم گاز واقعی کم باشد)، گاز واقعی شروع به نشان دادن رفتار انحرافی می‌کند. بنابراین، می‌توان گفت که انرژی موجود در یک گاز واقعی به فشار و حجم نیز بستگی دارد.