نمونه سوال بحث در مورد مشتق یک تابع جبری
مشتق در حساب دیفرانسیل و انتگرال یک مفهوم اساسی است که برای توصیف چگونگی تغییر یک تابع یا شیب یک تابع در یک نقطه استفاده می‌شود. مشتقات در زمینه‌های مختلفی مانند فیزیک، اقتصاد و مهندسی مفید هستند زیرا اطلاعاتی در مورد نرخ تغییر ارائه می‌دهند. در این مقاله، چندین نمونه از مشتقات توابع جبری و نحوه حل آنها را مورد بحث قرار خواهیم داد.
مثال ۱: مشتق تابع چندجمله‌ای
سوال: با توجه به تابع \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \). مشتق تابع را تعیین کنید!
راه حل:
با استفاده از قانون اساسی مشتق برای توابع چندجمله‌ای، یعنی \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \)، مشتق هر جمله از تابع را یکی یکی محاسبه خواهیم کرد.
\[
\begin{align}
f(x) &= 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{تراز کردن}
\]
بنابراین، مشتق تابع f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 برابر است با f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \).
مثال ۲: مشتق تابعی با توان‌های کسری
سوال: مشتق تابع \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) را تعیین کنید.
راه حل:
با استفاده از همان قاعده مشتق‌گیری، یعنی \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align}
g(x) و = x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) و = ∈x^{1/2} + ∈x^{-1/2}.
\end{تراز کردن}
\]
بنابراین، مشتق تابع \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) برابر است با \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \).
مثال ۳: مشتق توابع نمایی و مثلثاتی
سوال: مشتق تابع h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) را تعیین کنید.
راه حل:
برای حل این مشتق، به قانون ضرب نیاز داریم که بیان می‌کند \((uv)' = u'v + uv'\). فرض کنید \( u(x) = e^x \) و \( v(x) = \sin(x) \)، آنگاه:
\[
\begin{align}
u'(x) &= e^x, & \text{زیرا مشتق } e^x \text{ برابر است با } e^x \\
v'(x) &= \cos(x) و \text{زیرا مشتق } \sin(x) \text{ برابر است با } \cos(x).
\end{تراز کردن}
\]
با استفاده از قانون مشتق شده برای محصولات:
\[
\begin{align}
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot e^x \\
و = e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{تراز کردن}
\]
بنابراین، مشتق تابع h(x) = e^x برابر است با h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \).
مثال ۴: مشتق یک تابع با استفاده از قاعده زنجیره‌ای
سوال: مشتق تابع \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) را تعیین کنید.
راه حل:
برای حل این مشتق، به قاعده زنجیره‌ای نیاز داریم، یعنی \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). فرض کنید \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) و \( f(u) = u^5 \)، آنگاه:
\[
\begin{align}
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{so} \\
k(x) و = f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
و= ۶x – ۱.
\end{تراز کردن}
\]
با استفاده از قانون زنجیره‌ای:
\[
\begin{align}
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
و= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{تراز کردن}
\]
بنابراین، مشتق \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) برابر است با \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \).
مثال ۵: مشتق تابع با اتحادهای مثلثاتی
سوال: مشتق تابع \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) را تعیین کنید.
راه حل:
ما از قانون مشتق برای ضرب‌ها استفاده خواهیم کرد. فرض کنید \( u(x) = \sin(x) \) و \( v(x) = \cos(x) \)، آنگاه:
\[
\begin{align}
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{تراز کردن}
\]
با استفاده از قانون مشتق شده برای محصولات:
\[
\begin{align}
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
و = \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{تراز کردن}
\]
با استفاده از اتحاد مثلثاتی \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\):
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
بنابراین، مشتق \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) برابر است با \( m'(x) = \cos(2x) \).
نتیجه گیری
مشتق یک تابع جبری یک مفهوم اساسی در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که در کاربردهای مختلف بسیار مهم و مفید است. قوانین مختلف مشتق‌گیری، مانند قانون مشتق پایه، قانون حاصلضرب، قانون زنجیره‌ای و قوانین مشتقات مثلثاتی، همگی در محاسبه مشتقات توابع پیچیده‌تر کمک می‌کنند. با درک مثال‌های بالا و تمرین مسائل، می‌توانیم درک و مهارت‌های خود را در مشتق‌گیری از توابع جبری بهبود بخشیم.
