نمونه سوالات مربوط به تابع توزیع دوجملهای
توزیع دوجملهای یک توزیع احتمال گسسته است که تعداد موفقیتها در یک آزمایش متشکل از تعدادی آزمایش مستقل با دو نتیجه ممکن: موفقیت و شکست را توصیف میکند. هر آزمایش یک آزمایش نامیده میشود و توزیع دوجملهای اغلب در موقعیتهایی استفاده میشود که تعداد موفقیتها در تعدادی آزمایش مستقل مورد توجه باشد. در این مقاله، مفاهیم اساسی توزیع دوجملهای را مورد بحث قرار میدهیم و مثالها و راهحلهایی ارائه میدهیم.
مفاهیم اساسی تابع توزیع دوجملهای
قبل از اینکه به سوالات نمونه و بحث بپردازیم، بیایید برخی از مفاهیم اساسی مربوط به توزیع دوجملهای را مورد بحث قرار دهیم.
۱. تعریف: توزیع دوجملهای به صورت مجموع موفقیتها در «n» آزمایش مستقل تعریف میشود، که در آن هر آزمایش دو نتیجه ممکن دارد: موفقیت (با احتمال p) یا شکست (با احتمال q = ۱ – p).
۲. تابع احتمال: تابع احتمال توزیع دوجملهای عبارت است از:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
کجا:
- \(P(X = k) \) احتمال موفقیت k در n آزمایش است.
– \( \binom{n}{k} \) ترکیبی از n است که k را میگیرد و به صورت \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) تعریف میشود.
- \(p \) احتمال موفقیت در هر آزمایش است.
- \((1-p) \) احتمال شکست در هر آزمایش است.
۳. ارزش مورد انتظار و واریانس:
مقدار مورد انتظار (میانگین) توزیع دوجملهای \( \mu = np \) است.
– واریانس توزیع دوجملهای برابر است با \( \sigma^2 = np(1-p) \).
حال، بیایید این مفاهیم را در یک مثال به کار ببریم تا درک عمیقتری ارائه دهیم.
مثال سوال ۱: محاسبات اولیه توزیع دوجملهای
سوال:
یک شرکت قطعات الکترونیکی را با احتمال 0.95 تولید میکند که هر قطعه از آزمون کیفیت سربلند بیرون بیاید. اگر 10 قطعه تولید شود، احتمال اینکه دقیقاً 8 قطعه از آزمون کیفیت سربلند بیرون بیایند را محاسبه کنید.
بحث:
میتوانیم از فرمول توزیع دوجملهای برای حل این مسئله استفاده کنیم. ابتدا پارامترهای زیر را شناسایی میکنیم:
– \(n \) (تعداد کل آزمایشها) = ۱۰
– \( k \) (تعداد موفقیتها) = ۸
– \(p \) (احتمال موفقیت) = ۰.۹۵
– \(q \) (احتمال شکست) = ۱ – ۰.۹۵ = ۰.۰۵
سپس این مقادیر را در فرمول توزیع دوجملهای جایگزین کنید:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
ابتدا، ترکیب \( \binom{10}{8} \) را محاسبه کنید:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
سپس، احتمالات \( (0.95)^8 \) و \( (0.05)^2 \) را محاسبه کنید:
\[
(0.95)^8 \تقریباً 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
در نهایت، تمام آن مقادیر را در هم ضرب کنید تا به دست آید:
\[
P(X = 8) = 45 ضربدر 0.6634 ضربدر 0.0025 تقریباً 0.0744
\]
بنابراین، احتمال اینکه دقیقاً ۸ قطعه از ۱۰ قطعه، آزمون کیفیت را با موفقیت پشت سر بگذارند، حدود ۰.۰۷۴۴ یا ۷.۴۴٪ است.
مثال سوال ۲: احتمال تجمعی
سوال:
همچنان که در همان شرکت هستید، احتمال اینکه حداقل ۹ قطعه از ۱۰ قطعه، آزمون کیفیت را با موفقیت پشت سر بگذارند را محاسبه کنید.
بحث:
برای حل این مسئله، باید احتمال تجمعی را محاسبه کنیم. احتمال اینکه حداقل ۹ از ۱۰ مؤلفه در آزمون قبول شوند به این معنی است که \(P(X \geq 9) \) را محاسبه میکنیم که میتوان آن را به صورت زیر نوشت:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
با استفاده از فرمول توزیع دوجملهای:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
ابتدا، ترکیب را برای هر مورد محاسبه کنید:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
سپس، احتمالات را برای \( P(X = 9) \) و \( P(X = 10) \) محاسبه کنید:
\[
P(X = 9) = 10 ضربدر (0.95)^9 ضربدر 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \تقریباً 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 ضربدر 0.6302 ضربدر 0.05 تقریباً 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 ضربدر (0.95)^{10} ضربدر 1
\]
\[
(0.95)^{10} \تقریباً 0.5987
\]
\[
پی(ایکس = ۱۰) = ۰.۵۹۸۷
\]
احتمال کل برای \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \approxa 0.9138
\]
بنابراین، احتمال اینکه حداقل ۹ مورد از ۱۰ مؤلفه از آزمون کیفیت عبور کنند، حدود ۰.۹۱۳۸ یا ۹۱.۳۸٪ است.
مثال سوال ۳: ارزش مورد انتظار و واریانس
سوال:
مقدار مورد انتظار و واریانس تعداد اجزایی که از آزمون کیفیت از بین 10 جزء تولید شده عبور میکنند را با احتمال عبور 0.95 محاسبه کنید.
بحث:
از فرمول زیر استفاده کنید:
– مقدار مورد انتظار (میانگین) \( \mu = np \)
– واریانس \( \sigma^2 = np(1-p) \)
با (n = 10) و (p = 0.95) :
\[
\mu = 10 \times 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]
بنابراین، مقدار مورد انتظار تعداد اجزایی که از آزمون کیفیت عبور میکنند، ۹.۵ و واریانس آن ۰.۴۷۵ است.
نتیجه گیری
از طریق سه مثال مسئله بالا، ما در مورد نحوه محاسبه احتمال با استفاده از توزیع دوجملهای برای موقعیتهای مختلف بحث کردهایم: محاسبه احتمال دقیق، احتمال تجمعی و محاسبه مقدار مورد انتظار و واریانس. آگاهی از توزیع دوجملهای در زمینههای مختلف مانند تولید، تحقیقات پزشکی و آمار اجتماعی مفید است، جایی که نتایج آزمایشهای مکرر با دو نتیجه ممکن را میتوان برای کمک به تصمیمگیری تجزیه و تحلیل کرد. امیدواریم که مثالهای مسئله و بحثهای ارائه شده به درک بیشتر شما از توزیع دوجملهای کمک کند.
