jaurtigai-mugimendua

Proiektilaren mugimenduari buruzko artikulua eta irtenbideak dituzten arazoen adibideak

Hasierako abiadura (v_o) eta hasierako abiaduraren osagaiak (v_ox eta v_oy)

Objektu bat, zeinaren mugimendu parabolikoek beti hasierako abiadura duten. Mugimendu parabolikoa norabide horizontalean eta bertikalean egiten diren mugimenduen konbinazioa denez, hasierako abiadurak osagai horizontalak eta bertikalak ere baditu.

Objektua 1. eta 3. irudietan bezala parabolikoki mugitzen bada, hasierako abiadura norabide horizontalean (v _ox ) eta hasierako abiadura norabide bertikalean (v _oy ) ekuazio hau erabiliz kalkulatzen dira:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Objektua 2. irudian bezala parabolikoki mugitzen bada, orduan v _o = v _ox (v _oy = 0) da.

Abiadura (v)_x eta v_y) eta Posizioa (x eta y)

Denbora-tarte jakin batean abiadura norabide horizontalean eta bertikalean kalkulatzen da ekuazio hau erabiliz:

v _x = v _ox = konstantea ( higidura lineal uniformea )

v _y = v _oy + gt edo v _y ² = v _oy ² + 2 gh (erorketa askeko mugimendua)

Denbora-tarte jakin batean objektuen posizioa norabide horizontalean (x) eta bertikalean (y) kalkulatzen da ekuazio hau erabiliz:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Abiaduraren (v) eta posizioaren (h) erresultantea

Denbora-tarte jakin batean lortutako abiadura ekuazio hau erabiliz kalkulatzen da:

Denbora-tarte jakin batean objektuen norabidea ekuazio hau erabiliz kalkulatzen da:

Oharrak:

1. Mugimendu parabolikoaren osagai horizontala mugimendu lineal uniformetzat hartzen da, beraz, vox = vx beti konstantea da

2. Mugimendu parabolikoaren osagai bertikala erorketa libreko mugimendu gisa ikusten da, beraz, objektua parabolikoki mugitzen bada, 1. eta 3. irudietan bezala, objektuaren abiaduraren osagai bertikala altuera maximoan zero da (vy ₌ 0). Kanika bat altuera maximoan gorantz zutik botatzen baduzu, objektua une batez geldirik dago (vy ₌ 0) behera biratu aurretik. Beraz, objektua parabolikoa altuera maximoan mugitzen duen abiadura = _vx = _vox

3. Objektua 2. irudian erakusten den bezala parabolikoki mugitzen bada, mugimendu parabolikoaren osagai bertikala erorketa libreko mugimendu gisa ikusten da. Objektua 1. eta 3. irudietan agertzen den bezala parabolikoki mugitzen bada, mugimendu parabolikoaren osagai bertikala goranzko mugimendu bertikal gisa ikusten da.

Problema adibideak:

1. Bala bat jaurtitzen da norabide horizontalean, hasierako 20 m/s-ko abiadurarekin. Pistola lurretik 5 metrora badago, zehaztu:

(a) airean denbora

(b) gehienezko altuera

(c) distantzia horizontala

(d) balaren abiadura lurra jotzean

Irtenbidea:

Mugimendu horizontala mugimendu lineal uniforme gisa aztertzen da, eta mugimendu bertikala, berriz, erorketa askearen mugimendu gisa.

Ezagunak:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Airean denbora

Irtenbidea erorketa libreko higiduraren denbora-tartea (t) zehaztea da.

Ezaguna: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Bilatzen da: t

b) Gehienezko altuera

Gehienezko altuera = h = 5 metro.

c) Distantzia horizontala (d)

Irtenbidea higidura lineal uniformearen distantzia zehaztea bezalakoa da.

Ezaguna: v _ox = 20 m/s, t = 1 segundo

Bilatzen da: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Balak lurra jotzean duen abiadura

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Lehenik eta behin, norabide bertikaleko azken abiadura (vty) kalkulatzen dugu. Irtenbidea erorketa libreko mugimenduaren azken abiadura zehaztea bezalakoa da.

Ezaguna: v _oy = 0, g = 9.8 m/s ² , t = 1 s

Bilatzen da: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

v _t = 9.8 m/s

Bala baten abiadura lurrera iristean:

Balaren norabidea:

v _tx x ardatz positiboaren norabidean dagoenez (eskuinera) eta v _ty y ardatz negatiboaren norabidean dagoenez (behera),

lurra jotzean balaren norabidea -26.1 ^o da x ardatz positiboarekiko (ikus beheko irudia).

2. Kanoiak bala bat jaurti zuen horizontalarekiko 30 ^°-ko angeluan eta 60 m/s-ko abiaduran. Zehaztu:

(a) gehienezko altuera

(b) balaren abiadura altuera maximoan

(c) airean denbora

(d) distantzia horizontala

(e) balaren abiadura lurra jotzean. Demagun lurra laua dela. 🙂

Irtenbidea:

Mugimendu horizontala mugimendu lineal uniforme gisa aztertzen da, eta mugimendu bertikala, berriz, goranzko mugimendu bertikal gisa.

Ezaguna: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Datu ezagunetan oinarrituta, lehenik hasierako abiaduraren (v _o ) eta horizontalaren (v _{o )} osagaiak kalkulatzen ditugu.

a) Gehienezko altuera (h)

Irtenbidea goranzko mugimendu bertikalaren altuera maximoa zehaztea bezalakoa da.

Ezagunak:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Gehienezko altuera (h)

Irtenbidea goranzko mugimendu bertikalaren altuera maximoa zehaztea bezalakoa da.

Ezagunak:

v _oy = 30 m/s (hau da balaren hasierako abiadura)

v _ty = 0 m/s (Altuera maximoan, balaren abiadura bertikala = 0 m/s da. Hau da azken abiadura.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Bilatzen da: h

v _t² = _v₂ ^{+ 2} gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 ordu

900 = 19.6 ordu

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metro

Balak lortutako gehienezko altuera = 45.9 metro.

b) Abiadura altuera maximoan

Altuera maximoan, norabide bertikaleko abiadura = 0 m/s da. Altitude maximoan, norabide horizontalean bakarrik dago abiadura. Altuera maximoan norabide horizontaleko abiadura hasierako abiaduraren berdina da norabide horizontalean, hau da, 52.2 m/s. Abiaduraren norabidea norabide horizontalean beti da konstantea, hau da, x ardatz positiboaren norabidean (objektu baten mugimendua goiko diagraman deskribatzen bada).

c) Airean denbora

Irtenbidea goranzko mugimendu bertikalaren eztabaidan denbora-tartea (t) zehaztea bezalakoa da.

Ezagunak:

v _oy = 30 m/s (hau da balaren hasierako abiadura norabide bertikalean)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (bala lurrera itzultzen denean, balaren desplazamendua norabide bertikalean = 0 m)

Bilatzen da: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 segundo

Airean denbora = 6.12 segundo

d) Distantzia horizontala (d)

Irtenbidea higidura lineal uniformearen distantzia (d) zehaztea bezalakoa da.

Ezagunak:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 segundo

Bilatzen da: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 segundo) = 319.5 m

e) Balak lurra jotzean duen abiadura

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Lehenik, norabide bertikaleko azken abiadura kalkulatzen dugu (v _ty ). Irtenbidea goranzko mugimendu bertikalaren azken abiadura zehaztea da.

Bilatzen dena: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 6.12 segundo

Bilatzen da: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Zeinu negatibo batek azken abiaduraren norabidea beherantz doala adierazten du. Kontuan izan hasierako abiadura norabide bertikalean azken abiaduraren berdina dela norabide bertikalean.

Balaren abiadura lurra jotzean:

Balaren norabidea:

v _tx x ardatz positiboaren norabidean dagoenez (eskuinera) eta vty y ardatz negatiboaren norabidean dagoenez (behera),

balaren abiaduraren norabidea lurra jotzean -30 ^o da x ardatz positiboaren inguruan (ikus beheko irudia).

3. 50 metroko altuerako eraikin baten ertzetik pilota bat jaurtitzen da hasierako 10 m/s-ko abiadurarekin. Pilota horizontalarekiko 30o-ko angeluan jaurtitzen bada, zehaztu:

(a) pilota lurrera iristen den denbora-tartea

(b) pilotak lurra jotzean duen abiadura

(c) pilotak egin dezakeen distantzia horizontala eraikinaren ertzetik neurtzen da

(d) pilotak lortutako gehienezko altuera

Irtenbidea:

Lehenik, hasierako abiaduraren (v _o ) osagai bertikala (v _oy ) eta osagai horizontala (v _ox ) kalkulatzen ditugu.

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Baloia lurrera iristen den denbora-tartea

Irtenbidea goranzko mugimendu bertikal batean denbora-tartea (t) zehaztea bezalakoa da. Goranzko norabidea duen bektorearen magnitudea positiboa da, eta beheranzko norabidea duen bektorearen magnitudea negatiboa. Jaurtitzen den pilotaren posizioa erreferentzia-puntu gisa hautatzen da. h negatiboa da, lurzoruaren gainazala erreferentzia-puntuaren azpitik dagoelako, eta g negatiboa da, grabitatearen azelerazioaren norabidea beherantz dagoelako.

Ezagunak:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Bilatzen da: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t2 ⁺ 5 t + 5 = 0

Erabili formula koadratikoa:

Airean egon den denbora = pilota jaurti zenetik lurrera iritsi arteko denbora-tartea = 1.64 segundo.

b) Baloiaren abiadura lurrazalera jotzen duenean

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Lehenik, norabide bertikalean azken abiadura kalkulatzen dugu (v _ty ). Irtenbidea goranzko mugimendu bertikalean azken abiadura zehaztea bezalakoa da.

Ezaguna: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s ² , t = 1.64 segundo

Bilatzen da: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Zeinu negatiboak azken abiaduraren norabidea beherantz doala adierazten du.

Balaren abiadura lurra jotzean:

Balaren abiaduraren norabidea = balaren mugimenduaren norabidea lurrera jotzen duenean:

Balaren abiadura lurra jotzean:

vtx x ardatz positiboaren norabidean dagoenez (eskuinera) eta vty y ardatz negatiboaren norabidean dagoenez (behera),

lurra jotzean balaren norabidea -52o da x ardatz positiboaren inguruan (ikus beheko irudia).

c) Baloiak egin dezakeen distantzia horizontala eraikinaren ertzetik neurtzen da.

Irtenbidea higidura lineal uniformean egindako distantzia (d) zehaztea bezalakoa da.

Ezaguna: t = 1.64 segundo, v _x = 8.7 m/s

Bilatzen da: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Baloiak lortutako gehienezko altuera

Ezaguna: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( abiaduraren osagai bertikala altuera maximoan = 0 m/s), g = -9.8 m/s ².

Bilatzen da: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metro

Baloak lortutako gehienezko altuera = eraikinaren goialdetik 1.3 metro = 1.3 m + 50 m = 51.3 metro lurzoruaren gainazaletik.