mürsu liikumine

Artikkel mürsu liikumisest ja näidisülesannetest koos lahendustega

Algkiirus (v_o) ja algkiiruse komponent (v_ox ja v_oy)

Objekt, mille paraboolsetel liikumistel on alati algkiirus. Kuna paraboolne liikumine on horisontaalse ja vertikaalse liikumise kombinatsioon, on algkiirusel ka horisontaalne ja vertikaalne komponent.

Kui objekt liigub paraboolselt nagu joonistel 1 ja 3, siis arvutatakse algkiirus horisontaalsuunas (v _ox ) ja algkiirus vertikaalsuunas (v _{oy ) järgmise valemi abil:}

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Kui objekt liigub paraboolselt nagu joonisel 2, siis v _o = v _ox (v _oy = 0)

Kiirus (v_x ja v_y) ja positsioon (x ja y)

Kiirus horisontaal- ja vertikaalsuunas teatud ajavahemiku jooksul arvutatakse järgmise võrrandi abil:

v _x = v _ox = konstant ( ühtlane lineaarne liikumine )

v _y = v _oy + gt või v _y ² = v _oy ² + 2 gh (vabalangemise liikumine)

Objektide asukoht horisontaalses (x) ja vertikaalses (y) suunas teatud ajavahemiku jooksul arvutatakse järgmise võrrandi abil:

x = v _ox t

y = v _y t + 1⁄2 gt ²

Kiiruse (v) ja asukoha (h) resultant

Saadud kiirus kindlaksmääratud ajavahemikul arvutatakse järgmise võrrandi abil:

Objektide suund teatud ajavahemiku jooksul arvutatakse järgmise võrrandi abil:

Märkused:

1. Paraboolse liikumise horisontaalset komponenti vaadeldakse ühtlase lineaarse liikumisena, seega vox = vx on alati konstantne

2. Paraboolse liikumise vertikaalset komponenti vaadeldakse vabalangemise liikumisena, seega kui objekt liigub paraboolselt, nagu joonistel 1 ja 3, on objekti kiiruse vertikaalne komponent maksimaalsel kõrgusel null (v _y = 0). Kui visata marmorkuul püsti üles maksimaalsel kõrgusel, on objekt enne allapoole pööramist hetkeks paigal (v _y = 0). Seega on parabooli maksimaalsel kõrgusel liigutava objekti kiirus = v _x = v _ox

3. Kui objekt liigub paraboolselt, nagu on näidatud joonisel 2, siis vaadeldakse paraboolse liikumise vertikaalset komponenti vabalangemise liikumisena. Kui objekt liigub paraboolselt, nagu joonistel 1 ja 3, siis vaadeldakse paraboolse liikumise vertikaalset komponenti ülespoole suunatud vertikaalse liikumisena.

Näidisprobleemid:

1. Kuul lastakse horisontaalsuunas algkiirusega 20 m/s. Kui relv on maapinnast 5 meetri kõrgusel, siis määrake:

(a) aeg õhus

(b) maksimaalne kõrgus

(c) horisontaalne kaugus

(d) kuuli kiirus maapinnale jõudmisel

Lahendus:

Horisontaalset liikumist analüüsitakse nagu ühtlast lineaarset liikumist, vertikaalsuunalist liikumist aga nagu vabalangemist.

Teatud:

v _ox = 20 m/s, v _yoy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Õhus viibimise aeg

Lahendus on vabalangemise liikumise ajaintervalli (t) määramine.

Tuntud: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Otsitakse: t

b) Maksimaalne kõrgus

Maksimaalne kõrgus = h = 5 meetrit.

c) Horisontaalne kaugus (d)

Lahendus on nagu ühtlase lineaarse liikumise kauguse määramine

Tuntud: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekund

Otsitakse: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Kiirus, kui kuul maapinnale jõuab

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Esmalt arvutame vertikaalsuunas lõppkiiruse (vty). Lahendus sarnaneb vabalangemise liikumise lõppkiiruse määramisega.

Tuntud: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Otsitakse: v _ty

vt = v0 ₊ gt —> vo = ₀

v _t = gt

vt ₌ (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

Kuuli kiirus maapinnale jõudes:

Kuuli suund:

Kuna v _tx on positiivse x-telje suunas (paremale) ja v _ty on negatiivse y-telje suunas (allapoole), siis

Kuuli suund maapinnale jõudes on positiivse x-telje suhtes -26.1 ^{° (vt allolevat joonist).}

2. Kahur tulistas kuuli horisontaaltasapinna suhtes 30 ^° nurga all kiirusega 60 m/s. Määrake:

(a) maksimaalne kõrgus

(b) kuuli kiirus maksimaalsel kõrgusel

(c) õhus viibimise aeg

(d) horisontaalne kaugus

(e) kuuli kiirus maapinnale jõudmisel. Oletame, et maapind on tasane. 🙂

Lahendus:

Horisontaalset liikumist analüüsitakse nagu ühtlast lineaarset liikumist, vertikaalsuunalist liikumist nagu ülespoole suunatud vertikaalset liikumist.

Tuntud: v _o = 60 m/s, teeta = 30 ^o.

Teadaolevate andmete põhjal arvutame kõigepealt algkiiruse ( v _{o ) vertikaalse (v oy} ) ja horisontaalse (v _ox ) komponendi.

a) Maksimaalne kõrgus (h)

Lahendus on nagu ülespoole suunatud vertikaalse liikumise maksimaalse kõrguse määramine.

Teatud:

v _ox = v _o cos θ = (60) (cos 30) = (60) (0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60) (sin 30) = (60) (0.5) = 30 m/s

a) Maksimaalne kõrgus (h)

Lahendus on nagu vertikaalse ülespoole liikumise maksimaalse kõrguse määramine.

Teatud:

v _oy = 30 m/s (see on kuuli algkiirus)

v _ty = 0 m/s (Maksimaalse kõrguse juures on kuuli vertikaalne kiirus = 0 m/s. See on lõppkiirus.)

g = –9.8 m/ ^s²

Otsitakse: h

vt² = _v0² + ^2gh_​^​

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) tundi

0 = 900 – 19.6 tundi

900 = 19.6 tundi

h = 900/19.6

k = 45.9 meetrit

Kuuli maksimaalne saavutatud kõrgus = 45.9 meetrit.

b) Kiirus maksimaalsel kõrgusel

Maksimaalsel kõrgusel on vertikaalkiirus 0 m/s. Maksimaalsel kõrgusel on kiirus ainult horisontaalsuunas. Horisontaalne kiirus maksimaalsel kõrgusel on võrdne algkiirusega horisontaalsuunas, mis on 52.2 m/s. Kiiruse suund horisontaalsuunas on alati konstantne, st positiivse x-telje suunas (kui objekti liikumist kirjeldatakse ülaltoodud diagrammil).

c) Õhus veedetud aeg

Lahendus on nagu vertikaalse ülespoole liikumise käsitlemisel ajaintervalli (t) määramine.

Teatud:

v _oy = 30 m/s (see on kuuli algkiirus vertikaalsuunas)

g = –9.8 m/ ^s²

h = 0 m (kui kuul maapinnale naaseb, on kuuli vertikaalsuunaline nihe = 0 m)

Otsitakse: t

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t2

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 tonni

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekundit

Õhus viibimise aeg = 6.12 sekundit

d) Horisontaalne kaugus (d)

Lahendus on nagu ühtlase lineaarse liikumise kauguse (d) määramine.

Teatud:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 sekundit

Otsitakse: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekundit) = 319.5 m

e) Kiirus, kui kuul maapinnale jõuab

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Esmalt arvutame lõppkiiruse vertikaalsuunas (v/ _ty ). Lahenduseks on vertikaalse ülespoole liikumise lõppkiiruse määramine.

Soovitud: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekundit

Otsitakse: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Negatiivne märk näitab, et lõppkiiruse suund on allapoole. Pane tähele, et algkiirus vertikaalsuunas on võrdne lõppkiirusega vertikaalsuunas.

Kuuli kiirus maapinnale jõudes:

Kuuli suund:

Kuna v _tx on positiivse x-telje suunas (paremale) ja vty on negatiivse y-telje suunas (allapoole), siis

Kuuli kiiruse suund maapinnale jõudmisel on -30 ^° positiivse x-telje ümber (vt allolevat joonist).

3. Pall visatakse 50 meetri kõrguse hoone servalt algkiirusega 10 m/s. Kui pall visatakse horisontaaltasapinna suhtes 30o nurga all, siis määrake:

a) ajavahemik, mille jooksul pall maapinnale jõuab

(b) palli kiirus maapinnale jõudes

(c) palli poolt mõõdetud horisontaalne kaugus hoone servast

(d) palli maksimaalne kõrgus

Lahendus:

Esmalt arvutame algkiiruse ( v _{o ) vertikaalse komponendi (v oy} ) ja horisontaalse komponendi (v _ox ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Ajavahemik, mille jooksul pall maapinnale jõuab

Lahendus on nagu vertikaalse ülespoole liikumise ajaintervalli (t) määramine. Ülespoole suunatud vektori suurus valitakse positiivseks ja allapoole suunatud vektori suurus negatiivseks. Võrdluspunktiks valitakse palli viskekoht. h on negatiivne, kuna maapind on võrdluspunktist allpool, g on negatiivne, kuna raskuskiirenduse suund on allapoole.

Teatud:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Otsitakse: t

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t2 ⁺ 5 t + 5 = 0

Kasutage ruutvõrrandi valemit:

Õhus veedetud aeg = ajavahemik palli viskamisest maapinnani = 1.64 sekundit.

b) Palli kiirus maapinnale jõudes

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Esmalt arvutame lõppkiiruse vertikaalsuunas (v- _ty ). Lahendus on nagu lõppkiiruse määramine vertikaalsel ülespoole liikumisel.

Tuntud: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekundit

Otsitakse: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5–16

v _ty = -11 m/s

Negatiivne märk näitab, et lõppkiiruse suund on allapoole.

Kuuli kiirus maapinnale jõudes:

Kuuli kiiruse suund = kuuli liikumissuund maapinnale jõudes:

Kuuli kiirus maapinnale jõudes:

Kuna vtx on positiivse x-telje suunas (paremale) ja vty on negatiivse y-telje suunas (allapoole), siis

Kuuli suund maapinnale jõudes on -52o positiivse x-telje ümber (vt allolevat joonist).

c) Palli ulatuvat horisontaalset kaugust mõõdetakse hoone servast.

Lahendus on nagu ühtlasel lineaarsel liikumisel läbitud teepikkuse (d) määramine.

Tuntud: t = 1.64 sekundit, v _x = 8.7 m/s

Otsitakse: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) Palli maksimaalne kõrgus

Tuntud: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( kiiruse vertikaalne komponent maksimaalsel kõrgusel = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Otsitakse: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 meetrit

Palli maksimaalne kõrgus hoone tipust = 1.3 meetrit = 1.3 m + 50 m = 51.3 meetrit maapinnast.