Artikkel Bernoullis'i printsiibi ja Bernoullis'i võrrandi kohta
Mootorrattaga sõites paisuvad meie riided tahapoole. Mõnikord, kui tuul puhub kõvasti, võib uks ise sulguda. Kuigi tuul puhub majast välja, on uks sees.
Seda saab seletada Bernoulli printsiibi abil. Daniel Bernoulli (1700–1782) avastas printsiibi, mida saab kasutada ülaltoodud nähtuse selgitamiseks.
Bernoulli põhimõte
Bernoulli printsiip väidab, et kui vedeliku voolukiirus on suur, on vedeliku rõhk madal. Vastupidi, kui vedeliku voolukiirus on väike, on vedeliku rõhk kõrge. Kui mootorratas liigub kiiresti, on õhu kiirus teie keha esiosas ja külgedel suur. Seega langeb õhurõhk madalaks. Keha esiosa takistab teie keha tagumist osa, seega õhu kiirus teie keha tagaosas ei muutu suureks. Selle tulemusena tõuseb õhurõhk teie keha tagaosas. Kuna õhurõhus on erinevus, kus keha tagaosas on õhurõhk kõrgem kui õhk, surub see teie särki tahapoole, nii et teie riided näevad tahapoole paistes välja.
Aga kuidas on lood majauksega, mis sulgub ise, kui tuul majast välja puhub? Õhk väljaspool maja liigub kiiremini kui õhk maja sees. Selle tulemusena on õhurõhk väljaspool maja väiksem kui õhurõhk maja sees. Kuna rõhuerinevus on suurem ja õhurõhk maja sees on suurem, lükatakse uks välja. Teisisõnu, ukseleht liigub kohast, kus õhurõhk on suur, kohta, kus õhurõhk on väike.
Bernoulli võrrand
Eelnevalt oleme õppinud Bernoulli printsiibist. Bernoulli arendas selle printsiibi ka kvantitatiivselt välja. Bernoulli võrrandi tuletamiseks eeldame, et vedeliku vool on püsiv ja laminaarne, kokkusurumata ning viskoossus on minimaalne, seega võib seda ignoreerida.
Jätkuvuse võrrandi arutamisel saime teada, et vedeliku voolukiirus võib varieeruda ka sõltuvalt voolutoru voolupindalast. Eespool kirjeldatud Bernoulli printsiibi põhjal võib vedeliku rõhk varieeruda ka sõltuvalt vedeliku voolukiirusest. Vedeliku rõhk võib varieeruda ka sõltuvalt vedeliku kõrgusest. Rõhu, voolukiiruse ja voolukõrguse vahelise seose saab leida Bernoulli võrrandist.
Bernoulli võrrand on kriitilise tähtsusega, kuna seda saab kasutada lennukite lendude, hüdroelektrijaamade, torustikusüsteemide jms analüüsimiseks. Bernoulli võrrandi üldiseks tuletamiseks eeldame, et vedelik voolab läbi voolutoru, mille ristlõikepindala ja kõrgus on samuti erinevad. Bernoulli võrrandi tuletamiseks rakendame voolutorus olevale vedelikule töö ja energia teoreemi.
Alloleval joonisel voolutoru läbipaistmatu värv näitab vedeliku voolu, valge värv aga mitte.
Vedelik ristlõikepinnal 1 (vasakul pool) voolab kuni punktini L 1 ja sunnib vedeliku sektsioonis 2 (paremal pool) liikuma kuni punktini L 2. Kuna paremal asuv ristlõikepindala 2 on väiksem, on vedeliku voolukiirus voolutoru paremal küljel suurem (pidage meeles pidevuse võrrandit). See põhjustab rõhuerinevuse sektsiooni 2 (voolutoru parem külg) ja sektsiooni 1 (voolutoru vasak külg) vahel – pidage meeles Bernoulli printsiipi. Sektsioonist 1 vasakul asuv vedelik avaldab paremal asuvale vedelikule rõhku (P 1 ) ja teeb tööd:
Siis saab W1 võrrandi kirjutada järgmiselt:
W1 = p1A1L1
2. osas (voolutoru paremal küljel) on vedelikuga tehtav töö:
W² = −p²A²L²
Negatiivne märk näitab, et rakendatav jõud on liikumissuunale vastupidine. Seega teeb vedelik tööd ristlõike 2 paremal pool. Lisaks teeb vedelikule tööd gravitatsioonijõud. Ülaltoodud juhul kandub osa vedeliku massidest sektsioonist 1 kuni punktini L1 sektsiooni 2 kuni punktini L2 , kus on vedeliku ruumala sektsioonis 1 (A 1 L 1 ) = vedeliku ruumala sektsioonis 2 (A 2 L 2 ). Raskusjõu tehtud töö on:
W3 = −mg ( h2 −h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mg/h1 − mg / h2
Negatiivse märgi põhjustab vedeliku ülespoole voolamine, vastupidiselt gravitatsioonisuunale. Seega on vedelikule tehtud netotöö:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Töö-energia teoreem väidab, et süsteemis tehtud netotöö on võrdne kineetilise energia muutusega. Seega saame töö (W) asendada kineetilise energia muutustega (EK2 – EK1 ).
Ülaltoodud võrrandit saab uuesti kirjutada:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mV22 – 1⁄2 mV12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Vedeliku mass, mis voolab nii kaugele kui L1 ristlõikes A1 = vedeliku mass, mis voolab kuni punktini L2 (ristlõige A2). Vedeliku massi, näiteks m, ruumala on A1 L1 Ja A2 L2 kus A1 L1 = A2 L2 (L2 on pikem kui L1).
Nüüd asendame ülaltoodud võrrandis m väärtusega m = ρ AL:
See on Bernoulli võrrand. Bernoulli võrrand on tuletatud töö-energia printsiibist, seega on see energia jäävuse vorm.
P = rõhk, ρ = tihedus, v = vedeliku kiirus, g = raskuskiirendus, h = toru kõrgus maapinnast.
Bernoulli võrrandi vasak ja parem segment võivad viidata kahele punktile voolutoru suvalisel kohal, nii et saame ülaltoodud võrrandi ümber kirjutada järgmiselt:
Nüüd vaatame Bernoulli võrrandit mõne juhtumi jaoks üle.
Bernoulli võrrand staatilistes vedelikes
Bernoulli võrrandi erijuhtum on staatiline vedelik, millel puudub kiirus. Seega v 1 = v 2 = 0. Staatilise vedeliku puhul saame Bernoulli võrrandi sõnastada järgmiselt:
Kui h² – h¹ = h, siis saab selle võrrandi kirjutada järgmiselt:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Bernoulli võrrand sama kõrgusega torul
Kui toru kõrgus on sama, muutub Bernoulli võrrand järgmiselt:
