Ecuación de continuidad

Material sobre la ecuación de continuidad

Intenta abrir el grifo lentamente mientras observas el flujo de agua que sale. Cuando el grifo deje de girar, bloquéalo parcialmente con la mano. Ahora compara qué flujo de agua es mayor: ¿cuando está parcialmente bloqueado o cuando está abierto? Si tienes una manguera que usas habitualmente para regar flores, deja que el agua corra por ella. Bloquea parcialmente la manguera con la mano o un dedo. Cuanto más bloqueada esté la manguera, más rápido saldrá el agua. Por el contrario, si no la bloqueas, el agua fluirá más despacio. ¿Por qué ocurre esto? Para entenderlo, estudia la ecuación de continuidad.

Líneas de corriente y tubos de flujo

Primero, comprendamos los conceptos de líneas de corriente y tubos de flujo. Este concepto es importante porque te ayudará a comprender la ecuación de continuidad.

Línea aerodinámica

Observa la imagen de abajo; la línea azul es la línea de flujo.

En un flujo estacionario, la velocidad de cada partícula de fluido en un punto, por ejemplo el punto A, permanece constante. Al pasar por el punto B, la velocidad de las partículas de fluido puede cambiar. Sin embargo, al llegar al punto B, las partículas de fluido que las siguen continúan fluyendo a la misma velocidad que las que las precedieron. Lo mismo ocurre al llegar al punto C, y así sucesivamente. La línea de corriente es la curva que conecta los puntos A, B y C.

tubo de flujo

En esencia, podemos trazar cada línea de corriente a través de cada punto del flujo del fluido. Si consideramos un flujo de fluido estacionario, varias líneas de corriente que pasan en un ángulo determinado sobre una superficie imaginaria forman un tubo de flujo. Ninguna partícula de fluido se cruza con otra, sino que siempre son paralelas, y el tubo de flujo se asemeja a una tubería que siempre mantiene la misma forma. El fluido que entra por un extremo del tubo sale por el otro.

Débito

El caudal indica el volumen de un fluido que fluye a través de una determinada sección transversal en un intervalo de tiempo determinado. Matemáticamente, se puede expresar de la siguiente manera:

Para que lo entiendas mejor, veamos un ejemplo. Supongamos que un fluido fluye a través de una tubería. Las tuberías suelen ser cilíndricas y tienen un área de sección transversal específica. La tubería también tiene una longitud.

Cuando el fluido fluye por la tubería hasta una longitud L, el volumen de fluido en la tubería es V = AL (V = volumen de fluido, A = área de la sección transversal y L = longitud de la tubería). Dado que durante el flujo por la tubería a lo largo de L el fluido recorre un cierto intervalo de tiempo, podemos decir que la magnitud del caudal de fluido es:

Dado que v = s/t = L/t —> L = vt, la ecuación anterior se transforma en:

Por lo tanto, cuando un fluido fluye a través de una tubería que tiene una determinada área de sección transversal y longitud durante un cierto intervalo de tiempo, la magnitud del caudal del fluido (Q) es igual al área de la sección transversal (A) multiplicada por la velocidad del flujo del fluido (v).

Ecuación de continuidad

Consideremos el flujo de fluido en una tubería con diferentes diámetros, como se muestra en la siguiente figura.

Esta imagen muestra el flujo de fluido de izquierda a derecha (el fluido fluye desde una tubería de gran diámetro hacia una de menor diámetro). Las líneas punteadas representan las líneas de corriente.

Leyenda de la imagen: A ₁ = área de la sección transversal de la sección de tubería de gran diámetro, A ₂ = área de la sección transversal de la sección de tubería de pequeño diámetro, v ₁ = velocidad del flujo de fluido en la sección de tubería de gran diámetro, v ₂ = velocidad del flujo de fluido en la sección de tubería de pequeño diámetro, L = distancia recorrida por el fluido.

En la introducción a la dinámica de fluidos, se explicó que esta disciplina estudia el flujo de fluidos incompresibles, no viscosos, no turbulentos y estacionarios. En un flujo estacionario, la velocidad de las partículas de fluido en un punto es igual a la velocidad de las demás partículas que pasan por ese punto. Además, las líneas de corriente no se cruzan. Por lo tanto, la masa de fluido que entra por un extremo de la tubería debe ser igual a la masa de fluido que sale por el otro. Si un fluido con una masa determinada entra por una tubería de gran diámetro, saldrá por una tubería de menor diámetro con una masa constante.

Ahora, mira la imagen de la tubería de arriba. Observa la parte de la tubería con el diámetro mayor y la parte de la tubería con el diámetro menor.

Durante un cierto intervalo de tiempo, una cierta cantidad de fluido fluye a través de una sección de tubería con un diámetro grande (A).₁) hasta L₁ (L₁ = v₁ t). El volumen de fluido que fluye es V₁ = A₁ L₁ = A₁ v₁ t. Durante el mismo intervalo de tiempo, otra cantidad de fluido fluye a través de una sección de tubería con un diámetro menor (A).₂) hasta L₂ (L₂ = v₂ t). El volumen de fluido que fluye es V₂ = A₂ L₂ = A₂ v₂ t.

Ecuación de continuidad para fluidos incompresibles (incompresible)

Primero, consideremos el caso de un fluido incompresible. En un fluido incompresible, la densidad, o masa, del fluido es siempre la misma en cada punto por el que pasa. La masa de fluido que fluye por una tubería con un área de sección transversal A1 ₍ el diámetro mayor de la tubería) durante un cierto intervalo de tiempo es:

Asimismo, la masa de fluido que fluye en una tubería con un área de sección transversal de A ₂ (diámetro pequeño de la tubería) durante un cierto intervalo de tiempo es:

Considerando que en flujo estacionario la masa de fluido que entra es la misma que la masa de fluido que sale, entonces:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t (la densidad del fluido y el intervalo de tiempo son iguales, por lo que se cancelan)

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

Por lo tanto, en fluidos incompresibles, se aplica la ecuación de continuidad:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂ — Ecuación 1

Informacion:

A ₁ = área de la sección transversal 1, A ₂ = área de la sección transversal 2, v ₁ = velocidad del flujo de fluido en la sección transversal 1, v ₂ = velocidad del flujo de fluido en la sección transversal 2, A v = caudal volumétrico V/t o descarga

La ecuación 1 muestra que el caudal volumétrico, también conocido como descarga, es siempre el mismo en cada punto de una tubería o conducto. A medida que disminuye la sección transversal de la tubería, aumenta el caudal; por el contrario, a medida que aumenta la sección transversal, disminuye el caudal.

Cuando tapamos parcialmente el grifo, el flujo de agua es más rápido que cuando está parcialmente cerrado. Esto se debe a que la sección transversal del grifo disminuye al cerrarlo parcialmente, lo que aumenta el caudal (el fluido fluye más rápido). Lo mismo ocurre con las mangueras. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el caudal volumétrico se mantiene constante en todos los puntos del flujo de agua, independientemente de si el grifo está parcialmente cerrado o no. Por lo tanto, lo que cambia es el caudal del fluido.

¿Y qué ocurre con el caudal de un río? Las secciones más profundas tienen una sección transversal mayor que las menos profundas, por lo que el caudal es menor. Si el río fluye con mucha calma, significa que es profundo. Pero si de repente la corriente se acelera, esa sección es sin duda poco profunda. Sin embargo, el caudal volumétrico siempre es el mismo, tanto en las secciones profundas como en las tranquilas del río.

Ecuación de continuidad para fluidos compresibles (compresible)

En el caso de fluidos compresibles , la densidad del fluido no siempre es la misma. En otras palabras, la densidad del fluido cambia al comprimirse. Mientras que en los fluidos incompresibles la densidad del fluido se elimina de la ecuación , en este caso, la densidad del fluido aún se incluye. Tomando como referencia la ecuación derivada previamente, derivemos la ecuación para fluidos compresibles.

Considerando que en flujo estacionario la masa de fluido que entra es la misma que la masa de fluido que sale, entonces:

m ₁ = m ₂

ρ A ₁ v ₁ t = ρ A ₂ v ₂ t

El intervalo de tiempo del flujo de fluido es el mismo, por lo que puede eliminarse. La ecuación cambia a:

ρ A ₁ v ₁ = ρ A ₂ v ₂ → Ecuación 2

Esta es la ecuación para un fluido compresible. La única diferencia radica en la densidad del fluido. Cuando un fluido se comprime, su densidad cambia. Por el contrario, cuando un fluido es incompresible, su densidad permanece constante y puede eliminarse.

Ejemplo de pregunta 1:

El agua fluye a través de una tubería con un diámetro de 10 cm a una velocidad de 2 m/s. ¿Cuál es el caudal de agua?

Discusión

Se sabe que:

Diámetro de la tubería = 10 cm (este es el diámetro interior de la tubería)

Radio de la tubería (r) = 5 cm = 0,05 m

v agua = 2 m/s

Preguntado: Débito

Respuesta :

Q = A v

Q = ( π r ² ) (2 m/s)

Q = (3,14)(0,05 m) ^² (2 m/s)

Q = (3,14)(0,0025 m ² )(2 m/s)

Q = 0,0157 m³ ^/ s

Ejemplo de pregunta 2:

Una tubería de agua con un diámetro de 20 cm está conectada a otra tubería con un diámetro de 10 cm. Si el caudal de agua en la tubería de 20 cm de diámetro es de 4 m/s, ¿cuál es el caudal de agua en la tubería de 10 cm de diámetro?

Discusión

Se sabe que:

Diámetro 1 = 20 cm (r ₁ = 10 cm = 0,1 m)

v ₁ = 4 m/s

Diámetro 2 = 10 cm (r ₂ = 5 cm = 0,05 m)

Preguntado: v ₁

Respuesta :

Q ₁ = Q ₂

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

( π r ₁₂ ) (4 m/s) = (π r ₂₂ ) (v ₂ )

(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² (v ² )

(0,01 m ² )(4 m/s) = (0,0025 m ² )(v ² )

(0,04 m ³ /s) = (0,0025 m ² )(v ² )

v ² = 16 m/s