Principio y ecuación de Bernoulli

Material sobre el principio y la ecuación de Bernoulli

KCuando vamos en moto a gran velocidad, la ropa que llevamos se abulta por detrás. Si aún no sabes conducir una moto, fíjate en tus padres o amigos que sí lo hacen. La parte de atrás de su ropa suele abultarse cuando la moto va rápido. A veces, cuando sopla un viento fuerte, la puerta de casa se cierra sola. Aunque el viento sople fuera, la puerta está dentro.

Esto se puede explicar utilizando el principio de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) descubrió un principio que se puede utilizar para explicar algunos de los anteriores.

Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli establece que donde la velocidad del flujo de un fluido es alta, la presión del fluido es baja. Por el contrario, si la velocidad del flujo de un fluido es baja, la presión aumenta. Cuando una motocicleta se mueve a gran velocidad, la velocidad del aire delante y a los lados del cuerpo es alta. Por lo tanto, la presión del aire disminuye. La parte posterior del cuerpo queda bloqueada por la parte delantera, por lo que la velocidad del aire detrás del cuerpo no aumenta. Como resultado, la presión del aire detrás del cuerpo aumenta. Debido a esta diferencia de presión, donde la presión del aire justo detrás del cuerpo es mayor, el aire empuja la camisa hacia atrás, creando un efecto de abultamiento en la parte posterior.

¿Qué ocurre si una puerta se cierra sola cuando sopla un fuerte viento afuera? El aire exterior se mueve más rápido que el interior. Por lo tanto, la presión atmosférica exterior es menor que la interior. Debido a esta diferencia de presión, donde la presión interior es mayor, la puerta se desplaza hacia afuera. En otras palabras, la puerta se mueve de una zona de mayor presión atmosférica a una de menor presión.

ecuación de Bernoulli

Anteriormente, estudiamos el principio de Bernoulli. Bernoulli también desarrolló este principio cuantitativamente. Para derivar la ecuación de Bernoulli, asumimos un flujo de fluido laminar y estacionario, incompresibilidad y baja viscosidad, la cual puede ignorarse.

En la discusión de la ecuación de continuidad, aprendimos que el caudal de un fluido también puede variar según el área de la sección transversal del tubo de flujo. Basándonos en el principio de Bernoulli explicado anteriormente, la presión del fluido también puede variar según el caudal. Asimismo, la presión del fluido puede variar según la altura del flujo. La relación entre la presión, el caudal y la altura del flujo se puede obtener a partir de la ecuación de Bernoulli.

La ecuación de Bernoulli es muy importante porque se puede utilizar para analizar el vuelo de aeronaves, centrales hidroeléctricas, sistemas de tuberías, etc. Para que la ecuación de Bernoulli que derivaremos sea general, supondremos que el fluido fluye a través de un tubo con áreas de sección transversal desiguales y diferentes alturas (véase la figura a continuación). Para derivar la ecuación de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y la energía al fluido en la región del tubo. A continuación, calcularemos la cantidad de fluido y el trabajo realizado para moverlo.

El color opaco en el tubo de flujo de la imagen indica flujo de fluido, mientras que el color blanco indica ausencia de fluido.

El fluido en el área de sección transversal 1 (lado izquierdo) fluye una distancia L₁ y fuerza al fluido en la sección transversal 2 (lado derecho) a moverse una distancia L.₂Debido a que el área de la sección transversal 2 a la derecha es menor, el caudal de fluido en el lado derecho del tubo de flujo es mayor (recuerde la ecuación de continuidad). Esto provoca una diferencia de presión entre la sección transversal 2 (el lado derecho del tubo de flujo) y la sección transversal 1 (el lado izquierdo del tubo de flujo) –recuerde el principio de Bernoulli. El fluido a la izquierda de la sección transversal 1 ejerce una presión P₁ sobre el fluido de la derecha y realiza el trabajo de:

Entonces la ecuación W₁ se puede escribir como:

W₁ = pag₁ A₁ L₁

En la sección transversal 2 (lado derecho del tubo de flujo), el trabajo realizado sobre el fluido es:

W₂ = − p₂ A₂ L₂

El signo negativo indica que la fuerza aplicada es opuesta a la dirección del movimiento. Por lo tanto, el fluido realiza trabajo a la derecha de la sección 2. Además, la fuerza gravitatoria también realiza trabajo sobre el fluido. En el caso anterior, una cierta masa de fluido se desplaza desde la sección 1 una distancia L.₁ para cruzar la sección 2 hasta L₂, donde el volumen de fluido en la sección transversal 1 (A₁ L₁) = volumen de fluido en la sección transversal 2 (A₂ L₂). El trabajo realizado por la gravedad es:

W₃ = − mg (h₂ - h₁)

W₃ = − mgh₂ + mgh₁)

W₃ = mgh₁ - mgh₂

El signo negativo se debe a que el fluido fluye hacia arriba, en dirección opuesta a la gravedad. Por lo tanto, el trabajo total realizado sobre el fluido, como se muestra en la figura anterior, es:

W = W₁ + W₂ + W₃

W = P₁ A₁ L₁ - PAG₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

El teorema del trabajo y la energía establece que el trabajo total realizado sobre un sistema es igual al cambio en su energía cinética. Por lo tanto, podemos sustituir el trabajo (W) por el cambio en la energía cinética (EK).₂ - EK₁).

Podemos reescribir la ecuación anterior como:

W = P₁ A₁ L₁ - PAG₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

EK₂ - EK₁ = P₁ A₁ L₁ - PAG₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

1/2 mv₂² – 1/2 mv₁² = P₁ A₁ L₁ - PAG₂ A₂ L₂ + mgh₁ - mgh₂

Masa de fluido que fluye una distancia L₁ en la sección transversal A₁ = masa de fluido que fluye una distancia L₂ (sección transversal A₂). Una determinada masa de fluido, digamos m, tiene un volumen A.₁L₁ y A₂ L₂ donde A₁ L₁ = A₂ L₂ (L₂ más largo que L₁).

Ahora sustituimos, o reemplazamos m en la ecuación anterior por m = ρ AL:

Esta es la ecuación de Bernoulli. La derivamos a partir del principio de trabajo y energía, por lo que es una forma de la Ley de Conservación de la Energía.

Informacion:

P = Presión

ρ = Densidad del fluido

v = Velocidad del flujo del fluido

g = Aceleración debida a la gravedad

h = Altura del tubo/tubería de flujo desde la superficie del suelo

Los lados izquierdo y derecho de la ecuación de Bernoulli anterior pueden referirse a dos puntos cualesquiera a lo largo del tubo de flujo, por lo que podemos reescribir la ecuación anterior como:

Esta ecuación establece que la suma total de las cantidades que contiene tiene el mismo valor a lo largo de todo el tubo de flujo.

Ahora revisemos la ecuación de Bernoulli para algunos casos.

Ecuación de Bernoulli para fluidos en reposo

Un caso especial de la ecuación de Bernoulli es el de los fluidos en reposo (fluidos estáticos). Cuando un fluido está en reposo, no tiene velocidad. Por lo tanto, v₁ = v₂ = 0. En el caso de un fluido en reposo, podemos formular la ecuación de Bernoulli como:

Si h₂ - h₁ = h, entonces esta ecuación se puede escribir como:

p₁ - pag₂ = ρ g (h₂ - h₁)

p₁ - pag₂ = ρ gh

Ecuación de Bernoulli para tubos o tuberías de flujo de la misma altura

Si la altura del tubo o tubería de flujo es la misma, entonces la ecuación de Bernoulli se modifica a: