Principo de Bernulli kaj Ekvacia Materialo
Kiam ni veturas per motorciklo sufiĉe rapide, la vestaĵoj, kiujn ni portas, ŝveliĝas malantaŭe. Se vi ankoraŭ ne povas veturi per motorciklo, atentu viajn gepatrojn aŭ amikojn, kiuj veturas per motorcikloj. La dorso de iliaj vestaĵoj kutime ŝveliĝas malantaŭe kiam la motorciklo veturas rapide. Iafoje, kiam la vento blovas forte, la pordo de la domo povas fermiĝi mem. Kvankam la vento blovas ekster la domo, dum la pordo estas interne de la domo.
Ĉi tio povas esti klarigita per la principo de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700–1782) malkovris principon, kiu povas esti uzata por klarigi iujn el la supre menciitaj aferoj.
La principo de Bernulli
La principo de Bernulli asertas, ke kie la fluida fluorapideco estas alta, la fluida premo estas malalta. Male, se la fluida fluorapideco estas malalta, la premo fariĝas alta. Kiam motorciklo moviĝas rapide, la aerrapideco antaŭ kaj apud via korpo estas alta. Tiel, la aerpremo fariĝas malalta. La malantaŭo de via korpo estas blokita de la antaŭa parto de via korpo, do la aerrapideco malantaŭ via korpo ne ŝanĝiĝas al alta (ĝuste malantaŭ via korpo). Rezulte, la aerpremo malantaŭ via korpo fariĝas pli granda. Ĉar ekzistas diferenco en aerpremo, kie la aerpremo ĝuste malantaŭ via korpo estas pli granda, la aero puŝas vian ĉemizon malantaŭen, igante ĝin aspekti kvazaŭ ĝi estas ŝvelinta ĉe la malantaŭo.
Kio pri pordo, kiu fermiĝas memstare kiam la vento blovas forte eksteren? La aero ekstere moviĝas pli rapide ol la aero interne. Rezulte, la aerpremo ekstere estas pli malalta ol la aerpremo interne. Pro ĉi tiu premdiferenco, kie la aerpremo interne estas pli alta, la pordo estas puŝita eksteren. Alivorte, la pordo moviĝas de loko kun pli alta aerpremo al loko kun pli malalta aerpremo.
La ekvacio de Bernoulli
Antaŭe, ni lernis pri la principo de Bernoulli. Bernoulli ankaŭ kvante evoluigis ĉi tiun principon. Por derivi la ekvacion de Bernoulli, ni supozas konstantan, lamenan fluidfluon, nekunpremeblecon kaj malaltan viskozecon, kiujn oni povas ignori.
En la diskuto pri la Kontinueca Ekvacio, ni lernis, ke la flukvanto de fluido ankaŭ povas varii depende de la transversa sekca areo de la flutubo. Surbaze de la supre klarigita principo de Bernulli, la fluidpremo ankaŭ povas varii depende de la flukvanto de fluido. La fluidpremo ankaŭ povas varii depende de la alteco de la fluido. La rilato inter premo, flukvanto kaj flualteco povas esti akirita el la ekvacio de Bernulli.
La ekvacio de Bernoulli estas tre grava ĉar ĝi povas esti uzata por analizi aviadilflugojn, akvoenergiajn centralojn, tubarsistemojn, ktp. Por ke la ekvacio de Bernoulli, kiun ni derivos, aplikiĝu ĝenerale, ni supozos, ke la fluido fluas tra fluotubo kun neegalaj transversaj sekcaj areoj kaj ankaŭ malsamaj altoj (vidu la figuron sube). Por derivi la ekvacion de Bernoulli, ni aplikas la teoremon pri laboro kaj energio al la fluido en la regiono de la fluotubo. Poste, ni kalkulos la kvanton da fluido kaj la laboron faritan por movi la fluidon.
La opaka koloro en la fluotubo en la bildo indikas fluidofluon, dum la blanka koloro indikas neniun fluidon.
La fluido en la transversa sekco 1 (maldekstra flanko) fluas distancon L₁ kaj devigas la fluidon en la transversa sekco 2 (dekstra flanko) moviĝi distancon L₂ . Ĉar la transversa sekco 2 dekstre estas pli malgranda, la fluida flukvanto dekstre de la flutubo estas pli granda (Memoru la kontinuecan ekvacion). Tio kaŭzas premdiferencon inter la transversa sekco 2 (dekstra flanko de la flutubo) kaj la transversa sekco 1 (maldekstra flanko de la flutubo) - Memoru la principon de Bernulli. La fluido maldekstre de la transversa sekco 1 penas premon P₁ sur la fluidon dekstre kaj faras laboron de:
Tiam la ekvacio W₁ povas esti skribita kiel:
W 1 = p 1 A 1 L 1
Ĉe la sekco 2 (dekstra flanko de la fluotubo), la laboro farita sur la fluido estas:
W₂ = − p₂ A₂ L₂
La negativa signo indikas, ke la aplikata forto estas kontraŭa al la direkto de moviĝo. Do la fluido ja laboras dekstren de sekcio 2. Krome, la forto de gravito ankaŭ laboras sur la fluido. En la supra kazo, certa maso de fluido estas movita de sekcio 1 ĝis L1 al sekcio 2 ĝis L2, kie la volumeno de fluido ĉe sekcio 1 (A1L1 ) = la volumeno de fluido ĉe sekcio 2 (A2L2 ) . La laboro farita de gravito estas:
W³ = − mg ( h² − h¹ )
W³ = − mgh² + mgh¹ )
W³ = mgh₁ − mgh₂
La negativa signo ŝuldiĝas al la fluido fluanta supren, kontraŭe al la direkto de gravito. Tiel, la tuta laboro farita sur la fluido, kiel montrite en la supra figuro, estas:
W = W₁ + W₂ + W₃
W = P₁ A₁ L₁ ‐ P₂ A₂ L₂ + mgh₁ ‐ mgh₂
La teoremo pri laboro-energio asertas, ke la tuta laboro farita sur sistemo egalas al la ŝanĝo en ĝia kineta energio. Tial, ni povas anstataŭigi Laboron (W) per la ŝanĝo en kineta energio (EK² - EK¹ ).
Ni povas reskribi la supran ekvacion jene:
W = P₁ A₁ L₁ ‐ P₂ A₂ L₂ + mgh₁ ‐ mgh₂
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv²² ‐ 1⁄2 mv² = P₁A₁L₁ ‐ P₂A₂L₂ + mgh₁ ‐ mgh²
Maso de fluido fluanta distancon L₁ ĉe la transversa sekco A₁ = maso de fluido fluanta distancon L₂ ( sekcio A₂ ) . Maso de fluido, ekzemple m, havas volumenon de A₁ L₁ kaj A₂ L₂ kie A₁ L₁ = A₂ L₂ ( L₂ estas pli longa ol L₁ ).
Nun ni anstataŭigas, aŭ ni anstataŭigas m en la supra ekvacio per m = ρ AL:
Jen la ekvacio de Bernoulli. Ni derivis la ekvacion de Bernoulli surbaze de la principo de laboro-energio, do ĝi estas formo de la leĝo de konservo de energio.
Informoj:
P = Premo
ρ = Denseco de fluido
v = Fluida fluorapideco
g = Akcelo pro gravito
h = Alto de la fluotubo/tubo de la grundsurfaco
La maldekstra kaj dekstra flankoj de la Bernoulli-ekvacio supre povas rilati al iuj ajn du punktoj laŭlonge de la fluotubo, do ni povas reskribi la ekvacion supre kiel:
Ĉi tiu ekvacio deklaras, ke la tuta sumo de la kvantoj en la ekvacio havas la saman valoron tra la tuta fluotubo.
Nun ni reviziu la ekvacion de Bernoulli por kelkaj kazoj.
La ekvacio de Bernoulli por fluidoj en ripozo
Speciala kazo de la ekvacio de Bernoulli estas por fluidoj en ripozo (statikaj fluidoj). Kiam fluido estas en ripozo, ĝi ne havas rapidon. Tial, v1 = v2 = 0. En la kazo de fluido en ripozo, la ekvacio de Bernoulli povas esti formulita kiel:
Se h² ‐ h¹ = h, tiam ĉi tiu ekvacio povas esti skribita jene:
p₁ − p₂ = ρg ( h₂ − h₁ )
p 1 − p 2 = ρ gh
La ekvacio de Bernoulli por fluotuboj aŭ tuboj de la sama alteco
Se la alto de la fluotubo aŭ tubo estas la sama, tiam la Bernoulli-ekvacio ŝanĝiĝas al:
