Materialo por Kontinueca Ekvacio
Provu malfermi la akvokranon malrapide dum vi observas la fluon de akvo eliranta el la krano. Kiam la krano ĉesas turniĝi, parte bloku la kranon per via mano. Nun komparu, kiu akvofluo estas pli granda. Kiam parte blokita aŭ malblokita? Se vi havas hoson, kiu kutime estas uzata por akvumado de floroj, lasu la akvon flui tra ĝi. Parte bloku la hoson per via mano aŭ fingro. Ju pli da parto de la hoso estas blokita, des pli rapide la akvo elfluos. Male, se la hoso ne estas blokita, la akvo fluos malpli rapide. Kial tio estas tiel? Por kompreni tion, bonvolu studi la kontinuecan ekvacion.
Flulinioj kaj Fluotuboj
Unue, ni komprenu la konceptojn de flulinioj kaj flutuboj. Ĉi tiu koncepto gravas ĉar ĝi helpos vin kompreni la kontinuecan ekvacion.
Flulinio
Rigardu la suban bildon, la blua linio estas la Flulinio.
En konstanta fluo, la rapido de ĉiu fluida partiklo ĉe punkto, ekzemple punkto A, restas konstanta. Kiam ĝi pasas punkton B, la rapido de la fluidaj partikloj povas ŝanĝiĝi. Tamen, ĉe alveno ĉe punkto B, la fluidaj partikloj sekvantaj ilin daŭre fluas kun la sama rapido kiel la fluidaj partikloj antaŭ ili. La samo validas kiam oni alvenas ĉe punkto C, kaj tiel plu. La fluo de fluo estas la kurbo konektanta punktojn A, B kaj C.
Flua tubo
Esence, ni povas desegni ĉiun flulinion tra ĉiu punkto en la fluida fluo. Se ni konsideras konstantan fluidan fluon, kelkaj flulinioj pasantaj tra certa angulo sur imaga surfacareo (imaga surfacareo) formas flutubon. Neniuj fluidpartikloj intersekcas unu la alian, sed ĉiam estas paralelaj, kaj la flutubo similos al tubo, kiu ĉiam havas la saman formon. Fluido eniranta ĉe unu fino de la tubo eliros el la tubo ĉe la alia fino.
Debeto
Fluo indikas la volumenon de fluido fluanta tra certa sekco en certa tempointervalo. Matematike, ĝi povas esti esprimita jene:
Por plibonigi vian komprenon, ni uzu ekzemplon. Supozu, ke fluido fluas tra tubo. Tuboj estas kutime cilindraj kaj havas specifan transversan areon. La tubo ankaŭ havas longon.
Kiam la fluido fluas en la tubo ĝis L, tiam la volumeno de fluido en la tubo estas V = AL (V = fluidvolumeno, A = transversa sekca areo kaj L = tublongo). Ĉar dum la fluo en la tubo laŭ L la fluido vojaĝas certan tempintervalon, tiam ni povas diri, ke la grandeco de la fluida elfluo estas:
Ĉar v = s/t = L/t —> L = vt, la supra ekvacio ŝanĝiĝas al:
Tiel, kiam fluido fluas tra tubo, kiu havas certan transversan areon kaj longon dum certa tempointervalo, la grando de la fluida elfluo (Q) egalas al la transversa surfacareo (A) multiplikita per la fluida fluorapideco (v).
Kontinueca Ekvacio
Konsideru la fluidfluon en tubo kun malsamaj diametroj, kiel montrite en la suba figuro.
Ĉi tiu bildo montras fluidfluon de maldekstre dekstren (fluidaĵo fluas de tubo kun granda diametro al tubo kun malgranda diametro). La punktitaj linioj estas flulinioj.
Bildoteksto: A 1 = transversa sekca areo de la granddiametra tubsekcio, A 2 = transversa sekca areo de la malgranddiametra tubsekcio, v 1 = fluida fluorapideco en la granddiametra tubsekcio, v 2 = fluida fluorapideco en la malgranddiametra tubsekcio, L = distanco trairita de la fluido.
En la enkonduko al fluiddinamiko, oni klarigis, ke en fluiddinamiko, ni diskutas la fluon de fluidoj, kiuj estas nekunpremeblaj, neviskozaj, neturbulaj kaj konstantaj. En konstanta fluo, la rapido de fluidpartikloj ĉe punkto estas la sama kiel la rapido de aliaj fluidpartikloj trapasantaj tiun punkton. La fluidfluoj ankaŭ ne intersekcas unu la alian (la flulinioj estas paralelaj). Tial, la maso de fluido eniranta unu finon de la tubo devas esti egala al la maso de fluido eliranta tra la alia fino. Se fluido kun certa maso eniras tubon kun granda diametro, tiam la fluido eliros el la tubo kun malgranda diametro kun konstanta maso.
Nun rigardu la bildon de la tubo supre. Rigardu la parton de la tubo kun la granda diametro kaj la parton de la tubo kun la malgranda diametro.
Dum certa tempointervalo, certa kvanto da fluido fluas tra sekcio de tubo kun granda diametro (A).1) ĝis L1 (L1 = v1 t). La volumeno de fluanta fluido estas V1 = A1 L1 = A1 v1 t. Dum la sama tempointervalo, alia kvanto da fluido fluas tra sekcio de tubo kun pli malgranda diametro (A).2) ĝis L2 (L2 = v2 t). La volumeno de fluanta fluido estas V2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Kontinueca Ekvacio por Nekunpremeblaj Fluidoj (nekunpremebla)
Unue, ni konsideru la kazon de nekunpremebla fluido. En nekunpremebla fluido, la denseco, aŭ maso, de la fluido ĉiam estas la sama ĉe ĉiu punkto, tra kiu ĝi pasas. La maso de fluido fluanta en tubo kun transversa sekca areo A1 ( la granda diametro de la tubo) dum certa tempointervalo estas:
Simile, la maso de fluido fluanta en tubo kun transversa sekca areo de A² ( malgranda tubdiametro) dum certa tempointervalo estas:
Konsiderante ke en konstanta fluo, la maso de eniranta fluido estas la sama kiel la maso de eliranta fluido, tiam:
m₁ = m₂
ρ A₁ v ₁ t = ρ A₂ v ₂ t (la fluida denseco kaj la tempintervalo estas samaj, do ili nuliĝas unu kontraŭ la alia)
A 1 kontraŭ 1 = A 2 kontraŭ 2
Do, en nekunpremeblaj fluidoj, la kontinuecekvacio validas:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Ekvacio 1
Informoj:
A 1 = transversa sekca areo 1, A 2 = transversa sekca areo 2, v 1 = fluida fluorapideco ĉe transversa sekco 1, v 2 = fluida fluorapideco ĉe transversa sekco 2, A v = volumena flukvanto V/t ankaŭ konata kiel elfluo
Ekvacio 1 montras, ke la volumena flukvanto, ankaŭ konata kiel elfluo, ĉiam estas la sama ĉe ĉiu punkto laŭlonge de tubo aŭ fluotubo. Kiam la sekco de la tubo malpliiĝas, la fluida flukvanto pliiĝas; inverse, kiam la sekco de la tubo pliiĝas, la fluida flukvanto malpliiĝas.
Kiam ni parte ŝtopas la kranon, la akvofluo fariĝas pli rapida ol kiam la krano estas parte fermita. Ĉi tio estas ĉar la transversa areo de la krano malpliiĝas kiam la krano estas parte fermita, pliigante la akvofluon (la fluido fluas pli rapide). La samo validas por hosoj. Tamen, gravas noti, ke la elflukvanto aŭ volumena flukvanto restas la sama ĉe ĉiuj punktoj laŭlonge de la akvofluo, ĉu la krano estas parte fermita aŭ ne. Do, kio ŝanĝiĝas estas la fluidflukvanto.
Do kio pri la fluo de akvo en rivero? Pli profundaj sekcioj de rivero havas pli grandan transversan sekcon ol pli malprofundaj sekcioj, do la rapideco de akvofluo en pli profundaj sekcioj estas pli malalta ol en pli malprofundaj sekcioj. Se vi vidas tre trankvilan riverfluon, tio signifas, ke la rivero estas profunda. Sed se la rivero subite fariĝas rapide fluanta, tiu sekcio estas sendube malprofunda. Tamen, la rapideco de akvofluo estas ĉiam la sama, ĉu en profundaj aŭ trankvilaj sekcioj de la rivero.
Kontinueca Ekvacio por Kunpremeblaj Fluidoj (kunpremebla)
Ĉe kunpremeblaj fluidoj , la denseco de la fluido ne ĉiam estas la sama. Alivorte, la denseco de la fluido ŝanĝiĝas kiam kunpremita. Dum ĉe nekunpremeblaj fluidoj , la denseco de la fluido estas forigita el la ekvacio, en ĉi tiu kazo, la denseco de la fluido ankoraŭ estas inkluzivita. Referencante al la antaŭe derivita ekvacio, ni derivu la ekvacion por kunpremeblaj fluidoj.
Konsiderante ke en konstanta fluo, la maso de eniranta fluido estas la sama kiel la maso de eliranta fluido, tiam:
m₁ = m₂
ρ A₁ v ₁ t = ρ A₂ v ₂ t
La tempintervalo de fluidfluo estas la sama, do ĝi povas esti eliminita. La ekvacio ŝanĝiĝas al:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Ekvacio 2
Jen la ekvacio por kunpremebla fluido. La sola diferenco kuŝas en la denseco de la fluido. Kiam fluido estas kunpremita, ĝia denseco ŝanĝiĝas. Male, kiam fluido estas nekunpremebla, ĝia denseco restas konstanta kaj povas esti nuligita.
Ekzempla demando 1:
Akvo fluas tra tubo kun diametro de 10 cm kun rapideco de 2 m/s. Kio estas la akvoelfluo?
Diskuto
Estas konate, ke:
Tubdiametro = 10 cm (ĉi tio estas la interna diametro de la tubo)
Radiuso de tubo (r) = 5 cm = 0,05 m
v akvo = 2 m/s
Demandita: Debeto
Respondo:
Q = A v
Q = (π r² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Ekzempla demando 2:
Akvotubo kun diametro de 20 cm estas konektita al alia tubo kun diametro de 10 cm. Se la akvofluo en la tubo kun diametro de 20 cm estas 4 m/s, kio estas la akvofluo en la tubo kun diametro de 10 cm?
Diskuto
Estas konate, ke:
Diametro 1 = 20 cm (r1 = 10 cm = 0,1 m)
v² = 4 m/s
Diametro 2 = 10 cm (r2 = 5 cm = 0,05 m)
Demandita: v 1
Respondo:
Q1 = Q2
A 1 kontraŭ 1 = A 2 kontraŭ 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/s
