Angula movokvanto

Angula movokvanto

La kvanto de la rotacia movo, kiu estas identa al la maso (m) en la lineara movo, estas la momento de inercio (I). La kvanto de la rotacia movo, kiu estas identa al la rapido (v) en la lineara movo, estas la angula rapido (ω). Tiel, la rotacianta objekto havas angulan movokvanton, kiu povas esti kalkulita per la ekvacio:

L = Iω

L = angula movokvanto (kg m² ^/ s), I = momento de inercio (kg m² ⁾ , ω = angula rapido (rad/s)

Specimenaj problemoj de la angula movokvanto

Ekzempla problemo 1.

Partiklo kun maso de 0.5 gramoj moviĝas en cirklo kun konstanta angula rapido de 2 rad/s. Difinu la angulan movokvanton de la partiklo se la radiuso de la vojo de la partiklo estas 10 cm.

solvo:

La momento de inercio de la partiklo:

Mi = ^m² = (0.5 x 10⁻³ ^{kg )} (1 x ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 x ^10⁻³ kg)(1 x ^10⁻² m² ) = 0.5 x ^10⁻⁵ kg ^​​m²

La angula rapido de la partiklo:

ω = 2 rad/s

La angula movokvanto de la partiklo:

L = (0.5 × 10⁻⁵ ^kg m² ⁾ (2 rad/s) = 1 × ^10⁻⁵ kg m² ^/ s

La leĝo de konservo de angula movokvanto

La leĝo de konservo de angula movokvanto deklaras, ke se la rezulta momento de forto sur rigida korpo dum rotacio estas nulo, tiam la angula movokvanto de la rigida korpo dum rotacio estas ĉiam konstanta. La leĝo de konservo de angula movokvanto povas esti derivita matematike modifante la ekvacion de la dua leĝo de Neŭtono pri angula movokvanto. Jen la ekvacio de la dua leĝo de Neŭtono pri la angula movokvanto:

Se la rezulta momento de forto estas nulo, tiam la supra ekvacio ŝanĝiĝas al:

I _t = la fina momento de inercio, I _o = la komenca momento de inercio, ω _t = la fina angula rapido, ω _o = la komenca angula rapido, L _t = la fina angula movokvanto, L _o = la komenca angula movokvanto.

Specimenaj problemoj de la leĝo de konservo de angula movokvanto

Ekzempla problemo 1.

Homogena solida cilindra disko komence rotacias sur sia akso kun rapido de 4 rad/s. La maso kaj radiuso de la disko estas 1 kg kaj 0.5 m. Se super la plato estas metita ringo, kiu havas mason kaj radiuson de 0.2 kg kaj 0.1 m, kaj la centro de la ringo,

ĝuste super la centro de la disko, tiam la disko kaj ringo rotacios kune kun la angula rapido de...

solvo:

Momento de inercio de solida cilindro: I = 1⁄2 mr² ⁼ 1⁄2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Momento de inercio de ringo: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Komenca angula movokvanto (L₁ ₎ = Fina angula movokvanto ( _L₂ )

Mi ₁ ω ₁ = Mi ₂ ω ₂

(0.125 kg m² ⁾ (4 rad/s) = (0.125 kg m² ⁺ 0.002 kg m² ⁾ ( _ω² )

(0.5) = (0.127)( _ω² )

ω² = _0.5 : 0.127

ω² = ₄ rad/s

Koncipaj demandoj kaj respondoj

1. Kio estas angula movokvanto?
   respondu: Angula movokvanto estas mezuro de la kvanto de rotacio, kiun objekto havas, konsiderante ĝian mason kaj formon. Ĝi estas la rotacia analogo de lineara movokvanto.
2. Kiel oni matematike determinas angulan movokvanton?
   respondu: Angula movokvanto (L) estas difinita kiel $L=r\times p$, kie $r$ estas la pozicia vektoro de la rotacia akso ĝis la aplika punkto, kaj $p$ estas la lineara movokvanto.
3. Ĉu angula movokvanto estas skalara aŭ vektora kvanto?
   respondu: Angula movokvanto estas vektora kvanto.
4. Kio estas la unuo de angula movokvanto en la SI-sistemo?
   respondu: La unuo de angula movokvanto en la SI-sistemo estas kilogramo-kvadrata metro por sekundo (kg·m²/s).
5. Kiel konserviĝas angula movokvanto?
   respondu: En fermita sistemo sen eksteraj tordmomentoj, la totala angula movokvanto restas konstanta.
6. Kio estas la principo de konservo de angula movokvanto?
   respondu: La principo deklaras, ke la totala angula movokvanto de fermita sistemo restas konstanta krom se sur ĝi efikas ekstera tordmomanto.
7. Kiel la rotacio de artsketisto rilatas al angula movokvanto?
   respondu: Kiam artsketisto tiras siajn brakojn kaj krurojn proksimen al sia korpo dum turniĝo, ili malpliigas sian momenton de inercio, igante ilin turniĝi pli rapide. Tio montras la konservadon de angula movokvanto.
8. Kio estas la rilato inter tordmomanto kaj angula movokvanto?
   respondu: Tordmomanto ($\tau$) estas la ŝanĝorapideco de angula movokvanto. Matematike, τ=dL/sek​.
9. Ĉu eblas, ke objekto havu angulan movokvanton sen angula rapido?
   respondu: Ne, se objekto havas angulan movokvanton, ĝi havas angulan rapidon. La grando kaj direkto de angula movokvanto dependas kaj de la momento de inercio kaj de la angula rapido.
10. Kiel la momento de inercio influas angulan movokvanton?
    respondu: Angula movokvanto (L) estas la produto de la momento de inercio (I) kaj angula rapido (ω). $L=I\omega$, pliiĝo de la momento de inercio por donita angula rapido pliigos angulan movokvanton.
11. Kio estas la diferenco inter spino kaj orbita angula movokvanto en kvantuma mekaniko?
    respondu: Spina angula movokvanto estas intrinseka eco de partikloj, kiel elektronoj, kaj ne devenas de moviĝo en la spaco. Orbita angula movokvanto, aliflanke, devenas de la moviĝo de partiklo ĉirkaŭ centra punkto.
12. Kian rolon ludas angula movokvanto en la formado de planedsistemoj?
    respondu: Dum molekula nubo kolapsas por formi stelojn kaj planedojn, la konservo de angula movokvanto igas la materialon platiĝi en diskon ĉirkaŭ la novnaskita stelo, el kiu planedoj povas formiĝi.
13. Kiel giroskopo konservas sian orientiĝon en la spaco?
    respondu: Turniĝanta giroskopo havas angulan movokvanton. Kiam ekstera tordmomanto provas ŝanĝi ĝian orientiĝon, la giroskopo precesas, aŭ ŝanĝas sian rotacian akson, en direkto perpendikulara al la aplikata tordmomanto pro la konservo de angula movokvanto.
14. Kio kaŭzas precesion en turniĝanta pintpinto?
    respondu: Precesio en turniĝanta pintpeco estas kaŭzita de la tordmomanto pro gravito aganta sur la mascentron de la pintpeco, kiu estas delokigita de ĝia pivotpunkto. Ĉi tiu tordmomanto rezultigas ŝanĝon en la direkto de la angula movokvanto de la pintpeco, kaŭzante ĝian precesion.
15. Kial steloj platiĝas ĉe siaj polusoj?
    respondu: Dum steloj rotacias, ili spertas centrifugan forton, kiu puŝas materion eksteren. Ĉi tiu efiko estas pli forta ĉe la ekvatoro ol ĉe la polusoj, kondukante al obla, aŭ platigita, formo.
16. Kiel angula movokvanto rilatas al la dua leĝo de Kepler?
    respondu: La dua leĝo de Kepler deklaras, ke liniaj segmentoj, kiuj ligas planedon kaj la Sunon, balaas egalajn areojn dum egalaj tempointervaloj. Tio estas konsekvenco de la konservo de angula movokvanto.
17. Kial kato ĉiam surteriĝas sur siajn piedojn kiam ĝi falas?
    respondu: Katoj uzas la principon de konservado de angula movokvanto. Tordante siajn korpojn kaj ŝanĝante siajn inerciomomentojn mezaere, ili povas reorientiĝi por alteriĝi sur siajn piedojn sen malobservi la konservadajn leĝojn.
18. Kiel rilatas la magneta momento al angula movokvanto en elektronoj?
    respondu: La magneta momento de elektrono devenas de ĝia spino kaj orbita angula movokvanto. La magneta momento estas proporcia al la angula movokvanto de la elektrono.
19. Kio estas angula movokvanto laŭ polusaj koordinatoj?
    respondu: En polusaj koordinatoj, angula movokvanto $L$ por punkta maso povas esti esprimita kiel $L=mrv$, kie $m$ estas la maso, $r$ estas la radiala distanco, kaj $v$ estas la tangenta rapido.
20. Kio okazas al la angula movokvanto de fermita sistemo kiam du objektoj kolizias?
    respondu: En fermita sistemo kie du objektoj kolizias, la totala angula movokvanto antaŭ la kolizio egalas al la totala angula movokvanto post la kolizio, supozante ke neniuj eksteraj tordmomentoj agas sur la sistemon.

Problemoj kaj Solvoj

1. Problemo: Punkta maso m = 2 kg moviĝas kun rapido v = 3 m/s en cirklo kun radiuso r = 4 m. Kalkulu ĝian angulan movokvanton ĉirkaŭ la centro de la cirklo.

Solvo: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg· ^m² /s

2. Problemo: Solida sfero kun maso de 3 kg kaj radiuso de 0.5 m rotacias ĉirkaŭ sia diametro kun angula rapido ω = 2 rad/s. Kio estas ĝia angula movokvanto?

Solvo: ^Por solida sfero, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Problemo: Punkta maso de 3 kg moviĝas kun rapido de 4 m/s en rekta linio. Kio estas ĝia angula movokvanto ĉirkaŭ punkto 5 m for de ĝia moviĝlinio?

solvo:

$L=m\times v\times r$

L=3×4×5=60 kg.m² ^/ s

4. Problemo: Disko kun maso de 5 kg kaj radiuso de 3 m rotacias kun angula rapido de 2 rad/s. Kalkulu ĝian angulan movokvanton.

Solvo: ^Por disko, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Problemo: Bastono longa 4 m kaj maso 2 kg rotacias ĉirkaŭ unu fino kun angula rapido de 3 rad/s. Trovu ĝian angulan movokvanton.

Solvo: ^Por stango ĉirkaŭ unu fino, I = 1/3 ​m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problemo: Kio estas la ŝanĝo en angula movokvanto se rotacianta korpo duobligas sian angulan rapidon?

Solvo: La rilato inter angula movokvanto (L) kaj angula rapido (ω) estas $L=I\times \omega$ . Se ω estas duobligita, la angula movokvanto ankaŭ duobliĝos.

7. Problemo: Se la radiuso de cirkla vojo de moviĝanta partiklo duobliĝas dum la rapido restas konstanta, per kiu faktoro ŝanĝiĝas la angula movokvanto?

Solvo: Angula movokvanto, $L=m\times r\times v$ . Se r duobliĝas, L ankaŭ duobliĝos.

8. Problemo: Infano kun maso de 30 kg staras ĉe la rando de karuselo, kiu estas en ripozo. La radiuso de la karuselo estas 2 m. Se la infano komencas kuri kun rapido de 2 m/s rilate al la tero laŭlonge de la rando, trovu la angulan movokvanton de la infano rilate al la centro.

Solvo: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg· ^m² /s

9. Problemo: Cilindro kun maso 6 kg kaj radiuso 2 m rotacias ĉirkaŭ sia centra akso kun angula rapido de 5 rad/s. Kalkulu ĝian angulan movokvanton.

Solvo: ^Por cilindro, I = 1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2² ^× 5⁻⁴=120 kg· ^m² /s

10. Problemo: Kio estos la nova angula movokvanto de korpo se ĝia inerciomomento estas duonigita kaj ĝia angula rapido estas triobligita?

Solvo: Konsiderante $L=I\times \omega$ , se $I$ estas duonigita kaj $\omega$ estas triobligita, la nova $L$ estos 1/2 × 3 = 1.5 × la originala.

11. Problemo: Ringo kun maso de 2 kg kaj radiuso de 1 m rotacias kun angula rapido de 4 rad/s. Kalkulu ĝian angulan movokvanton.

Solvo: ^Por ringo, $I=mr²$

$L=I\times \omega$

L=2×1² ^× 4=8 kg ^·m² /s

12. Problemo: Ventililo havas klingojn longajn 0.5 m kaj mason de 1 kg. Se ĝi rotacias kun angula rapido de 10 rad/s, determinu ĝian angulan movokvanton.

Solvo: Supozante, ^ke la ventumilklingoj estas kiel stangoj rotaciantaj ĉirkaŭ unu fino, I = 1/3 ​m l²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5² ^× 10⁻⁴=0.833 kg· ^m² /s

13. Problemo: Kalkulu la angulan movokvanton de la tero ĉirkaŭ sia propra akso pro ĝia rotacio. Donita: Maso de la tero = 5.972 × ^10²⁴ kg , Radiuso de $r=6371\text{km}$ , ω = 7.27 × 1 ^/0⁻⁵ rad /s.

Solvo: Supozante ^la teron kiel solidan sferon, I = 2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problemo: Infano moviĝas al la centro de rotacianta platformo. Ĉu la angula movokvanto pliiĝas, malpliiĝas aŭ restas la sama?

Solvo: Angula movokvanto konserviĝas. Dum la infano moviĝas al la centro, la momento de inercio malpliiĝas. Por konservi angulan movokvanton, la angula rapido pliiĝas. Tiel, la angula movokvanto restas la sama.

15. Problemo: Se la kineta energio de rotacianta korpo duobliĝas, per kiu faktoro ŝanĝiĝas ĝia angula movokvanto?

Solvo: Kineta energio K = 1/2 ​I ω² kaj angula movokvanto $L=I\omega$ . Se kineta energio estas duobligita kaj I $restas$ konstanta, ω² estas ^duobligita . Tio implicas, ke ^ω$estas$ pliigita je faktoro de √² ​. Tiel$,\; L$ ankaŭ pliiĝas je faktoro de √² ​.

16. Problemo: Bicikla rado kun radiuso de 0.3 m havas randon kun maso de 1.5 kg. Se ĝi rotacias kun angula rapido de 5 rad/s, trovu ĝian angulan movokvanton.

Solvo: Supozante ^la randon kiel ringon, $I=mr²$

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0 , 3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s

17. Problemo: Glaciglitkurantino tiras siajn brakojn internen dum turniĝo. Kio okazas al ŝia angula movokvanto?

Solvo: La angula movokvanto de la glitkuranto estas konservita. Per entirado de siaj brakoj, ŝi malpliigas sian momenton de inercio, kaj tiel ŝi turniĝas pli rapide (pliiĝas angula rapido) por konservi sian angulan movokvanto.

18. Problemo: Inercirado havas inerciomomenton de 0.2 kg.m² ^{kg.m² kaj} rotacias kun angula rapido de 10 rad/s. Trovu ĝian angulan movokvanton$\text{.}$

solvo:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg· ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg.m² ^/ s​

19. Problemo: Sistemo havas netan eksteran tordmomanton de nulo agantan sur ĝin. Kion vi povas diri pri ĝia angula movokvanto?

Solvo: Se la neta ekstera tordmomanto estas nulo, tiam laŭ la konservo de angula movokvanto, la tuta angula movokvanto de la sistemo restas konstanta.

20. Problemo: Punkta maso m = 5 kg moviĝas kun rapido v = 3 m/s perpendikulare al la linio, kiu ligas ĝin al punkto P. Se la distanco de la punkto P estas 4 m, trovu ĝian angulan movokvanton ĉirkaŭ punkto P.

solvo:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s