Ekzemplo de diskuta demando pri normala distribuo
La normala distribuo, ankaŭ konata kiel la Gaŭsa distribuo, estas la plej ofte uzata probabla distribuo en statistiko. Ĉi tiu distribuo havas simetrian sonorilformon, indikante ke la datumoj estas aranĝitaj ĉirkaŭ la meznombro kaj la probablo de ekstremoj (valoroj malproksimaj de la meznombro) estas malalta.
En ĉi tiu artikolo, ni diskutos diversajn ekzemplajn problemojn implikantajn la normalan distribuon kaj kiel solvi ilin. Ni komencos per enkonduko de kelkaj bazaj konceptoj kaj poste transiros al pli kompleksaj ekzemploj.
Bazaĵoj de Normala Distribuo
La normala distribuo estas kontinua distribuo kun du parametroj: la meznombro kaj la norma devio (SD). La meznombro difinas la centron de la distribuo, dum la norma devio difinas la larĝon de la distribuo.
Gravaj karakterizaĵoj de la normala distribuo:
1. Simetrio: La normala distribuo estas simetria ĉirkaŭ la meznombro.
2. Empiria Regulo (Empiria Regulo):
– Ĉirkaŭ 68% de la datumoj kuŝas ene de unu norma devio de la meznombro.
– Ĉirkaŭ 95% de la datumoj kuŝas ene de du normaj devioj de la meznombro.
– Ĉirkaŭ 99.7% de la datumoj kuŝas ene de tri normaj devioj de la meznombro.
Specimenaj Demandoj kaj Diskuto
Ekzempla Demando 1: Kalkulado de la Z-Poentaro
Demando: Ekzameno havas averaĝan poentaron de 70 kun norma devio de 10. Studento ricevas poentaron de 80. Kio estas la Z-poentaro de la studento?
Solvo:
La Z-poentaro estas mezuro de kiom da normaj devioj valoro estas de la meznombro.
Z-poentara formulo:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Kie:
– \(X \) estas la observita valoro.
– \( \mu \) estas la averaĝo.
– σ estas la norma devio.
Estas konate:
– \(X = 80 \)
– (μ = 70)
– (sigma = 10)
Apliko de la formulo:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Do, la Z-poentaro de la studento estas 1, kio signifas, ke poentaro de 80 estas unu norma devio super la meznombro.
Ekzempla Demando 2: Probablo de Certa Valoro
Demando: En normala distribuo kun meznombro de 100 kaj norma devio de 15, kio estas la probableco trovi valoron sub 85?
Solvo:
La paŝoj:
1. Kalkulu la Z-poentaron por la valoro \(X = 85 \):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Uzu Z-tabelon aŭ statistikan kalkulilon por trovi la probablecon korespondantan al Z-poentaro de -1. En Z-tabelo, la probableco de Z-poentaro de -1 estas proksimume 0.1587.
Do, la probableco trovi valoron sub 85 estas 0.1587 aŭ 15.87%.
Ekzempla Demando 3: Uzante Empiriajn Regulojn
Demando: Oni scias, ke la distribuo de matematikaj testrezultoj en lernejoj sekvas normalan distribuon kun meznombro de 75 kaj norma devio de 8. Kiu proporcio de studentoj atingis poentojn inter 67 kaj 83?
Solvo:
Langkah-langkah:
1. Kalkulu la Z-poentaron por la valoroj 67 kaj 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Laŭ empiriaj reguloj, valoroj inter -1 norma devio kaj +1 norma devio de la meznombro kovras ĉirkaŭ 68% de la loĝantaro.
Do, la proporcio de studentoj, kiuj atingis poentojn inter 67 kaj 83, estis ĉirkaŭ 68%.
Ekzempla Demando 4: Kalkulado de Valoroj el Percentiloj
Demando: Se la averaĝa alteco de plenkreskaj viroj en iu lando estas 175 cm kun norma devio de 7 cm, kiu alteco estas ĉe la 90-a percentilo?
Solvo:
Langkah-langkah:
1. Trovu la Z-poentaron korespondantan al la 90-a percentilo. Surbaze de la Z-tabelo, la Z-poentaro plej proksima al 0.9000 estas proksimume 1.28.
2. Uzu la formulon por kalkuli la valoron de \( X \):
\[ X = μ + Z × σ \]
\[ X = 175 + 1.28 \oble 7 \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Do, la alteco en la 90-a percentilo estas ĉirkaŭ 183.96 cm.
Ekzempla Demando 5: Probablo de Certa Intervalo
Demando: Konsiderante ke la distribuo de pezoj de novnaskitoj sekvas normalan distribuon kun meznombro de 3.5 kg kaj norma devio de 0.5 kg, kio estas la probablo ke bebo pezas inter 3 kg kaj 4 kg?
Solvo:
Langkah-langkah:
1. Kalkulu la Z-poentaron por la valoroj 3 kg kaj 4 kg:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. La probableco por Z-poentaro inter -1 kaj 1 laŭ la Z-tabelo estas proksimume 0.6826 aŭ 68.26%.
Do, la probableco ke bebo pezas inter 3 kg kaj 4 kg estas ĉirkaŭ 68.26%.
Konkludo
La normala distribuo estas fundamenta koncepto en statistiko, kiu estas esenca kaj havas multajn realmondajn aplikojn. En ĉi tiu artikolo, ni klarigis la bazajn konceptojn de la normala distribuo kaj solvis plurajn ekzemplojn por profundigi nian komprenon.
Kompreni la normalan distribuon estas grava ne nur por statistiko sed ankaŭ por diversaj praktikaj kampoj kiel psikologio, ekonomiko kaj aliaj sociaj sciencoj. Kun sufiĉa praktiko, solvi problemojn pri normala distribuo povas fariĝi pli intuicia kaj helpi en daten-bazita decidiĝo.
