Εργασία που γίνεται με τη βία
1.1 Ορισμός της Εργασίας
Αν σπρώξετε ένα βιβλίο στην επιφάνεια ενός τραπεζιού μέχρι να μετατοπιστεί, λέμε ότι έχετε κάνει έργο στο βιβλίο. Αν ένα αντικείμενο πέσει στο έδαφος λόγω της έλξης της βαρυτικής δύναμης, λέμε ότι η βαρυτική δύναμη έχει κάνει έργο στο αντικείμενο. Αντίθετα, αν σπρώξετε ένα αντικείμενο με όλη σας τη δύναμη μέχρι το σημείο που ιδρώνετε πολύ, αλλά το αντικείμενο δεν κινείται καθόλου, λέμε ότι δεν έχετε κάνει κανένα έργο στο αντικείμενο. Στην καθημερινή ζωή, οι άνθρωποι μπορεί να λένε ότι έχετε κάνει σκληρή δουλειά σπρώχνοντας το αντικείμενο, αλλά στη Φυσική, δεν κάνετε έργο στο αντικείμενο επειδή δεν έχει υπάρξει μετατόπιση του αντικειμένου.
Το έργο σε ένα αντικείμενο μπορεί να γίνει με μια σταθερή δύναμη (η ποσότητα και η κατεύθυνση της οποίας είναι σταθερές) ή με μεταβλητή δύναμη (η ποσότητα και η κατεύθυνση της οποίας ποικίλλει). Μια περίπτωση δύναμης με σταθερή ποσότητα και κατεύθυνση είναι μια βαρυτική δύναμη, η οποία ασκείται σε ένα αντικείμενο όταν το αντικείμενο βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια του εδάφους. Όταν ένα αντικείμενο βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση κοντά στην επιφάνεια του εδάφους, η ποσότητα και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης ελεύθερης πτώσης του αντικειμένου είναι σταθερές επειδή η ποσότητα και η κατεύθυνση της βαρυτικής δύναμης που επιταχύνει το αντικείμενο είναι σταθερές. Μια περίπτωση δύναμης με ασταθή ποσότητα (αλλά με σταθερή κατεύθυνση) είναι η δύναμη ελατηρίου . Ένα άλλο παράδειγμα είναι ένας πύραυλος που εκτοξεύεται στο διάστημα ή επιστρέφει στην επιφάνεια της γης. Όταν εκτοξεύεται ένας πύραυλος, η ποσότητα της βαρυτικής δύναμης που ασκείται σε αυτόν αλλάζει αντιστρόφως ανάλογα με την τετραγωνική απόσταση από το κέντρο της γης.
1.1.1 Έργο που παράγεται από τις σταθερές δυνάμεις
Μαθηματικά, το έργο που παράγεται από μια σταθερή δύναμη σε ένα αντικείμενο ορίζεται ως η μετατόπιση πολλαπλασιασμένη με τη δύναμη ή τη συνιστώσα της δύναμης που έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση του αντικειμένου. Παρατηρήστε ένα αντικείμενο στην επιφάνεια ενός τραχιού επίπεδου επιπέδου με μετατόπιση προς τα δεξιά που προκαλείται από μια δύναμη ώθησης (F).
Σχήμα 1. (Πάνω) Η κατεύθυνση της μετατόπισης του αντικειμένου είναι η ίδια με τη δύναμη F. (Κάτω) Η κατεύθυνση της μετατόπισης του αντικειμένου είναι η ίδια με τη συνιστώσα της δύναμης F σε οριζόντια κατεύθυνση (Fcos).
Το έργο που παράγεται από την ωστική δύναμη (F) είναι:
W = (F)(s)(cos θ) = F s (cos 0) = F s (1)
W = Fs
Το έργο που παράγεται από τη συνιστώσα της δύναμης F σε οριζόντια κατεύθυνση (F cos θ) είναι:
W = (F cos θ)(s)(cos 0) = (F cos)(s)(1)
W = F s cos θ
Το έργο που παράγεται από την κινητική δύναμη τριβής (fk ) είναι:
W = (fk ) (s)(cos 180) = ( fk )(s)(-1)
W = – (f k )(s)
Το έργο που εκτελείται από την κανονική δύναμη (N) είναι:
W = (N)(s)(cos 90) = (N)(s)(0) = 0
Το έργο που εκτελείται από το βάρος (w) είναι:
W = (w)(s)(cos 90) = (w)(s)(0) = 0
Περιγραφή: W = έργο, s = ποσότητα μετατόπισης, θ = γωνία μεταξύ δύναμης και μετατόπισης.
Εικόνα 2.
(α) Το αντικείμενο βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση. Το βάρος έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση. (β) Το αντικείμενο κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω. Η κατεύθυνση του βάρους είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της μετατόπισης.
Στην προηγούμενη περίπτωση, το έργο που παράγεται από το βάρος (w) έχει τιμή μηδέν καθώς η κατεύθυνση του βάρους του αντικειμένου είναι κάθετη στην κατεύθυνση της μετατόπισης του αντικειμένου. Πρέπει να σημειωθεί ότι το έργο που παράγεται από το βάρος δεν θα έχει τιμή μηδέν εάν η κατεύθυνση του βάρους είναι η ίδια ή η αντίθετη από την κατεύθυνση της μετατόπισης του αντικειμένου.
Το έργο που παράγεται από το βάρος (w) στο αντικείμενο που βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση, όπως φαίνεται στο σχήμα α, είναι:
W = F s (cos θ) = wh (cos 0) = wh (1) = wh = mgh
Το έργο που παράγεται από το βάρος (w) στο αντικείμενο που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο σχήμα β, είναι:
W = F s (cos θ) = wh (cos 180) = wh (-1) = – wh = – mgh
Περιγραφή: w = βάρος (Νιούτον), h = ύψος (μέτρο), m = μάζα (kg), g = βαρυτική επιτάχυνση (μέτρο ανά τετραγωνικό δευτερόλεπτο).
Σύμφωνα με την προηγούμενη εξήγηση, εξάγονται τα ακόλουθα συμπεράσματα: Πρώτον, εάν ένα αντικείμενο δεν υποστεί καμία μετατόπιση, η δύναμη που ασκείται σε αυτό δεν παράγει κανένα έργο. Εάν s = 0, W = 0. Δεύτερον, εάν μια δύναμη σχηματίζει μια δεδομένη γωνία προς τη μετατόπιση ενός αντικειμένου, μόνο η συνιστώσα της δύναμης που έχει την ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση του αντικειμένου παράγει έργο στο αντικείμενο. Τρίτον, μια δύναμη σε κατεύθυνση κάθετη προς την κατεύθυνση της μετατόπισης ενός αντικειμένου θα σχηματίσει γωνία 90 ° . Cos 90° = 0. Τέταρτον, το έργο μπορεί να έχει θετικό ή αρνητικό πρόσημο. Εάν η δύναμη είναι στην ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση του αντικειμένου και σχηματίζει γωνία 0 ° , παράγει θετικό έργο στο αντικείμενο. Αντίστροφα, εάν η δύναμη έχει κατεύθυνση αντίθετη προς την κατεύθυνση της μετατόπισης του αντικειμένου και σχηματίζει γωνία 180 ° , παράγει αρνητικό έργο στο αντικείμενο.
Σχήμα 3. Γράφημα δύναμης (F) – μετατόπισης (s). Το έργο ισούται με την σκιασμένη περιοχή.
Το έργο που παράγεται από μια σταθερή δύναμη σε ένα αντικείμενο όταν αυτό υφίσταται μετατόπιση είναι ίσο με τη σκιασμένη περιοχή στο γράφημα δύναμης (F) – θέσης (s).
Το έργο συμβολίζεται με W (κεφαλαία) και το βάρος με w (πεζά). Η μονάδα έργου SI είναι το Newton ∙ μέτρο (N m). Είναι ισοδύναμο με το Joule, που συντομεύεται ως J.
Ονομάστηκε έτσι προς τιμήν ενός Βρετανού γιατρού του 19ου αιώνα , του James Prescott Joule.
Παράδειγμα ερώτησης 1: Έργο που παράγεται από μια σταθερή δύναμη
Ένα αντικείμενο βρίσκεται σε ηρεμία στην επιφάνεια ενός δαπέδου χωρίς τριβή. Στο αντικείμενο ασκείται δύναμη 10 N, σχηματίζοντας γωνία 30 μοιρών με το δάπεδο. Αν το αντικείμενο μετακινηθεί 1 μέτρο μακριά, πόσο έργο παράγει η δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο;
Λύση:
Γνωστά: F = 10 N, s = 1 μέτρο
Ζητείται: Εργασία (W)
W = (F)(s)(cos 30 o ) = (10 N)(1 m)(1/2 √ 3) = 5 √ 3 N m
Παράδειγμα ερώτησης 2: Έργο από σταθερή δύναμη
Μια καρύδα βάρους 0.2 kg βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση από ύψος 10 μέτρων πάνω από το έδαφος. Αν η βαρυτική επιτάχυνση είναι 10 m/s 2 , πόσο έργο παράγεται από το βάρος στην καρύδα;
Λύση:
Γνωστά: m = 0.2 kg, h = 10 m, g = 10 m/ s²
Ζητείται: Εργασία (W) κατά βάρος (w)
W = F s = wh = mgh = (0.2 kg)(10 m/s² ) (10 m) = 20 kg m²/s² = 20 N m = 20 Joules
1.1.2 Έργο από Μεταβλητές Δυνάμεις
Ένα παράδειγμα μεταβλητής δύναμης είναι η δύναμη του ελατηρίου. Η ποσότητα της δύναμης του ελατηρίου αλλάζει συνεχώς. Επομένως, το έργο που παράγεται από τη δύναμη του ελατηρίου σε ένα αντικείμενο δεν μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο έργου σταθερών δυνάμεων (W = F s cos θ). Εάν ένα ελατήριο τεντωθεί, όσο περισσότερο τεντωθεί το ελατήριο, τόσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη εφελκυσμού που απαιτείται για να τεντωθεί το ελατήριο. Και εάν το ελατήριο συμπιεστεί, όσο περισσότερο συμπιεστεί το ελατήριο, τόσο μεγαλύτερη είναι η δύναμη ώθησης που απαιτείται. Όταν το ελατήριο συμπιεστεί ή τεντωθεί, η δύναμη του ελατηρίου αλλάζει από 0 (x = 0) σε μια μέγιστη τιμή (F = kx). Έτσι, η ποσότητα της δύναμης του ελατηρίου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη μέση τιμή. Η μέση ποσότητα δύναμης του ελατηρίου είναι:
Το έργο που παράγεται από τη δύναμη του ελατηρίου σε ένα αντικείμενο είναι:
W = έργο, x = Δx = απόκλιση ελατηρίου (μέτρα), F = δύναμη ελατηρίου (Νεύτωνας).
Παράδειγμα ερώτησης 3: Έργο από μεταβλητή δύναμη
Πάνω σε ένα ελατήριο αιωρείται βάρος μάζας 1 kg, επομένως το ελατήριο εκτείνεται κατά 2 cm. Αν η βαρυτική επιτάχυνση είναι 10 m/s 2 , προσδιορίστε (α) τη σταθερά του ελατηρίου (β) το έργο που παράγει η δύναμη του ελατηρίου στο βάρος.
Λύση:
Γνωστά: m = 1 kg, g = 10 m/s² , x = Δx = 2 cm = 0.02 m.
(α) η σταθερά του ελατηρίου
(β) το έργο που παρήγαγε η δύναμη του ελατηρίου στο βάρος
W = -1/2 kx 2 = -1/2 (500)(0.02) 2 = – (250)(0.0004) = -0.1 Joule
Το έργο που ασκείται από τη δύναμη του ελατηρίου στο βάρος έχει αρνητική τιμή καθώς η κατεύθυνση της δύναμης του ελατηρίου είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της μετατόπισης του βάρους (η δύναμη του ελατηρίου είναι προς τα πάνω, το βάρος είναι προς τα κάτω).
1.2 Καθαρό Έργο ή Έργο από τη Δύναμη του Καθαρού
Εάν υπάρχει μόνο μία δύναμη που ασκείται σε ένα αντικείμενο όταν αυτό υφίσταται μετατόπιση, το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη ισούται με το έργο που παράγεται από τη δύναμη. Για παράδειγμα, εάν ένα αντικείμενο βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση και ο περιορισμός του αέρα αγνοηθεί, η μόνη δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο είναι η βαρυτική δύναμη. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο είναι η βαρυτική δύναμη (βλ. σχήμα 2).
W καθαρό = W βαρύτητα
Εάν ορισμένες δυνάμεις ασκούνται σε ένα αντικείμενο όταν αυτό υφίσταται μετατόπιση, το έργο που παράγεται από τη συνολική δύναμη είναι ίσο με το καθαρό έργο που παράγεται από όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο αντικείμενο (βλ. σχήμα 1).
W καθαρό = W 1 + W 2 + W 3 + W 4
Το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη σε ένα αντικείμενο μπορεί επίσης να υπολογιστεί βρίσκοντας πρώτα τη συνισταμένη δύναμη και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντάς την με το μέγεθος της μετατόπισης.
W = ΣF s
Παράδειγμα ερώτησης 4: Δίκτυο
Ένα ακίνητο κουτί στην επιφάνεια του δαπέδου ωθείται με δύναμη 20 N μέχρι να μετακινηθεί 1 μέτρο μακριά. Εάν η δύναμη ώθησης είναι στην ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση του κουτιού και στο κουτί ασκείται κινητική δύναμη τριβής 2 N, προσδιορίστε το ποσό του συνολικού έργου που παράγεται από τη συνολικού βάρους στο κουτί.
Λύση:
Γνωστά: F = 20 N, f k = 2 N, s = 1 m
W 1 = F s = (20 N)(1 m) = 20 Nm = 20 Joule
W 2 = f k s = – (2 N)(1 m) = – 2 Nm = – 2 Joule
Καθαρό έργο ή έργο που παράγεται από τη καθαρή δύναμη
W καθαρό = W 1 – W 2 = 20 J – 2 J = 18 J
Παράδειγμα ερώτησης 4) Η δύναμη ώσης (F) παράγει θετικό έργο, η κινητική δύναμη τριβής (fk ) παράγει αρνητικό έργο
