Κίνηση βλήματος

Άρθρο σχετικά με την κίνηση του βλήματος και δείγματα προβλημάτων με λύσεις

Αρχική ταχύτητα (v_o) και η συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας (v_ox και v_oy)

Ένα αντικείμενο του οποίου οι παραβολικές κινήσεις έχουν πάντα μια αρχική ταχύτητα. Επειδή η παραβολική κίνηση είναι ένας συνδυασμός κινήσεων στην οριζόντια και κατακόρυφη κατεύθυνση, η αρχική ταχύτητα έχει επίσης οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες.

Εάν το αντικείμενο κινείται παραβολικά όπως στα Σχήματα 1 και 3, τότε η αρχική ταχύτητα στην οριζόντια κατεύθυνση (vo/ _ox ) και η αρχική ταχύτητα στην κατακόρυφη κατεύθυνση (vo/ _oy ) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Αν το αντικείμενο κινείται παραβολικά όπως στο σχήμα 2, τότε v _o = v _ox (vo _y = 0)

Ταχύτητα (v_x και v_y) και Θέση (x και y)

Η ταχύτητα στην οριζόντια και κάθετη κατεύθυνση σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

v _x = v _ox = σταθερά ( ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση )

vy = voy ₊ ^gt ή vy2 ₌ voy2 ₊ ^{2 gh} ₍ κίνηση ελεύθερης πτώσης)

Η θέση των αντικειμένων στην οριζόντια (x) και κάθετη (y) κατεύθυνση σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

x = v _ox t

y = vo _y t + 1⁄2 gt ²

Συνιστώμενη της ταχύτητας (v) και της θέσης (h)

Η προκύπτουσα ταχύτητα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

Η κατεύθυνση των αντικειμένων σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας την εξίσωση:

:

1. Η οριζόντια συνιστώσα της παραβολικής κίνησης θεωρείται ως η ομοιόμορφη γραμμική κίνηση, επομένως η vox = vx είναι πάντα σταθερή.

2. Η κατακόρυφη συνιστώσα της παραβολικής κίνησης θεωρείται ως η κίνηση ελεύθερης πτώσης, επομένως εάν το αντικείμενο κινείται παραβολικά, όπως στα Σχήματα 1 και 3, η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας του αντικειμένου στο μέγιστο ύψος είναι μηδέν (v _-y = 0). Εάν πετάξετε μια μπίλια όρθια προς τα πάνω σε μέγιστο ύψος, το αντικείμενο ακινητοποιείται για μια στιγμή (v _-y = 0) πριν στρίψει προς τα κάτω. Επομένως, η ταχύτητα του αντικειμένου που κινεί την παραβολική κίνηση στο μέγιστο ύψος = v- _x = v- _ox

3. Εάν το αντικείμενο κινείται παραβολικά όπως φαίνεται στο Σχήμα 2, η κατακόρυφη συνιστώσα της παραβολικής κίνησης θεωρείται ως κίνηση ελεύθερης πτώσης. Εάν το αντικείμενο κινείται παραβολικά όπως στα Σχήματα 1 και 3, τότε η κατακόρυφη συνιστώσα της παραβολικής κίνησης θεωρείται ως η ανοδική κατακόρυφη κίνηση.

Δείγματα προβλημάτων:

1. Μια σφαίρα εκτοξεύεται σε οριζόντια κατεύθυνση με αρχική ταχύτητα 20 m/s. Εάν το όπλο βρίσκεται 5 μέτρα πάνω από το έδαφος, προσδιορίστε:

(α) χρόνος στον αέρα

(β) το μέγιστο ύψος

(γ) η οριζόντια απόσταση

(δ) η ταχύτητα της σφαίρας όταν χτυπά το έδαφος

Λύση:

Η κίνηση στην οριζόντια κατεύθυνση αναλύεται όπως η ομοιόμορφη γραμμική κίνηση, ενώ η κίνηση στην κατακόρυφη κατεύθυνση αναλύεται όπως η κίνηση ελεύθερης πτώσης.

Γνωστός:

v _ox = 20 m/s, v _oj = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

α) Χρόνος στον αέρα

Η λύση είναι ο προσδιορισμός του χρονικού διαστήματος (t) στην κίνηση ελεύθερης πτώσης.

Γνωστά: vo _y = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Ζητείται: τ

β) Το μέγιστο ύψος

Μέγιστο ύψος = h = 5 μέτρα.

γ) Οριζόντια απόσταση (δ)

Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε την απόσταση στην ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση

Γνωστά: v _ox = 20 m/s, t = 1 δευτερόλεπτο

Ζητείται: δ

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

δ) Ταχύτητα όταν η σφαίρα χτυπήσει το έδαφος

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ;

Αρχικά, υπολογίζουμε την τελική ταχύτητα στην κατακόρυφη κατεύθυνση (vty). Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε την τελική ταχύτητα της κίνησης ελεύθερης πτώσης.

Γνωστά: vo _y = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Ζητείται: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

v _t = 9.8 m/s

Η ταχύτητα μιας σφαίρας όταν χτυπήσει το έδαφος:

Κατεύθυνση σφαίρας:

Επειδή το v _tx είναι προς την κατεύθυνση του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά) και το v _ty είναι προς την κατεύθυνση του αρνητικού άξονα y (προς τα κάτω),

Η κατεύθυνση της σφαίρας όταν χτυπά το έδαφος είναι -26.1 ^° ως προς τον θετικό άξονα x (βλ. σχήμα παρακάτω).

2. Το κανόνι εκτόξευσε μια σφαίρα σε γωνία 30 ^μοιρών προς το οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα 60 m/s. Προσδιορίστε:

(α) το μέγιστο ύψος

(β) η ταχύτητα της σφαίρας στο μέγιστο ύψος

(γ) χρόνος στον αέρα

(δ) η οριζόντια απόσταση

(ε) η ταχύτητα της σφαίρας όταν χτυπά το έδαφος. Ας υποθέσουμε ότι το έδαφος είναι επίπεδο. 🙂

Λύση:

Η κίνηση στην οριζόντια κατεύθυνση αναλύεται όπως η ομοιόμορφη γραμμική κίνηση, ενώ η κίνηση στην κατακόρυφη κατεύθυνση αναλύεται όπως η ανοδική κατακόρυφη κίνηση.

Γνωστά: v _o = 60 m/s, θ = 30 ^o.

Με βάση γνωστά δεδομένα, υπολογίζουμε πρώτα τις κατακόρυφες (vo _-y ) και οριζόντιες (vo- _ox ) συνιστώσες της αρχικής ταχύτητας (vo _-o ).

α) Το μέγιστο ύψος (h)

Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε το μέγιστο ύψος στην ανοδική κατακόρυφη κίνηση.

Γνωστός:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

α) Μέγιστο ύψος (h)

Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε το μέγιστο ύψος στην κατακόρυφη ανοδική κίνηση.

Γνωστός:

voy = 30 m _/ s (αυτή είναι η αρχική ταχύτητα της σφαίρας)

v _ty = 0 m/s (Στο μέγιστο ύψος, η κατακόρυφη ταχύτητα της σφαίρας = 0 m/s. Αυτή είναι η τελική ταχύτητα.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Ζητείται: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) ώρες

0 = 900 – 19.6 ώρες

900 = 19.6 ώρες

h = 900 / 19.6

ύψος = 45.9 μέτρα

Το μέγιστο ύψος που επιτυγχάνεται από τη σφαίρα = 45.9 μέτρα.

β) Η ταχύτητα στο μέγιστο ύψος

Στο μέγιστο ύψος, η ταχύτητα στην κατακόρυφη κατεύθυνση = 0 m/s. Στο μέγιστο υψόμετρο, υπάρχει η μόνη ταχύτητα στην οριζόντια κατεύθυνση. Η ταχύτητα στην οριζόντια κατεύθυνση στο μέγιστο ύψος είναι ίση με την αρχική ταχύτητα στην οριζόντια κατεύθυνση, η οποία είναι 52.2 m/s. Η κατεύθυνση της ταχύτητας στην οριζόντια κατεύθυνση είναι πάντα σταθερή, δηλαδή, προς την κατεύθυνση του θετικού άξονα x (αν η κίνηση ενός αντικειμένου περιγράφεται στο παραπάνω διάγραμμα).

γ) Χρόνος στον αέρα

Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε το χρονικό διάστημα (t) στη συζήτηση για την κατακόρυφη ανοδική κίνηση.

Γνωστός:

voy = 30 m _/ s (αυτή είναι η αρχική ταχύτητα της σφαίρας στην κατακόρυφη κατεύθυνση)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (όταν η σφαίρα επιστρέφει στο έδαφος, η μετατόπιση της σφαίρας στην κατακόρυφη κατεύθυνση = 0 m)

Ζητείται: τ

h = v _o t + ½ ^gt2

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 ^t2

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 δευτερόλεπτα

Χρόνος στον αέρα = 6.12 δευτερόλεπτα

δ) Οριζόντια απόσταση (δ)

Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε την απόσταση (d) στην ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Γνωστός:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 δευτερόλεπτα

Ζητείται: δ

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 δευτερόλεπτα) = 319.5 m

ε) Ταχύτητα όταν η σφαίρα χτυπήσει το έδαφος

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ;

Αρχικά, υπολογίζουμε την τελική ταχύτητα στην κατακόρυφη κατεύθυνση (v/ _ty ). Η λύση είναι να προσδιορίσουμε την τελική ταχύτητα στην κατακόρυφη ανοδική κίνηση.

_{Ζητούμενο} : voy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 δευτερόλεπτα

Ζητείται: v _ty

v _ty = vo _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Ένα αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η κατεύθυνση της τελικής ταχύτητας είναι προς τα κάτω. Σημειώστε ότι η αρχική ταχύτητα στην κατακόρυφη κατεύθυνση είναι ίση με την τελική ταχύτητα στην κατακόρυφη κατεύθυνση.

Η ταχύτητα της σφαίρας όταν χτυπήσει το έδαφος:

Η κατεύθυνση της σφαίρας:

Δεδομένου ότι το v _tx είναι προς την κατεύθυνση του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά) και το vty είναι προς την κατεύθυνση του αρνητικού άξονα y (προς τα κάτω),

Η κατεύθυνση της ταχύτητας της σφαίρας όταν χτυπά το έδαφος είναι -30 ^° γύρω από τον θετικό άξονα x (βλ. σχήμα παρακάτω).

3. Μια μπάλα πετάγεται από την άκρη ενός κτιρίου ύψους 50 μέτρων με αρχική ταχύτητα 10 m/s. Αν η μπάλα πετάγεται σε γωνία 30° περίπου ως προς την οριζόντια περιοχή, προσδιορίστε:

(α) το χρονικό διάστημα που η μπάλα φτάνει στο έδαφος

(β) η ταχύτητα της μπάλας όταν αυτή χτυπά το έδαφος

(γ) η οριζόντια απόσταση που μπορεί να φτάσει η μπάλα μετριέται από την άκρη του κτιρίου

(δ) το μέγιστο ύψος που φτάνει η μπάλα

Λύση:

Αρχικά, υπολογίζουμε την κατακόρυφη συνιστώσα (vo _-oy ) και την οριζόντια συνιστώσα (vo- _ox ) της αρχικής ταχύτητας (vo _-o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

vo _oy = vo _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

α) Χρονικό διάστημα που η μπάλα φτάνει στο έδαφος

Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε το χρονικό διάστημα (t) σε μια κατακόρυφη ανοδική κίνηση. Το μέγεθος του διανύσματος του οποίου η κατεύθυνση είναι προς τα πάνω επιλέγεται θετικό, το μέγεθος του διανύσματος του οποίου η κατεύθυνση είναι προς τα κάτω επιλέγεται αρνητικό. Η θέση της μπάλας όπου πετιέται επιλέγεται ως σημείο αναφοράς. Το h είναι αρνητικό επειδή η επιφάνεια του εδάφους βρίσκεται κάτω από το σημείο αναφοράς, το g είναι αρνητικό επειδή η κατεύθυνση της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι προς τα κάτω.

Γνωστός:

voy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m _/ ^s²

Ζητείται: τ

h = v _o t + ½ ^gt2

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t2

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Χρησιμοποιήστε τον τετραγωνικό τύπο:

Χρόνος στον αέρα = χρονικό διάστημα από τη στιγμή που η μπάλα πετάχτηκε για να φτάσει στο έδαφος = 1.64 δευτερόλεπτα.

β) Η ταχύτητα της μπάλας όταν αυτή χτυπά την επιφάνεια του εδάφους

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ;

Αρχικά, υπολογίζουμε την τελική ταχύτητα στην κατακόρυφη κατεύθυνση (v/ _ty ). Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε την τελική ταχύτητα στην κατακόρυφη ανοδική κίνηση.

Γνωστά: vo _y = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 δευτερόλεπτα

Ζητείται: v _ty

v _ty = vo _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

Το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η κατεύθυνση της τελικής ταχύτητας είναι προς τα κάτω.

Η ταχύτητα της σφαίρας όταν χτυπήσει το έδαφος:

Η κατεύθυνση της ταχύτητας της σφαίρας = η κατεύθυνση της κίνησης της σφαίρας όταν χτυπά το έδαφος:

Η ταχύτητα της σφαίρας όταν χτυπήσει το έδαφος:

Επειδή το vtx είναι προς την κατεύθυνση του θετικού άξονα x (προς τα δεξιά) και το vty είναι προς την κατεύθυνση του αρνητικού άξονα y (προς τα κάτω),

Η κατεύθυνση της σφαίρας όταν χτυπά το έδαφος είναι -52° γύρω από τον θετικό άξονα x (βλ. σχήμα παρακάτω).

γ) Η οριζόντια απόσταση που μπορεί να φτάσει η μπάλα μετριέται από την άκρη του κτιρίου

Η λύση είναι σαν να προσδιορίζουμε την διανυθείσα απόσταση (d) στην ομοιόμορφη ευθύγραμμη κίνηση.

Γνωστά: t = 1.64 δευτερόλεπτα, v _x = 8.7 m/s

Ζητείται: δ

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

δ) Το μέγιστο ύψος που φτάνει η μπάλα

Γνωστά: vo _y = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας στο μέγιστο ύψος = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Ζητείται: h

v _ty ² = vo _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (m/s) ² = -19.6 m/s 2 (h)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 μέτρα

Το μέγιστο ύψος που φτάνει η μπάλα = 1.3 μέτρα πάνω από την κορυφή του κτιρίου = 1.3 μ + 50 μ = 51.3 μέτρα πάνω από την επιφάνεια του εδάφους.