Συγκρούσεις Γραμμικής Ορμής-Προρμής

Συγκρούσεις γραμμικής ορμής-ώθησης

1. Γραμμική Ορμή

1.1 Ορισμός Γραμμικής Ορμής

Η γραμμική ορμή ενός αντικειμένου ορίζεται ως το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της μάζας του αντικειμένου επί την ταχύτητά του.

p = mv

που:

p = ορμή, m = μάζα (kg), v = ταχύτητα (m/s)

Η γραμμική ορμή, ή απλώς ορμή, είναι ένα διανυσματικό μέγεθος καθώς προκύπτει πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα (ταχύτητα) και ένα βαθμωτό (μάζα). Καθώς η ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, έχει κατεύθυνση και μέγεθος. Η ορμή μοιράζεται κατεύθυνση με την ταχύτητα ή την κίνηση ενός αντικειμένου.

Η ορμή είναι ανάλογη με τη μάζα και την ταχύτητα, καθώς όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ορμή. Ομοίως, όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ορμή. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο αυτοκίνητα, ας πούμε τα αυτοκίνητα Α και Β. Εάν η μάζα του αυτοκινήτου Α είναι μεγαλύτερη από αυτή του αυτοκινήτου Β και και τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με την ίδια ταχύτητα, το αυτοκίνητο Α θα έχει μεγαλύτερη ορμή από αυτή του αυτοκινήτου Β. Ομοίως, εάν τα αυτοκίνητα Α και Β έχουν την ίδια μάζα, αλλά το αυτοκίνητο Α κινείται πιο γρήγορα από το αυτοκίνητο Β, η ορμή του αυτοκινήτου Α είναι μεγαλύτερη από αυτή του αυτοκινήτου Β.

Αν ένα αντικείμενο που έχει μάζα δεν κινείται ή βρίσκεται σε ηρεμία (έχει μηδενική ταχύτητα), η ορμή του αντικειμένου είναι μηδέν.

Η μονάδα ορμής στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το kg m/s, το οποίο αποτελείται από τη μονάδα μάζας και τη μονάδα ταχύτητας.

1.2 Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα

Προηγουμένως, μάθατε τον Δεύτερο Νόμο του Νεύτωνα, ο οποίος διατυπώνεται στην εξίσωση ΣF = ma και εξηγεί τη σχέση μεταξύ της συνισταμένης δύναμης και της μάζας, καθώς και της επιτάχυνσης ενός αντικειμένου. Η συνισταμένη δύναμη ασκείται σε ένα αντικείμενο που έχει μάζα, με αποτέλεσμα την επιτάχυνση του αντικειμένου. Αυτή τη φορά, θα εισαχθείτε σε μια άλλη μορφή του Δεύτερου Νόμου του Νεύτωνα, η οποία εξηγεί τη σχέση μεταξύ της συνισταμένης δύναμης και της μεταβολής της ορμής ενός αντικειμένου.

Εάν η συνισταμένη δύναμη ασκείται σε ένα αντικείμενο που αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία, το αντικείμενο θα κινηθεί. Πριν κινηθεί, το αντικείμενο δεν έχει ορμή. Το αντικείμενο έχει ορμή αφού η κίνηση αποδοθεί. Με άλλα λόγια, η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο προκαλεί μια αλλαγή στην ορμή του αντικειμένου για ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός αντικειμένου είναι ίσος με τη συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο αντικείμενο.

Ώθηση, Γραμμική Ορμή, Συγκρούσεις 1 Που:

ΣF = συνισταμένη δύναμη (Newton), Δt = χρονικό διάστημα (δευτερόλεπτα), Δp = m (v _t – v _o ) = μεταβολή της ορμής (kg m/s).

Η Εξίσωση 1.1 είναι μια άλλη μορφή του Δεύτερου Νόμου του Νεύτωνα, η οποία εξηγεί τη σχέση μεταξύ της καθαρής δύναμης και του ρυθμού μεταβολής της ορμής ενός αντικειμένου, είτε όταν η μάζα του αντικειμένου είναι σταθερή είτε αλλάζει.

Ώθηση, Γραμμική Ορμή, Συγκρούσεις 2
Που:

ΣF = συνισταμένη δύναμη (Newton), m = μάζα (kg), a = επιτάχυνση (m/ ^s² )

Η Εξίσωση 1.2 είναι μια εξίσωση του Δεύτερου Νόμου του Νεύτωνα που εξηγεί τη σχέση μεταξύ της συνισταμένης δύναμης και της επιτάχυνσης ενός αντικειμένου με σταθερή μάζα.

2. Παρόρμηση

2.1 Ορισμός ώθησης

Η ώθηση ορίζεται ως το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της δύναμης ή της καθαρής δύναμης επί το χρονικό διάστημα.

Που:

I = ώθηση, ΣF = συνισταμένη δύναμη (Newton), Δt = χρονικό διάστημα (δευτερόλεπτα).

2.2 Θεώρημα ώθησης-ορμής

Το θεώρημα ώθησης-ορμής προκύπτει από την εξαγωγή μιας εξίσωσης από την εξίσωση 1.1

ΣF Δt = Δp

I = Δp …………………….. Εξίσωση 1.3

Η εξίσωση 1.3 δείχνει ότι η ώθηση ισούται με την αλλαγή στην ορμή.

I = ΣF Δt

Δp = mv _t – mv _o = m (v _t – v _o )

Παράδειγμα ερώτησης 1:

Μια μπάλα με μάζα 1 kg πετιέται οριζόντια με ταχύτητα 2 m/s. Στη συνέχεια, η μπάλα χτυπιέται προς την ίδια κατεύθυνση με την αρχική της κατεύθυνση. Η μπάλα χρειάζεται 1 ms για να έρθει σε επαφή με τον χτυπητή και η ταχύτητα της μπάλας αφού φύγει από τον χτυπητή είναι 4 m/s. Ποια είναι η δύναμη που ασκείται από τον χτυπητή στην μπάλα;

Γνωστό:

μάζα (m) = 1 kg, αρχική ταχύτητα (v _o ) = 2 m/s, χρονικό διάστημα (Δt) = 1 x 10 ^-3 δευτερόλεπτα, τελική ταχύτητα (v _t ) = 4 m/s

Η κατεύθυνση κίνησης της μπάλας δεν αλλάζει, επομένως η αρχική και η τελική ταχύτητα έχουν το ίδιο σημάδι.

Ζητείται: δύναμη (F)

Λύση:

Ώθηση, Γραμμική Ορμή, Συγκρούσεις 4

Παράδειγμα ερώτησης 2:

Μια μπάλα με μάζα 1 kg πετιέται οριζόντια προς τα δεξιά με ταχύτητα 10 m/s. Αφού χτυπηθεί, η μπάλα κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα 20 m/s. Προσδιορίστε την ώθηση που ασκείται στην μπάλα.

Γνωστό:

μάζα (m) = 1 kg

Αρχική ταχύτητα (v _o ) = 10 m/s,

Τελική ταχύτητα (v _t ) = -20 m/s

Οι κατευθύνσεις κίνησης της μπάλας (κατευθύνσεις ταχύτητας) είναι αντίθετες, επομένως η αρχική ταχύτητα και η τελική ταχύτητα έχουν διαφορετικά πρόσημα.

Ζητείται: Impulse (I)

Λύση:

I = m (v _t – v _o ) = 1 kg (-20 m/s – 10 m/s) = 1 kg (-30 m/s) = – 30 kg m/s

Το αρνητικό πρόσημο υποδεικνύει ότι η κατεύθυνση της ώθησης είναι η ίδια με την κατεύθυνση της τελικής ταχύτητας της μπάλας (προς τα αριστερά)

Παράδειγμα ερώτησης 3

Ένας μαθητής χτυπάει μια μπάλα βόλεϊ βάρους 0.1 κιλών, η οποία αρχικά είναι ακίνητη. Το χέρι του μαθητή έρχεται σε επαφή με τη μπάλα για 0.01 δευτερόλεπτο. Αφού χτυπηθεί, η μπάλα βόλεϊ κινείται με ταχύτητα 2 m/s.

(α) Ποια είναι η δύναμη που ασκεί το χέρι του μαθητή στην μπάλα του βόλεϊ;

(β) Ο Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα ορίζει ότι αν ο μαθητής ασκήσει δύναμη στην μπάλα του βόλεϊ, τότε και η μπάλα του βόλεϊ θα ασκήσει δύναμη στον μαθητή. Ποιο είναι το μέγεθος της δύναμης που ασκείται από την μπάλα του βόλεϊ στο χέρι του μαθητή;

(γ) Αν το χέρι του μαθητή έρθει σε επαφή με την μπάλα του βόλεϊ για 0.001 δευτερόλεπτα, ποιο είναι το μέγεθος της δύναμης που ασκείται από την μπάλα του βόλεϊ στο χέρι του μαθητή;

Γνωστό:

μάζα (m) = 0.1 kg,

Χρονικό διάστημα 1 (Δt ₁ ) = 0.01 s = 1 x 10 ^-2 s

Αρχική ταχύτητα (v₂o ₎ = 0

Τελική ταχύτητα (v _t ) = 2 m/s

Χρονικό διάστημα 2 (Δt2 ₎ = 0.001 s = 1 x ^10-3 s

Ζητείται: δύναμη (F)

Λύση:

(α) Η δύναμη που ασκείται από το χέρι του μαθητή στην μπάλα του βόλεϊ για χρονικό διάστημα επαφής 0.01 δευτερολέπτων είναι

(β) Η δύναμη που ασκείται από την μπάλα του βόλεϊ στο χέρι του μαθητή για χρονικό διάστημα επαφής 0.01 δευτερολέπτων είναι

Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα: F δράση = – F αντίδραση

Το μέγεθος της δύναμης που ασκείται από την μπάλα στο χέρι του μαθητή είναι 200 N.

(γ) Η δύναμη που ασκείται από την μπάλα στο χέρι του μαθητή για χρόνο επαφής 0.001 δευτερολέπτων είναι

Με βάση τα αποτελέσματα που ελήφθησαν, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι η δύναμη που ασκείται από την μπάλα στο χέρι του μαθητή είναι μεγαλύτερη όταν ο χρόνος επαφής είναι μικρότερος. Μεγαλύτερη δύναμη προκαλεί μεγαλύτερο πόνο στο χέρι του μαθητή. Μπορείτε να το αποδείξετε αυτό όταν παίζετε βόλεϊ. Ο χρόνος επαφής που θα χρειαστείτε όταν χτυπάτε μια πιο σκληρή μπάλα βόλεϊ είναι μικρότερος από ό,τι όταν χτυπάτε μια πιο μαλακή. Η διαφορά στον χρόνο επαφής κάνει το χέρι σας να αισθάνεται μεγαλύτερο πόνο όταν χτυπάτε μια πιο σκληρή μπάλα.

Τι είναι η γραμμική ορμή και πώς διαφέρει από τη δύναμη;
- Απάντηση: Γραμμική ορμή ( $p$ ) ενός αντικειμένου είναι το γινόμενο της μάζας του ( $m$ ) και η ταχύτητά του ( $v$ ), δηλαδή, $p = m v$ Ενώ η δύναμη σχετίζεται με την αλλαγή στην ορμή ενός αντικειμένου με την πάροδο του χρόνου, η ίδια η ορμή είναι ένα μέτρο της κίνησης ενός αντικειμένου και προς ποια κατεύθυνση.
Πώς σχετίζεται η ώθηση με την αλλαγή στην ορμή ενός αντικειμένου;
- ΑπάντησηΗ ώθηση είναι το γινόμενο της μέσης δύναμης που ασκείται σε ένα αντικείμενο επί τη χρονική διάρκεια κατά την οποία εφαρμόζεται. Ισούται με την αλλαγή στην ορμή του αντικειμένου. Με μαθηματικούς όρους: I $m p u l se = Δ p = F_{a v er a g e} \times Δ t$ .
Τι σημαίνει η αρχή διατήρησης της ορμής σε μια σύγκρουση;
- ΑπάντησηΗ αρχή διατήρησης της ορμής δηλώνει ότι η συνολική ορμή ενός κλειστού συστήματος πριν από μια σύγκρουση είναι ίση με τη συνολική ορμή μετά τη σύγκρουση, υπό την προϋπόθεση ότι δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα.
Να διακρίνετε μεταξύ ελαστικής και ανελαστικής σύγκρουσης.
- ΑπάντησηΣε μια ελαστική σύγκρουση, τόσο η ορμή όσο και η κινητική ενέργεια διατηρούνται. Τα αντικείμενα «αναπηδούν» το ένα από το άλλο. Σε μια ανελαστική σύγκρουση, η ορμή διατηρείται, αλλά η κινητική ενέργεια όχι. Τα αντικείμενα μπορεί να κολλήσουν μεταξύ τους ή να παραμορφωθούν μετά τη σύγκρουση.
Πώς είναι δυνατόν μια μικρή δύναμη που δρα για μεγάλο χρονικό διάστημα να παράγει την ίδια μεταβολή στην ορμή με μια μεγάλη δύναμη που δρα για μικρό χρονικό διάστημα;
- ΑπάντησηΕπειδή η ώθηση είναι το γινόμενο της δύναμης και του χρόνου, μια μικρή δύναμη που ασκείται για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα μπορεί να παράγει την ίδια ώθηση (και επομένως την ίδια μεταβολή στην ορμή) με μια μεγαλύτερη δύναμη που ασκείται για μικρότερο χρονικό διάστημα.
Αν ένα αυτοκίνητο συγκρούεται με έναν τοίχο και σταματήσει, διατηρείται η ορμή;
- ΑπάντησηΓια το αυτοκίνητο μόνο του, η ορμή δεν διατηρείται επειδή σταματά. Ωστόσο, στο ευρύτερο σύστημα (συμπεριλαμβανομένης της Γης και του τοίχου), η ορμή διατηρείται. Η ορμή που μεταδίδεται στο αυτοκίνητο μεταδίδεται με ίσο και αντίθετο τρόπο από τη Γη και τον τοίχο, αλλά λόγω της τεράστιας διαφοράς μάζας, η μεταβολή της ταχύτητας της Γης είναι ανεπαίσθητα μικρή.
Γιατί οι αερόσακοι στα αυτοκίνητα βοηθούν στη μείωση των τραυματισμών σε συγκρούσεις;
- ΑπάντησηΟι αερόσακοι αυξάνουν τον χρόνο κατά τον οποίο αλλάζει η ορμή ενός ατόμου καθώς ακινητοποιείται, μειώνοντας τη μέση δύναμη κατά τη διάρκεια της σύγκρουσης. Αυτή η μείωση της δύναμης βοηθά στην ελαχιστοποίηση των τραυματισμών.
Αν δύο αντικείμενα με την ίδια μάζα έχουν αντίθετες ταχύτητες ίσου μεγέθους και συγκρούονται μετωπικά, ποια θα είναι η συνδυασμένη ταχύτητά τους μετά τη σύγκρουση;
- ΑπάντησηΥποθέτοντας μια ελαστική σύγκρουση και χωρίς εξωτερικές δυνάμεις, τα αντικείμενα θα αναπηδήσουν πίσω με την ίδια ταχύτητα αλλά προς την αντίθετη κατεύθυνση. Εάν η σύγκρουση είναι εντελώς ανελαστική, θα κολλήσουν μεταξύ τους και θα σταματήσουν, καθώς οι ορμές τους θα αλληλοεξουδετερωθούν.
Γιατί οι μπάλες που αναπηδούν τελικά σταματούν ακόμα κι αν βρίσκονται στο κενό (χωρίς αντίσταση αέρα);
- ΑπάντησηΕνώ το κενό εξαλείφει την αντίσταση του αέρα, δεν εμποδίζει την μπάλα να υποστεί ανελαστικές συγκρούσεις με το έδαφος. Κάθε φορά που η μπάλα αναπηδά, κάποια κινητική ενέργεια μετατρέπεται σε άλλες μορφές (όπως ήχο ή ενέργεια παραμόρφωσης), προκαλώντας την μπάλα να αναπηδά χαμηλότερα με κάθε διαδοχική αναπήδηση μέχρι να σταματήσει.
Πώς μπορεί η ορμή να «κρυφτεί» σε συστήματα, όπως τα περιστρεφόμενα αντικείμενα;

ΑπάντησηΕνώ η γραμμική ορμή διατηρεί την ευθύγραμμη κίνηση των αντικειμένων, τα περιστρεφόμενα αντικείμενα έχουν στροφορμή. Ένα αντικείμενο μπορεί να έχει μηδενική γραμμική ορμή αλλά σημαντική στροφορμή εάν περιστρέφεται. Για παράδειγμα, μια σβούρα σε ηρεμία πάνω σε ένα τραπέζι δεν έχει γραμμική ορμή αλλά έχει στροφορμή λόγω της περιστροφής της.