Προσθήκη διανυσμάτων

Άρθρο σχετικά με την πρόσθεση διανυσμάτων

1. Ποσότητες διανύσματος και βαθμωτού

Εκτός από τα θεμελιώδη και τα παράγωγα μεγέθη, τα φυσικά μεγέθη μπορούν να χωριστούν σε δύο άλλους τύπους, δηλαδή στα βαθμωτά μεγέθη και στα διανυσματικά μεγέθη. Μεγέθη όπως η μάζα, η απόσταση, ο χρόνος και ο όγκος είναι βαθμωτά μεγέθη, δηλαδή μεγέθη που έχουν μόνο μέγεθος αλλά δεν έχουν κατεύθυνση. Ενώ μεγέθη όπως η μετατόπιση, η ταχύτητα, η επιτάχυνση και η δύναμη είναι διανυσματικά μεγέθη, δηλαδή μεγέθη που έχουν μέγεθος και έχουν επίσης κατεύθυνση.

α. Διαφορά μεταξύ s θερμικής και διανυσματικής ποσότητας

Αν πείτε ότι η μάζα μιας μπάλας είναι 400 γραμμάρια, αυτή η δήλωση είναι αρκετή για να μάθετε τη μάζα της μπάλας. Δεν χρειάζεστε κατεύθυνση για να βρείτε τη μάζα της μπάλας. Ομοίως, ισχύει και για τον χρόνο, τη θερμοκρασία, τον όγκο, την πυκνότητα κ.λπ. Υπάρχουν πολλά φυσικά μεγέθη που δεν μπορούν να εκφραστούν μόνο σε μέγεθος. Αν πείτε ότι ένα παιδί κινείται μέχρι και 100 μέτρα, τότε αυτή η δήλωση δεν είναι αρκετή. Μπορεί να ρωτήσετε, πού κινήθηκε; Είναι βόρεια, νότια, ανατολικά ή δυτικά; Ομοίως, αν πείτε ότι σπρώχνετε το τραπέζι με δύναμη 200 Ν.

Πού οδηγείτε; Λοιπόν, τέτοιες ποσότητες ονομάζονται διανυσματικές ποσότητες, οι οποίες απαιτούν εξήγηση του μεγέθους και της κατεύθυνσης. Παραδείγματα διανυσματικών μεγεθών είναι η μετατόπιση, η επιτάχυνση, η ώθηση, η ορμή κ.λπ. Μπορείτε να τα κατανοήσετε πιο καθαρά όταν μελετάτε θέματα που σχετίζονται με αυτές τις ποσότητες.

β. Σχεδιάστε ένα διάνυσμα

Το διάνυσμα υποδεικνύεται με ένα βέλος. Το βέλος σχεδιάζεται πάντα έτσι ώστε να δείχνει προς την κατεύθυνση του διανύσματος. Το μήκος του βέλους περιγράφεται ως το μέγεθος του διανύσματος. Για παράδειγμα, στο σχήμα ενός διανύσματος δύναμης (F) με μέγεθος 2 N του οποίου η κατεύθυνση είναι προς τα βορειοανατολικά ή 45 ^° γύρω από τον άξονα x.

γ. Κανόνες για την εγγραφή διανυσματικών μεγεθών

Κατά τη σύνταξη ενός διανύσματος, εάν χρησιμοποιείτε χειρόγραφο κείμενο, το σύμβολο ενός διανύσματος γράφεται γενικά με πλάγια γράμματα χρησιμοποιώντας κεφαλαία γράμματα και από πάνω πρέπει να προστεθεί ένα βέλος. Για τα έντυπα βιβλία, τα σύμβολα διανυσμάτων γράφονται με κεφαλαία γράμματα και έντονη γραφή, για παράδειγμα, F. Για το μέγεθος του διανύσματος, εάν χρησιμοποιούμε χειρόγραφο κείμενο, τότε το μέγεθος ενός διανύσματος γράφεται, για παράδειγμα, |F|. Για τα έντυπα βιβλία, το μέγεθος ενός διανύσματος γράφεται με πλάγια γράμματα, για παράδειγμα , F.

2. Πρόσθεση διανυσμάτων—γραφικές μέθοδοι

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να προσθέσετε διανύσματα γραφικά, συμπεριλαμβανομένης της μεθόδου Tail-to-tip και της μεθόδου παραλληλογράμμου.

α. Μέθοδος πρόσθεσης διανυσμάτων από άκρη σε άκρη

Τα διανύσματα A και B είναι γνωστά. Το διάνυσμα A = 3 cm συμπίπτει με τον άξονα x (προς τα ανατολικά). Το διάνυσμα B = 2 cm σχηματίζει γωνία 30 ^μοιρών με τον άξονα x (προς τα βορειοανατολικά). Προσθέστε τα A και B γραφικά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Tail-to-tip. α) R = A + B β) R = A – B

Το μέγεθος του προκύπτοντος διανύσματος (R) μετριέται χρησιμοποιώντας έναν χάρακα. Η κατεύθυνση του προκύπτοντος διανύσματος μετριέται χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο.

Γνωστά διανύσματα A, B και C. Το διάνυσμα A = 3 cm συμπίπτει με τον άξονα x (προς τα ανατολικά). Το διάνυσμα B = 2 cm σχηματίζει γωνία 30 ^o με τον άξονα x (προς τα βορειοανατολικά). Το διάνυσμα C = 1 cm σχηματίζει γωνία 60 ^o με τον άξονα x (προς τα βορειοανατολικά). Προσθέστε τα A, B και C γραφικά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Tail-to-tip.

α) R = A + B + C

β) R = A – B – C

Το προκύπτον διάνυσμα (R) μετριέται χρησιμοποιώντας έναν χάρακα. Η κατεύθυνση του προκύπτοντος διανύσματος μετριέται χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο.

β. Μέθοδος παραλληλογράμμου

Γνωστά διανύσματα A, B και C. Το διάνυσμα A = 3 cm συμπίπτει με τον άξονα x (προς τα ανατολικά). Το διάνυσμα B = 2 cm σχηματίζει γωνία 30 ^o με τον άξονα x (προς τα βορειοανατολικά). Το διάνυσμα C = 1 cm σχηματίζει γωνία 60 ^o με τον άξονα x (προς τα βορειοανατολικά). Προσθέστε τα A, B και C γραφικά χρησιμοποιώντας ένα παραλληλόγραμμο.

α) R = A + B

β) R = A – B

γ) R = A + B + C

δ) R = A – B – C

Το προκύπτον διάνυσμα (R) μετριέται χρησιμοποιώντας έναν χάρακα. Η κατεύθυνση του προκύπτοντος διανύσματος μετριέται χρησιμοποιώντας ένα μοιρογνωμόνιο.

3. Πρόσθεση διανυσμάτων – ααναλυτικός μέθοδος

Ο προσδιορισμός του μεγέθους και της κατεύθυνσης του προκύπτοντος διανύσματος με τη γραφική μέθοδο είναι μια προσέγγιση. Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων εξαρτάται από την ακρίβεια και την ακρίβεια που επιδεικνύετε κατά τη σχεδίαση και την ανάγνωση της κλίμακας. Το μέγεθος και η κατεύθυνση του προκύπτοντος διανύσματος λαμβάνονται με μεγαλύτερη ακρίβεια μέσω μαθηματικών υπολογισμών.

α. Υπολογισμός του αθροίσματος 2 διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του συνημιτόνου

Ο τύπος για τον προσδιορισμό του μεγέθους του προκύπτοντος διανύσματος:

Ο τύπος για τον προσδιορισμό της κατεύθυνσης του προκύπτοντος διανύσματος:

C = προκύπτον διάνυσμα

A = διάνυσμα 1

Β = διάνυσμα 2

cos ∠(A, B) = γωνία που σχηματίζεται από τα διανύσματα A και B

Δείγμα προβλήματος 1:

Το F ₁ = 2 N σχηματίζει γωνία 30° περί τον άξονα x, το F ₂ = 3 N σχηματίζει γωνία 60 ^° περί τον άξονα x, θ = 30 ^°.

Δείγμα προβλήματος 2:

Το F ₁ = 2 N συμπίπτει με τον άξονα x, το F ₂ = 3 N σχηματίζει γωνία 90 ^o γύρω από τον άξονα x, θ = 90 ^o.

β. Πρόσθεση διανυσμάτων κατά στοιχεία

Εξετάστε ένα διάνυσμα F που σχηματίζει μια ορισμένη γωνία γύρω από τον άξονα x, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Τα Fx _και Fy _είναι διανύσματα που αποτελούν το διάνυσμα F.

Το μέγεθος του διανύσματος των συνιστωσών προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Fx = Fcos _θ

Fy ₌ F sin θ

Εξετάστε τα δύο διανύσματα F₁ και ΣΤ₂ η οποία σχηματίζει μια ορισμένη γωνία γύρω από τον άξονα x, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. F_1x και ΣΤ_1y είναι συστατικά του διανύσματος F₁, άρα Φ_2x και ΣΤ_2y είναι συστατικά του διανύσματος F₂.

Το διανυσματικό στοιχείο προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

F_1x = ΣΤ₁ cos θ

F _1y = F ₁ sin θ

F2x = _F2cosθ​​

F _1y = F ₁ sin θ

Προσθήκη των διανυσμάτων συστατικών:

Fx = _F1x + _F2x​

Fy = _F1y + _F2y​

Το προκύπτον διάνυσμα προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Η κατεύθυνση του προκύπτοντος διανύσματος προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Δείγμα προβλήματος 1:

Προσδιορίστε τις συνιστώσες του διανύσματος F των οποίων το μέγεθος είναι 20 N και σχηματίζουν γωνία 30 ^° ως προς τον άξονα x.

F _x = (20 N) (cos 30 ^o ) = 17 N

F _y = (20 N) (sin 30 ^o ) = 10 N

Δείγμα προβλήματος 2:

Το F ₁ = 20 N σχηματίζει γωνία 30 ^° περί τον άξονα x και το F ₂ = 15 N σχηματίζει γωνία 180° περί τον άξονα x. Προσδιορίστε το μέγεθος και την κατεύθυνση του διανύσματος που προκύπτει.

F _1x = (20 N)(cos 30 ^o ) = 17 N

F _2x = F ₁ = – 15 N

F _1y = (20 N)(sin 30 ^o ) = 10 N

F2y = ₀

Προσθήκη των διανυσμάτων συστατικών:

Fx ₌ F _1x – F _2x = 17 N – 15 N = 2 N

Fy = ₁₀ N

Το προκύπτον διάνυσμα:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ₌ 22 ^{+ 102 = 4} + 100 = ₁₀₄

F = 10.2 Ν

Κατεύθυνση του προκύπτοντος διανύσματος:

θ = tan −15 = 78.7 ^o γύρω από τον άξονα x

Δείγμα προβλήματος 3:

F₁, ΣΤ_2, και ΣΤ₃ είναι 20 Β, 30 Β και 40 Β. Φάρος₁ σχηματίζει γωνία 60^o γύρω από τον άξονα x, F₂ σχηματίζει γωνία 150^o γύρω από τον άξονα x, και F₃ σχηματίζει γωνία 315^o γύρω από τον άξονα x. Προσδιορίστε το μέγεθος και την κατεύθυνση του διανύσματος που προκύπτει.

F _1x = (20 N)(cos 60 ^o ) = 10 N

F _1y = (20 N)(sin 60 ^o ) = 17 N

F2x = ( ₃₀ N)(cos 30 ^o ) = -26 N

F _2y = (30 N)(sin 30 ^o ) = 15 N

F _3x = (40 N)(cos 45 ^o ) = 28 N

F _3y = (40 N) (sin 45 ^o ) = -28 N

Προσθήκη του διανύσματος των συστατικών:

Fx ₌ F _1x – F _2x + F _3x = 10 N – 26 N + 28 N = 12 N

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 N + 15 N – 28 N = 4 N

Προκύπτον διάνυσμα:

F2 = Fx2 ₊ Fy2 ₌ 122 ^{+ 42 = 144} + 16 = ¹⁶⁰

F = 13 Ν

Κατεύθυνση του προκύπτοντος διανύσματος:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^o γύρω από τον άξονα x