Αδράνεια στιγμής

Ροπή αδράνειας υλικού

Υπάρχουν δύο αντικείμενα, το ένα εκ των οποίων έχει μικρή μάζα και το άλλο μεγαλύτερη. Ποιο αντικείμενο κινείται ευκολότερα αν ωθηθεί με την ίδια δύναμη; Το γεγονός αυτό δείχνει ότι τα αντικείμενα με μικρότερη μάζα κινούνται ευκολότερα από τα αντικείμενα με μεγαλύτερη μάζα. Έτσι, το μέγεθος της μάζας του αντικειμένου καθορίζει το μέγεθος της επιτάχυνσης του αντικειμένου αν ασκηθεί δύναμη. Εάν σε ευθύγραμμη κίνηση, η μάζα ενός αντικειμένου καθορίζει αν ένα αντικείμενο κινείται εύκολα ή δύσκολα (επιταχύνεται), τότε σε περιστροφική κίνηση, η ροπή αδράνειας ενός αντικειμένου καθορίζει αν ένα αντικείμενο κινείται εύκολα ή δύσκολα.

σωματίδιο
Θεωρήστε ένα περιστρεφόμενο σωματίδιο. Σε ένα σωματίδιο με μάζα m δίνεται μια δύναμη F έτσι ώστε το σωματίδιο να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα περιστροφής O. Το σωματίδιο βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής. Αρχικά, το σωματίδιο βρίσκεται σε ηρεμία (v = 0). Αφού κινηθεί από τη δύναμη F, το σωματίδιο περιστρέφεται με μια ορισμένη ταχύτητα έτσι ώστε το σωματίδιο να έχει εφαπτομενική επιτάχυνση (tan).
Η σχέση μεταξύ της δύναμης (F), της μάζας (m) και της εφαπτομενικής επιτάχυνσης (a tan) ενός σωματιδίου εκφράζεται από την εξίσωση:
Το σωματίδιο περιστρέφεται έτσι ώστε να έχει γωνιακή επιτάχυνση. Η σχέση μεταξύ εφαπτομενικής επιτάχυνσης και γωνιακής επιτάχυνσης εκφράζεται από την εξίσωση:
Αντικαταστήστε την εφαπτομενική επιτάχυνση (a tangently out) στην εξίσωση 3 με την εφαπτομενική επιτάχυνση (a tangently out) στην εξίσωση 4.
Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με το r:
r F είναι η ροπή δύναμης και mr² είναι η ροπή αδράνειας του σωματιδίου I). Η Εξίσωση 5 δηλώνει τη σχέση μεταξύ της ροπής δύναμης, της ροπής αδράνειας και της γωνιακής επιτάχυνσης ενός περιστρεφόμενου σωματιδίου. Η Εξίσωση 5 είναι η εξίσωση του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για ένα περιστρεφόμενο σωματίδιο.
Το I είναι το γινόμενο της μάζας του σωματιδίου (m) επί το τετράγωνο της απόστασης του σωματιδίου από τον άξονα περιστροφής (r).²).
Πληροφορίες:
I = ροπή αδράνειας σωματιδίου, m = μάζα σωματιδίου, r = απόσταση μεταξύ σωματιδίου και άξονα περιστροφής
Η εξίσωση 6 χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ροπής αδράνειας ενός περιστρεφόμενου σωματιδίου.
Για να κατανοήσετε καλύτερα την ανασκόπηση σχετικά με τη ροπή αδράνειας των σωματιδίων, παρακαλούμε Μελετήστε παραδείγματα προβλημάτων ροπής αδράνειας σωματιδίων.

Ομογενές άκαμπτο σώμα
Ένα άκαμπτο σώμα αποτελείται από πολλά σωματίδια διασκορπισμένα σε όλο το σώμα. Η ροπή ενός άκαμπτου σώματος είναι το άθροισμα όλων των ροπών κάθε σωματιδίου που το αποτελεί.
Για να προσδιοριστεί το I ενός άκαμπτου αντικειμένου, το αντικείμενο παρατηρείται ενώ περιστρέφεται, επειδή η θέση του άξονα περιστροφής επηρεάζει την τιμή της ροπής. Εκτός από την εξάρτηση από τη θέση του άξονα περιστροφής, το I ενός σωματιδίου εξαρτάται επίσης από τη μάζα του σωματιδίου (m) και το τετράγωνο της απόστασης του σωματιδίου από τον άξονα περιστροφής (r).²Η μάζα όλων των σωματιδίων που αποτελούν ένα αντικείμενο είναι η ίδια με τη μάζα του ίδιου του αντικειμένου. Το πρόβλημα είναι ότι η απόσταση κάθε σωματιδίου από τον άξονα περιστροφής ποικίλλει.
Εξετάστε την εξαγωγή του τύπου για έναν λεπτό δακτύλιο ακτίνας R και μάζας M. Εάν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται στο κέντρο του δακτυλίου, τότε όλα τα σωματίδια που αποτελούν τον δακτύλιο βρίσκονται σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής. Το I του λεπτού δακτυλίου ισούται με το άθροισμα των ροπών όλων των σωματιδίων που αποτελούν τον δακτύλιο.
Κάθε σωματίδιο που αποτελεί τον λεπτό δακτύλιο βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής, έτσι ώστε r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Τύπος για λεπτό δακτύλιο:
Ι = ΜΡ²
Πληροφορίες:
I = ροπή αδράνειας του λεπτού δακτυλίου, M = μάζα του λεπτού δακτυλίου, R = ακτίνα του λεπτού δακτυλίου
Τι γίνεται αν ο άξονας περιστροφής δεν βρίσκεται στο κέντρο του δακτυλίου; Εάν ο άξονας περιστροφής δεν βρίσκεται στο κέντρο του δακτυλίου, ο τύπος για τον λεπτό δακτύλιο δεν μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας την παραπάνω μέθοδο, επειδή η απόσταση κάθε σωματιδίου από τον άξονα περιστροφής ποικίλλει.

Τύπος για ομοιογενές άκαμπτο σώμα
Οι παρακάτω είναι τύποι για αρκετά ομογενή άκαμπτα σώματα.

Παράδειγμα προβλημάτων

1. Ερωτήσεις Πανελλαδικών Εξετάσεων SMA/MA 2017

Δώστε προσοχή στον παρακάτω πίνακα!

Τα αντικείμενα P, Q και R συνδέονται με μια άμαζα ράβδο. Το μέγεθος της ροπής αδράνειας του συστήματος ως προς έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του αντικειμένου P είναι…

Συζήτηση

Είναι γνωστό:

Ερώτηση: Ροπή αδράνειας του συστήματος

Τζαβάμπ:

Ροπή αδράνειας του αντικειμένου Q:

I _Q = mr2 ⁼ (0,5)(102 ⁾ = (0,5)(100) = 50 kg ^m2

Ροπή αδράνειας του αντικειμένου R:

I _R = mr2 ⁼ (3)( ⁶² ) = (3)(36) = 108 kg ^m2

Ροπή αδράνειας του αντικειμένου P:

Ο άξονας περιστροφής διέρχεται από τον άξονα του αντικειμένου P έτσι ώστε r = 0.

Ροπή αδράνειας του συστήματος:

I = 50 kg m ² + 108 kg m ²

I = 158 kg m ²