4 Παραδείγματα ερωτήσεων σύνδεσης τροχού-τροχού
1. Δύο τροχοί Α και Β συνδέονται με μια κορδέλα (δείτε την εικόνα). Αν η ακτίνα του Α είναι διπλάσια από την ακτίνα του Β, τότε αυτό που συμβαίνει είναι...
Α. vA = 2 vB
Β. vA = 1/2 vB
Γ. vA = vB
Δ. ωΑ = ωΒ
Ε. ωΑ = 2 ωΒ
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Ακτίνα του τροχού A (rA) = διπλάσια ακτίνα του τροχού B (2 rB)
Ερωτηθείς:
– Η σχέση μεταξύ της γραμμικής ταχύτητας του τροχού Α (vA) και της γραμμικής ταχύτητας του τροχού Β (vB)
– Η σχέση μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας του τροχού Α (ωA) και της γωνιακής ταχύτητας του τροχού Β (ωA).
Απάντηση:
Οι τροχοί Α και Β συνδέονται με μια ταινία έτσι ώστε όταν περιστρέφεται ο τροχός Α, να περιστρέφεται και ο τροχός Β. Αν σε 1 δευτερόλεπτο η επιφάνεια του τροχού Α κινείται κατά 1 μέτρο, τότε η επιφάνεια του τροχού Β κινείται επίσης κατά 1 μέτρο σε 1 δευτερόλεπτο. Έτσι, η γραμμική ταχύτητα του τροχού Α είναι η ίδια με τη γραμμική ταχύτητα του τροχού Β (vA = vB).
Από την άλλη πλευρά, αν ο τροχός Β έχει ολοκληρώσει μία περιστροφή, ο τροχός Α δεν έχει ολοκληρώσει μία περιστροφή επειδή η περιφέρεια του τροχού Β είναι μικρότερη ενώ η περιφέρεια του τροχού Α είναι μεγαλύτερη. Με άλλα λόγια, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α δεν είναι η ίδια με τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ της γωνιακής ταχύτητας του τροχού Α και της γωνιακής ταχύτητας του τροχού Β;
Ταχύτητα τροχού A: vA = rA ωA = 2rB ωA
Ταχύτητα τροχού Β: vB = rB ωB
Η ταχύτητα του τροχού Α είναι η ίδια με την ταχύτητα του τροχού Β:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωΑ = ωΒ
ωΑ = 1/2 ωΒ
Η σωστή απάντηση είναι η Γ.
2. Τρεις τροχοί A, B και C είναι συνδεδεμένοι μεταξύ τους όπως φαίνεται στο σχήμα. Εάν οι ακτίνες των τροχών A, B και C είναι 20 cm, 8 cm και 4 cm αντίστοιχα, και ο τροχός B περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα 10 rad.s.-1, τότε ο τροχός C περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα τόσο μεγάλο όσο…
Α. 80 ακτίνια/δευτερόλεπτο-1
Β. 50 ακτίνια/δευτερόλεπτο-1
Γύρω στα 40 ακτίνια του δευτερολέπτου-1
Δ. 20 ακτίνια/δευτερόλεπτο-1
Α. 10 ακτ./δευτ.-1
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Ακτίνα τροχού A (rA) = 20 cm = 0,2 μέτρα
Ακτίνα τροχού B (rB) = 8 cm = 0,08 μέτρα
Ακτίνα τροχού C (rC) = 4 cm = 0,04 μέτρα
Γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β (ωΒ) = 10 rad/s
Ερώτηση: Γωνιακή ταχύτητα τροχού C (ωC)
Απάντηση:
Γωνιακή ταχύτητα και γραμμική ταχύτητα της ζάντας Α
Ο τροχός Α και ο τροχός Β είναι συνδεδεμένοι μεταξύ τους, επομένως περιστρέφονται μαζί. Αν ο τροχός Β περιστρέφεται κυκλικά κατά μία περιστροφή (360o), τότε κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, ο τροχός Α κινείται επίσης κυκλικά κατά μία περιστροφή (360o). Επειδή περιστρέφονται μαζί, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α (ωA) είναι η ίδια με τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β (ωB).
Γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α:
ωA = ωB = 10 ακτίνια/δευτερόλεπτο
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας A:
Το μέγεθος της γραμμικής ταχύτητας της ακμής του τροχού Α υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη σχέση μεταξύ γραμμικής ταχύτητας και γωνιακής ταχύτητας, v = rω.
vA = rA ωA = (0,2 m)(10 rad/s) = 2 m/s
Γωνιακή ταχύτητα και γραμμική ταχύτητα της ζάντας C
Η περιφέρεια του τροχού Α είναι πολύ μεγαλύτερη από την περιφέρεια του τροχού C. Όταν ο τροχός C έχει κινηθεί κυκλικά κατά μία περιστροφή (360°), κατά το ίδιο χρονικό διάστημα ο τροχός Α δεν έχει ολοκληρώσει ακόμη ούτε μία περιστροφή (360°).o). Έτσι, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α δεν είναι η ίδια με τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού C.
Ωστόσο, οι τροχοί A και C συνδέονται μεταξύ τους με σχοινί ή αλυσίδα. Επειδή είναι συνδεδεμένοι, κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, η απόσταση που διανύει η άκρη του τροχού A είναι η ίδια με την απόσταση που διανύει η άκρη του τροχού C. Έτσι, η γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού C (vC) είναι η ίδια με τη γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού A (vA).
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας C:
vC = vA = 2 m/s
Γωνιακή ταχύτητα του τροχού C:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 ακτίνια/δευτερόλεπτο = 50 ακτίνια/δευτερόλεπτο-1.
Η σωστή απάντηση είναι η Β.
3. Ένα σύστημα τροχών με ακτίνες RA = 2 cm, RB = 4 cm και RC = 10 cm είναι συνδεδεμένο όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο τροχός Β περιστρέφεται με 60 στροφές ανά λεπτό, επομένως η γραμμική ταχύτητα του τροχού C είναι…
Α. 8π cm.s-1
Β. 12 εκ.-1
Γ. 12π cm.s-1
Δ. 24 εκ./δευτ.-1
E. 24π cm.s-1
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Ακτίνα τροχού A (rA) = 2 cm
Ακτίνα τροχού B (rB) = 4 cm
Ακτίνα τροχού C (rC) = 10 cm
Γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β (ωB) = 60 στροφές/λεπτό = 60 στροφές/60 δευτερόλεπτα = 1 στροφή/δευτερόλεπτο = 1(2π ακτίνια)/δευτερόλεπτο = 2π ακτίνια/δευτερόλεπτο
Ερώτηση: Γραμμική ταχύτητα του τροχού C (vC)
Απάντηση:
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας Β
Γραμμική ταχύτητα της ακμής του τροχού Β:
vB = rB ωB = (4 cm)(2π rad/s) = 8π cm/s
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας Α
Ο τροχός Α και ο τροχός Β συνδέονται με ένα σχοινί, έτσι ώστε η γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού Α (vA) να είναι η ίδια με τη γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού Β (vB).
vA = vB = 8π cm/s
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας C
Ο τροχός C και ο τροχός A συνδέονται με ένα σχοινί, έτσι ώστε η γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού C (vC) να είναι η ίδια με τη γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού A (vA).
vC = vA = vB = 8π cm/s
Η σωστή απάντηση είναι το Α.
4. Εξετάστε τις ακόλουθες σχέσεις τροχών! Οι ακτίνες του τροχού RA = 25 cm, RB = 15 cm, RC = 40 cm και ο τροχός C περιστρέφεται με ταχύτητα περιστροφής 60 στροφών ανά λεπτό. Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού A είναι…
Α. 2,5π rad.s-1
Β. 3π ακτ./δευτ.-1
Γ. 3,2π ακτ./δευτ.-1
Δ. 3,5π ακτ./δευτ.-1
E. 3,8π rad.s-1
Συζήτηση
Είναι γνωστό ότι:
Ακτίνα τροχού A (rA) = 25 cm = 0,25 μέτρα
Ακτίνα τροχού B (rB) = 15 cm = 0,15 μέτρα
Ακτίνα τροχού C (rC) = 40 cm = 0,4 μέτρα
Γωνιακή ταχύτητα τροχού C (ωC) = 60 στροφές/λεπτό = 60 στροφές/60 δευτερόλεπτα = 1 στροφή/δευτερόλεπτο = 1(2π ακτίνια)/δευτερόλεπτο = 2π ακτίνια/δευτερόλεπτο
Ερώτηση: Γωνιακή ταχύτητα του τροχού A (ωA)
Απάντηση:
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας C:
vC = rC ωC = (0,4 m)(2π rad/s) = 0,8π m/s
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας Β
Ο τροχός C και ο τροχός B συνδέονται με ένα σχοινί, έτσι ώστε η γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού C (vC) να είναι η ίδια με τη γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού B (vB).
vB = vC = 0,8π m/s
Γωνιακή ταχύτητα και γραμμική ταχύτητα της ζάντας Α
Ο τροχός Α και ο τροχός Β συνδέονται μεταξύ τους όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα, επομένως η γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α δεν είναι η ίδια με τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού Β. Αυτό συμβαίνει επειδή η περιφέρεια του τροχού Α είναι μεγαλύτερη από αυτή του τροχού Β. Κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, όταν ο τροχός Α έχει κινηθεί κυκλικά κατά μία περιστροφή (360o), ο τροχός Β δεν έχει φτάσει ακόμη σε μία περιστροφή (360o). Ωστόσο, κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, η απόσταση που διανύει η άκρη του τροχού Α είναι η ίδια με την απόσταση που διανύει η άκρη του τροχού Β. Έτσι, η γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού Α (vA) είναι η ίδια με τη γραμμική ταχύτητα της άκρης του τροχού Β (vB).
Γραμμική ταχύτητα της ζάντας Α
vA = vB = vC = 0,8π m/s
Γωνιακή ταχύτητα του τροχού Α
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2π rad/s
Η σωστή απάντηση είναι η Γ.
