Artikel über die Poiseuille-Gleichung
Die Poiseuille-Gleichung wurde von Jean Louis Marie Poiseuille (1799–1869) entdeckt. Wie bereits erläutert, kann jede Flüssigkeit als ideale Flüssigkeit betrachtet werden. Eine ideale Flüssigkeit besitzt keine Viskosität. Fließt eine ideale Flüssigkeit durch ein Rohr, bewegt sich jeder Teil der Flüssigkeit mit der gleichen Geschwindigkeit (v). Im Gegensatz zu einer idealen Flüssigkeit besitzt die reale Flüssigkeit, mit der wir im Alltag in Berührung kommen, Viskosität. Aufgrund dieser Viskosität variiert die Fließgeschwindigkeit der einzelnen Flüssigkeitsschichten, beispielsweise beim Fließen durch ein Rohr. Die Flüssigkeitsschicht in der Mitte bewegt sich schneller (v = 0), während die an der Rohrwand liegende Schicht stillsteht (v = 0). Somit bewegt sich jede Flüssigkeitsschicht innerhalb des Rohrs mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Zur Veranschaulichung betrachten Sie bitte die Abbildung unten.
R = Radius des Rohres/Schlauches
v 1 = Flüssigkeitsdurchflussrate in der Mitte / Rohrachse
v₂ = Flüssigkeitsdurchflussrate in einem Abstand r₂ vom Rohrrand.
v 3 = Flüssigkeitsdurchflussrate r 3 vom Rand des Rohres
v 4 = Flüssigkeitsdurchflussrate r 4 vom Rohrrand
r = Entfernung
Damit die Durchflussrate in allen Bereichen einer Flüssigkeit gleich ist, muss an beiden Enden eines Rohres oder einer Leitung, durch die die Flüssigkeit fließt, ein Druckunterschied herrschen. Gemeint ist hier eine reale Flüssigkeit, beispielsweise Wasser oder Öl, das durch ein Rohr fließt, Blut in einem Blutgefäß usw. Der Druckunterschied sorgt nicht nur für einen gleichmäßigen Flüssigkeitsfluss, sondern ermöglicht auch den Durchfluss von Flüssigkeiten in Rohren mit unterschiedlichen Höhen.
Jean Louis Marie Poiseuille, ein ehemaliger französischer Wissenschaftler, der sich für die physikalischen Aspekte des menschlichen Blutkreislaufs interessierte, untersuchte, wie Faktoren wie Druckunterschiede, Querschnittsfläche und Durchmesser von Blutgefäßen die tatsächliche Durchflussrate beeinflussen. Die von Jean Louis Marie Poiseuille erzielten Ergebnisse sind als Poiseuille-Gleichung bekannt.
Die Poiseuille-Gleichung lässt sich mithilfe einer zuvor berechneten Viskositätskoeffizientengleichung herleiten. Wir verwenden diese Gleichung, da die Fälle zwar ähnlich, aber nicht identisch sind. Bei der Herleitung der Viskositätskoeffizientengleichung betrachten wir die Strömung einer realen Flüssigkeitsschicht zwischen zwei parallelen Platten. Die Flüssigkeit kann sich aufgrund der Anziehungskraft (F) bewegen. Der Unterschied besteht darin, dass die herzuleitende Poiseuille-Gleichung die Faktoren beschreibt, die die Strömung einer realen Flüssigkeit in einem Rohr beeinflussen, sowie die durch den Druckunterschied bedingte Strömung. Daher muss die Viskositätskoeffizientengleichung entsprechend angepasst werden.
Eine Flüssigkeit kann aufgrund eines Druckunterschieds fließen (die Flüssigkeit fließt von einem Ort mit hohem Druck zu einem Ort mit niedrigem Druck), dann ersetzen wir F durch p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Bei der Herleitung der Viskositätskoeffizientengleichung betrachten wir die Strömung einer realen Flüssigkeitsschicht zwischen zwei parallelen Platten. Jeder Flüssigkeitsanteil ändert seine Geschwindigkeit gleichmäßig entlang einer Strecke l. In diesem Fall ändert sich die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit gleichmäßig von der Rohrachse zum Rohrrand. Die Flüssigkeit strömt entlang der Rohrachse mit einer höheren Geschwindigkeit (v). Je weiter man sich vom Rand entfernt, desto geringer ist die Strömungsgeschwindigkeit. Der Rohrradius entspricht dem Abstand zwischen der Rohrachse und dem Rohrrand und beträgt R. Der Abstand zwischen jedem Flüssigkeitsanteil und dem Rohrrand beträgt r. Da die Menge jedes Flüssigkeitsanteils groß ist und der Abstand vom Rohrrand ebenfalls variiert, können wir die Gleichung wie folgt schreiben:
v 1 = die Geschwindigkeit des Fluids im Abstand r 1 vom Rand des Rohrs (r 1 = R)
v 2 = die Geschwindigkeit des Fluids in einem Abstand r 2 vom Rand des Rohrs (r 2 < r 1 )
v 3 = die Geschwindigkeit des Fluids im Abstand r 3 vom Rand des Rohres (r 3 < r 2 < r 1 )
v 4 = die Geschwindigkeit des Fluids im Abstand r 4 vom Rand des Rohrs (r 4 < r 3 < r 2 < r 1 )
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v n = die Durchflussrate der Flüssigkeit im Abstand rn vom Rand des Rohres (rn <…… <r 4 <r 3 <r 2 <r 1 )
Die Menge jedes Flüssigkeitsteils ist enorm, und da wir die genaue Menge nicht kennen, genügt es, sie mit dem Symbol n zu bezeichnen. Jeder Flüssigkeitsteil ändert seine Geschwindigkeit (v) regelmäßig von der Rohrachse (r₁ = R) zum Rohrrand (rn). Von der Rohrachse (r₁ = R) zum Rohrrand (rn) nimmt die Geschwindigkeit jedes Flüssigkeitsteils ab (v₁ > v₂ > v₃ > v₄ > … > vₙ ).
Aus der obigen Erklärung lässt sich ableiten, dass die Durchflussrate von R nach rn abnimmt. Rohrlänge = L. Erhaltene Gleichung:
Da wir die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids betrachten , vereinfacht sich Gleichung 2 zu:
Dies ist die Gleichung für die Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids im Abstand r von einem Rohr mit Radius R. Falls Sie beim Betrachten der obigen Abbildung verwirrt sind… Bitte beachten Sie, dass das Fluid in einem Rohr strömt, daher müssen wir den Volumenstrom des Fluids betrachten.
Im Inneren des Rohrs befindet sich eine Flüssigkeit. Wir teilen die Flüssigkeit beispielsweise in winzige Teile auf, wobei jeder Teil eine Einheitsfläche dA hat, von der Rohrachse beabstandet ist und eine Strömungsgeschwindigkeit v aufweist. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:
dA 1 = Fluidteil 1, d. h. der Abstand dr 1 von der Rohrachse
dA 2 = Fluidteil 2, d. h. der Abstand dr 2 von der Rohrachse
dA 3 = Fluidabschnitt 3, der einen Abstand dr 3 von der Rohrachse hat.
..................................
dAn = Fluidanteil n, der den Abstand dn von der Rohrachse angibt.
Da es sich um sehr viele Flüssigkeitsanteile handelt, wird dies aus praktischen Gründen einfach mit dem Symbol n bezeichnet. Der Volumenstrom jedes Flüssigkeitsanteils lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken:
Jeder Flüssigkeitsteil befindet sich in einem Abstand von r = 0 bis r = R (R = Rohrradius). Anders ausgedrückt: Der Abstand jedes Flüssigkeitsteils variiert, gemessen von der Rohrachse. Wir erhalten die Gleichung für den Volumenstrom der Flüssigkeit im Rohr:
Q = Durchflussmenge, R = Radius eines Rohres oder Schlauchs, η = Viskositätskoeffizient, P 1 – p 2 = Druckdifferenz zwischen den beiden Rohrenden, L = Rohrlänge, p 1 -p 2 / L = Druckgradient (die Strömung erfolgt immer in Richtung des Druckabfalls)
Aus der obigen Poiseuille-Gleichung geht hervor, dass der Volumenstrom (Q) proportional zum Rohrradius (R₄) und zum Druckgradienten (p₂ – p₁/L) und umgekehrt proportional zur Viskosität ist . Wird der Rohrradius berücksichtigt (Viskositätskoeffizient und konstanter Druckgradient), erhöht sich die Strömungsgeschwindigkeit um den Faktor 16.
Diese Gleichung gilt als Grundprinzip der Rohrleitungsplanung. Der Flüssigkeitsdurchfluss ist proportional zu R⁴ ( R = Rohrradius). Der Radius der Spritzen- oder Rohranschlüsse muss sorgfältig berechnet werden. Verdoppelt man beispielsweise den Nadelradius (r × 2), so erhöht sich der versprühte Flüssigkeitsdurchfluss um das 16-Fache der Daumendruckkraft.
Die Poiseuille-Gleichung zeigt auch, dass der Radius (r⁴ ) umgekehrt proportional zur Druckdifferenz zwischen den beiden Enden des Rohrs ist. Beispielsweise fließt Blut zunächst in einem Blutgefäß mit dem Innenradius r. Bei einer Verengung der Arterien (z. B. halbiert sich der Radius der Blutgefäße auf r/2)
Dann ist ein Druckunterschied von 16 Mal erforderlich, um den Blutfluss wie zuvor wiederherzustellen (sodass die Fließgeschwindigkeit konstant ist).
