Vollkommen elastische Stöße
Ein Stoß zweier Objekte wird als vollkommen elastischer Stoß bezeichnet, wenn der Impuls bzw. die kinetische Energie jedes Objekts vor dem Stoß gleich dem Impuls bzw. der kinetischen Energie jedes Objekts nach dem Stoß ist. Mit anderen Worten: Der Impulserhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz gelten bei vollkommen elastischen Stößen. Der Begriff „elastisch“ bedeutet, dass die beiden Objekte nach dem Stoß nicht aneinander haften bleiben, sondern voneinander abprallen. Der Impuls jedes Objekts bleibt erhalten.
Der Impuls jedes Objekts bleibt erhalten.
m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁ ' + m₂v₂ ' ………………… .. Gleichung 1.5
Die kinetische Energie jedes Objekts bleibt erhalten.
1/2 mv₁² + 1/2 mv₂² = 1/2 mv₁'² + 1/2 mv₂'² ………………… .. Gleichung 1.6
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Ein vollkommen elastischer Stoß ist geräuschlos und erzeugt keine Wärme durch Reibung zwischen den Stoßpartnern. Entsteht bei einem Stoß Lärm und Wärme, so ist die kinetische Energie der Objekte nicht erhalten. Ein Teil der kinetischen Energie wird in Schall- und Wärmeenergie umgewandelt, ein anderer Teil in innere Energie. Ein Beispiel für einen vollkommen elastischen Stoß ist die Kollision von Atom- und subatomaren Teilchen.
Bei einem Problem des vollkommen elastischen Stoßes, bei dem die Anfangsgeschwindigkeit bekannt, die Endgeschwindigkeit jedoch unbekannt ist, kann das Problem nicht allein mit den Gleichungen 1.5 und 1.6 gelöst werden. Aus diesem Grund werden beide Gleichungen umgeformt, um weitere Gleichungen abzuleiten, mit denen die Endgeschwindigkeit bestimmt werden kann.
Faktor 1/2 entfernen und dann 1.6 manipulieren.
m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 = m 1 v 1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
m₁ ( v₁² – v₁'² ) = m₂ ( v₂'² – v₂² ) — > ( a + b )(a – b ) = a² – b²
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. Gleichung 1.7
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Gleichung 1.5 umformen
m 1 v 1 – m 1 v 1 ' = m 2 v 2 ' - m 2 v 2
m₁ ( v₁ – v₁ ' ) = m₂ ( v₂ ' – v₂ ) ………………….. Gleichung 1.8
Dividiere Gleichung 1.7 durch Gleichung 1.8, um das Endergebnis zu erhalten.
(v 1 + v 1 ') = (v 2 ' + v 2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v₁ – v₂ = – ( v₁ ' – v₂ ' ) ………………….. Gleichung 1.9
Die Gleichungen 1.5 und 1.9 können zur Lösung von Problemen vollkommen elastischer Stöße verwendet werden. Durch Kombination der Gleichungen 1.5 und 1.9 erhält man zwei Gleichungen zur Bestimmung der Endgeschwindigkeiten zweier Objekte, wenn deren Massen und Anfangsgeschwindigkeiten unbekannt sind.
Bei der Lösung von Aufgaben mithilfe der obigen Gleichungen muss das Vorzeichen für v₁ und v₂ korrekt sein . Bewegt sich Objekt 1 nach rechts, ist v₁ positiv ; bewegt sich Objekt 2 nach links, ist v₂ negativ . Bewegen sich beide Objekte in unterschiedliche Richtungen, ohne dass die Bewegungsrichtung bekannt ist, müssen v₁ und v₂ unterschiedliche Vorzeichen haben, beispielsweise ist v₁ positiv und v₂ negativ.
4.1.1 Zwei Objekte gleicher Masse
Wenn m 1 = m 2 , v 1 ' = v 2 und v 2 ' = v 1.
Was passiert, wenn sich die beiden Objekte in unterschiedliche Richtungen bewegen?
Wenn sich beispielsweise vor der Kollision Objekt 1 nach rechts und Objekt 2 nach links bewegt, bewegt sich Objekt 1 nach der Kollision nach links (v 1 ' = – v 2 ) und Objekt 2 bewegt sich nach der Kollision nach rechts (v 2 ' = v 1 ).
Was passiert, wenn sich eines der Objekte anfänglich in Ruhe befindet?
Befindet sich Objekt 2 beispielsweise vor dem Zusammenstoß in Ruhe (v₂ = 0), so befindet sich auch Objekt 1 nach dem Zusammenstoß in Ruhe (v₁ ' = 0), und Objekt 2 bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Anfangsgeschwindigkeit von Objekt 1 (v₂ ' = v₁ ) . Bewegt sich Objekt 1 vor dem Zusammenstoß nach rechts, so bewegt sich auch Objekt 2 nach dem Zusammenstoß nach rechts. Die beiden Objekte tauschen also ihre Geschwindigkeiten aus.
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Beispielaufgabe 4
Die Objekte A (2 kg) und B (2 kg) bewegen sich mit Geschwindigkeiten von 4 m/s bzw. 2 m/s in entgegengesetzte Richtungen. Wie groß sind die Endgeschwindigkeiten der Objekte A und B bei einem vollkommen elastischen Stoß?
Bekannt:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
Gesucht: v A und v B
Lösung:
v A ' = – 2 m/s und v B ' = 4 m/s
Nach dem Zusammenstoß bewegt sich Objekt A mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s und Objekt B mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s in entgegengesetzte Richtungen. Bewegte sich Objekt A vor dem Zusammenstoß nach rechts und Objekt B nach links, so bewegt sich Objekt A nach dem Zusammenstoß nach links und Objekt B nach rechts.
Beispielaufgabe 5
Objekt A (2 kg) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s nach rechts und stößt mit dem ruhenden Objekt B (2 kg) zusammen. Wenn es sich um einen vollkommen elastischen Stoß handelt, wie groß sind die Endgeschwindigkeiten von Objekt A und B?
Bekannt:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
Gesucht: v A und v B
Lösung:
v A ' = 0 und v B ' = 2 m/s
Nach dem Zusammenstoß befindet sich Objekt A in Ruhe, Objekt B bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s nach rechts.
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4.1.2 Zwei Objekte unterschiedlicher Masse
Wenn zwei Objekte unterschiedliche Anfangsgeschwindigkeiten und Massen haben (geringfügiger Unterschied), sind die Endgeschwindigkeiten mit Hilfe der Gleichungen 1.10 und 1.11 bekannt.
Wenn Objekt 2 anfänglich in Ruhe ist (v 2 = 0), wird Gleichung 1.10 zu Gleichung 1.12 und Gleichung 1.11 zu Gleichung 1.13.
Wenn v₂ = 0, ist m₁ sehr groß und m₂ sehr klein. Durch Lösen der Gleichungen 1.12 und 1.13 erhält man v₁ ' = v₁ und v₂ ' = 2v₁ . Wenn v₂ = 0, ist m₁ sehr klein und m₂ sehr groß. Durch Lösen der Gleichungen 1.12 und 1.13 erhält man v₁ ' = -v₁ und v₂ ' = 0. Positive und negative Vorzeichen kennzeichnen entgegengesetzte Bewegungsrichtungen.
Beispielaufgabe 6
Ein Objekt mit einer Masse von 1 kg bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s und stößt mit einer Wand in einem vollkommen elastischen Stoß zusammen. Wie groß sind die Endgeschwindigkeiten des Objekts und der Wand?
Bekannt:
m <sub> A </sub> = 1 kg, v<sub> A</sub> = 20 m/s, m<sub> B</sub> = sehr groß, v<sub> B</sub> = 0
Gesucht : v A und v B
Lösung:
v A ' = -20 m/s und v B ' = 0
Nach dem Zusammenstoß prallt Objekt A mit einer Geschwindigkeit von 20 m/s ab, während Objekt B in Ruhe bleibt. Bewegt sich Objekt A vor dem Zusammenstoß nach rechts, so bewegt es sich nach dem Zusammenstoß nach links.
