Sie wird Poiseuille-Gleichung genannt, weil sie von Jean Louis Marie Poiseuille (1799–1869) entdeckt wurde. Wie bereits erklärt, kann jede Flüssigkeit als ideale Flüssigkeit betrachtet werden. Ideale Flüssigkeiten besitzen keine Viskosität. Stellen wir uns eine ideale Flüssigkeit vor, die durch ein Rohr fließt: Jeder Teil der Flüssigkeit bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit (v). Im Gegensatz zu idealen Flüssigkeiten besitzen reale Flüssigkeiten, also die Flüssigkeiten, denen wir im Alltag begegnen, Viskosität. Aufgrund dieser Viskosität variiert die Geschwindigkeit der einzelnen Flüssigkeitsschichten, beispielsweise beim Fließen durch ein Rohr. Die Flüssigkeitsschicht in der Mitte bewegt sich schneller (v ist groß), während die an der Rohrwand liegende Schicht stillsteht (v = 0). Somit bewegt sich die Flüssigkeit von der Mitte bis zum Rand des Rohrs mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten. Zur Veranschaulichung sehen Sie sich die folgende Abbildung an…
Information :
R = Radius des Rohrs/Schlauchs
v 1 = Flüssigkeitsdurchflussrate in der Mitte/Achse des Rohres
v₂ = Volumenstrom des Fluids im Abstand r₂ vom Rohrrand
v 3 = Flüssigkeitsdurchflussrate im Abstand r 3 vom Rohrrand
v 4 = Flüssigkeitsdurchflussrate im Abstand r 4 vom Rohrrand
r = Abstand
Um sicherzustellen, dass jede Flüssigkeit die gleiche Durchflussrate aufweist, muss an beiden Enden eines jeden Rohres oder Schlauchs, durch den die Flüssigkeit fließt, ein Druckunterschied herrschen. Mit Flüssigkeit sind hier reale Fluide gemeint, wie beispielsweise Wasser oder Öl, die durch ein Rohr fließen, Blut, das durch Blutgefäße fließt usw. Druckunterschiede ermöglichen nicht nur einen gleichmäßigen Flüssigkeitsfluss, sondern auch den Durchfluss von Flüssigkeiten in Rohren mit unterschiedlichen Höhen.
Jean Louis Marie Poiseuille, ein ehemaliger französischer Wissenschaftler, der sich für die physikalischen Aspekte des menschlichen Blutkreislaufs interessierte, untersuchte, wie Faktoren wie Druckunterschiede, der Querschnitt und die Größe eines Rohres die Fließgeschwindigkeit einer realen Flüssigkeit beeinflussen. Die von Jean Louis Marie Poiseuille erzielten Ergebnisse sind als Poiseuille-Gleichung bekannt.
Die Poiseuille-Gleichung lässt sich mithilfe der zuvor hergeleiteten Viskositätskoeffizientengleichung ableiten. Wir verwenden die Viskositätsgleichung, da der Fall ähnlich, wenn auch nicht identisch ist. Bei der Herleitung der Viskositätskoeffizientengleichung betrachten wir die Strömung einer realen Flüssigkeitsschicht zwischen zwei parallelen Platten, wobei sich die Flüssigkeit aufgrund der Zugkraft (F) bewegen kann. Der Unterschied besteht darin, dass die von uns hergeleitete Poiseuille-Gleichung die Faktoren beschreibt, die die Strömung einer realen Flüssigkeit in einem Rohr beeinflussen, und dass die Flüssigkeit aufgrund von Druckunterschieden strömt. Daher muss die Viskositätskoeffizientengleichung erneut angepasst werden.
Flüssigkeiten können aufgrund von Druckunterschieden fließen (Flüssigkeiten fließen von Orten mit hohem Druck zu Orten mit niedrigem Druck), daher ersetzen wir F durch p 1 – p 2 (p 1 > p 2 ).
Bei der Herleitung der Gleichung für den Viskositätskoeffizienten betrachten wir die Strömung einer realen Flüssigkeitsschicht zwischen zwei parallelen Platten. Jeder Flüssigkeitsabschnitt erfährt eine regelmäßige Geschwindigkeitsänderung um die Strecke l. In diesem Fall ändert sich die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit regelmäßig von der Rohrachse zum Rohrrand. Die Flüssigkeit strömt auf der Rohrachse mit einer höheren Geschwindigkeit (v). Je weiter man sich dem Rand nähert, desto geringer wird die Strömungsgeschwindigkeit. Der Radius des Rohrs entspricht dem Abstand zwischen Rohrachse und Rohrrand = R. Der Abstand zwischen jedem Flüssigkeitsabschnitt und dem Rohrrand beträgt r. Da die Anzahl der einzelnen Flüssigkeitsabschnitte sehr groß ist und sich deren Abstand vom Rohrrand ebenfalls ändert, vereinfachen wir die Darstellung wie folgt:
v 1 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Abstand r1 vom Rohrrand (r1 = R)
v 2 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Abstand r2 vom Rohrrand (r2 < r1)
v 3 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Abstand r3 vom Rohrrand (r3 < r2 < r1)
v 4 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Abstand r4 vom Rohrrand (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids in einem Abstand rn vom Rand des Rohres (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )
Die Anzahl der einzelnen Flüssigkeitsteile ist sehr groß, und wir kennen ihre genaue Menge nicht. Daher genügt es, sie mit dem Symbol n zu bezeichnen. Jeder Flüssigkeitsteil erfährt eine regelmäßige Änderung seiner Durchflussrate (v) von der Achse des Rohrs (r1 = R) zum Rohrrand (rn). Von der Achse des Rohrs (r1 = R) zum Rohrrand (rn) nimmt die Durchflussrate jedes Flüssigkeitsteils ab (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).
Aus der obigen Erklärung lässt sich ableiten, dass die Durchflussrate von R nach rn abnimmt. Die Rohrlänge beträgt L. Die resultierende Gleichung lautet:
Da wir die Durchflussrate (v) des Fluids betrachten, vereinfacht sich Gleichung 2 zu:
Dies ist die Gleichung für den Volumenstrom einer Flüssigkeit im Abstand r von einem Rohr mit Radius R. Falls Sie beim Betrachten der obigen Abbildung verwirrt sind … Bitte beachten Sie, dass die Flüssigkeit in einem Rohr fließt, daher müssen wir den Volumenstrom der Flüssigkeit betrachten.
Im Inneren des Rohrs befindet sich eine Flüssigkeit. Wir teilen die Flüssigkeit beispielsweise in sehr kleine Teile auf, wobei jeder Teil eine Einheitsfläche dA hat, einen Abstand von der Rohrachse aufweist und eine Durchflussrate v besitzt. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:
dA1 = Fluidabschnitt 1, der sich in einem Abstand von 1 von der Rohrachse befindet
dA2 = Fluidabschnitt 2, der sich in einem Abstand von 2 von der Rohrachse befindet
dA3 = Fluidabschnitt 3, der sich in einem Abstand von 3 von der Rohrachse befindet
..................................
dA n = Fluidquerschnitt n, der den Abstand dA n von der Rohrachse angibt.
Es gibt so viele Fluidkomponenten, dass es zweckmäßig ist, sie einfach mit dem Symbol n zu schreiben. Der Volumenstrom jeder Fluidkomponente kann mathematisch wie folgt ausgedrückt werden:
Jedes Flüssigkeitsstück befindet sich in einem Abstand von r = 0 bis r = R (R = Radius des Rohrs). Anders ausgedrückt: Der Abstand jedes Flüssigkeitsstücks variiert, gemessen von der Rohrachse. Durch Anwendung der Integralrechnung erhalten wir die Gleichung für den Volumenstrom der Flüssigkeit im Rohr:
Information :
Q = Soll
R = Innenradius des Rohrs oder Schlauchs
η = Viskositätskoeffizient
P₁ – P₂ = Druckdifferenz zwischen den beiden Rohrenden
L = Rohrlänge
p 1 -p 2 /L = Druckgradient (Die Strömung erfolgt immer in Richtung des abnehmenden Drucks)
Aus der obigen Poiseuille-Gleichung geht hervor, dass der Volumenstrom des Fluids, auch Durchfluss (Q) genannt, proportional zur vierten Potenz des Rohrradius (R⁴ ) und des Druckgradienten (p₂ – p₁ / L) ist und umgekehrt proportional zur Viskosität. Bei Vergrößerung des Rohrradius (bei gleichbleibendem Viskositätskoeffizienten und Druckgradienten) erhöht sich der Volumenstrom um den Faktor 16.
Das Grundprinzip der Konstruktion von Rohren, Spritzen und anderen Bauteilen basiert auf dieser Gleichung. Die Durchflussrate ist proportional zu R⁴ ( R = Radius des Rohrs). Der Radius der Spritze bzw. des Rohrs muss sorgfältig berechnet werden. Verdoppelt man beispielsweise den Radius der Nadel (r × 2), so erhöht sich die Durchflussrate der versprühten Flüssigkeit um das 16-Fache des Daumendrucks.
Die Poiseuille-Gleichung zeigt auch, dass die vierte Potenz des Radius (r⁴ ) umgekehrt proportional zur Druckdifferenz zwischen den beiden Enden eines Rohres ist. Fließt beispielsweise Blut anfänglich in einem Blutgefäß mit dem Innenradius r. Verengt sich das Blutgefäß (z. B. halbiert sich der Innenradius auf r/2), so ist eine 16-fache Druckdifferenz erforderlich, damit der Blutfluss wieder dem vorherigen entspricht (sodass die Durchflussrate bzw. das Blutvolumen konstant bleibt).
