Inertimoment for partikler – problemer og løsninger

1. To kugler forbundet af en stang, som vist på figuren nedenfor. Ignorer stangens masse . Massen af kugle P er 600 gram, og massen af kugle Q er 400 gram. Hvad er systemets inertimoment omkring AB?

Kendt:

Rotationsaksen er AB. Inertimoment for partikler – problemer og løsninger 1

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

rp = 20 cm = 0.2 m, _rq₌ 50 cm = 0.5 m

Ønsket: Systemets inertimoment

opløsning:

I = ^m^p_r p² ₊ m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg ^m² + 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. Stangen AB med en masse på 2 kg roteres omkring punkt A. Stangens inertimoment er 8 kg m² ^. Hvis den roteres omkring punkt O (AO = OB), hvad er så stangens inertimoment?

Kendt: Inertimoment for partikler – problemer og løsninger 2

Masse af stang AB (m) = 2 kg

Hvis rotationen sker omkring punkt A, således at rotationsradius (r) = længden af AB = r, så er inertimomentet (I) = 8 kg/ ^m²

Ønsket: Hvis roteret omkring punkt O, således at rotationsradius (r) = længden af AO = længden af OB = 1/2 r, hvad er så stangens inertimoment?

opløsning:

Jeg = Hr. ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^m² / ²

r² = ⁴^m²

r = 2 meter

Hvis roteret omkring punkt O, så ½ r = 1 meter, så er inertimomentet:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m² ⁾ = (2 kg) (1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. To kugler forbundet af en stang som vist på figuren nedenfor. Ignorer stangens masse. Hvad er systemets inertimoment?

Kendt:

Kuglens masse A (m_A) = 200 gram = 0.2 kg Inertimoment for partikler – problemer og løsninger 3

Masse af kugle B (mB ₎ = 400 gram = 0.4 kg

Afstand mellem kugle A og rotationsaksen (r _A ) = 0

Afstand mellem kugle B og rotationsaksen (rB ₎ = 25 cm = 0.25 m

Ønsket: Systemets inertimoment

opløsning:

Kugle A's inertimoment:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

Inertimomentet for kugle B:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Systemets inertimoment:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10-3 kg ^m²

4. Fire partikler med forskellige masser, vist i figuren nedenfor. Bestem systemets inertimoment omkring den vandrette linje P.

Løsning

Rotationsaksen er den vandrette linje P.

Kendt: Inertimoment for partikler – problemer og løsninger 4

Masse af partikel A (m _A ) = m

Masse af partikel B (mB ₎ = 2m

Masse af partikel C (m _C ) = 3m

Passage af partikler D (m _D ) = 4m

Afstand mellem partikel A og rotationsaksen (r _A ) = b

Afstand mellem partikel B og rotationsaksen (rB ₎ = b

Afstand mellem partikel C og rotationsaksen (r _C ) = 2b

Afstand mellem partikel D og rotationsaksen (r _D ) = 2b

Ønsket: Systemets inertimoment omkring den vandrette linje P

opløsning:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Fire partikler forbundet af en stang. Ignorer stangens masse. Bestem inertimomentet omkring rotationsaksen gennem partiklerne m1 _og m2 _, som vist i figuren nedenfor.

kendte

Masse af partikel 1 (m₁) = 1/4 kg Inertimoment for partikler – problemer og løsninger 5

Masse af partikel 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Masse af partikel 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Masse af partikel 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Afstand mellem partikel 1 og rotationsaksen (r² ₎ = 0

Afstand mellem partikel 2 og rotationsaksen (r² ₎ = 0

Afstand mellem partikel 3 og rotationsaksen (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Afstand mellem partikel 4 og rotationsaksen (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Ønsket: Inertimomentet

opløsning:

I = m1 _/_r1 / ² + m2/ _r2 / ²₊ m3/ _r3 / ²₊ m4 _/ r4 _/²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

Jeg = 1/400 + 1/400

Jeg = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

Hvad er inertimomentet for en partikel?
- SvarFor en enkelt partikel med masse $m$ på afstand $r$ fra en rotationsakse, dens inertimoment $I$ er givet af $I = m \times r^{2}$ .
Hvorfor omtales inertimomentet ofte som massens "rotationsanalog"?
- SvarLigesom masse er et mål for et objekts modstand mod ændringer i dets translationsbevægelse (på grund af Newtons anden lov), er inertimomentet et mål for et objekts modstand mod ændringer i dets rotationsbevægelse.
Hvordan påvirker ændringen af en partikels afstand fra dens rotationsakse dens inertimoment?
- SvarInertimomentet er proportionalt med kvadratet af afstanden fra rotationsaksen. Hvis man fordobler afstanden, vil inertimomentet øges med en faktor fire.
Hvorfor er kvadratet af afstanden (r²) brugt i formlen for inertimomentet i stedet for kun afstanden?
- SvarKvadratet af afstanden bruges på grund af den måde, kinetisk energi fungerer i rotation. I rotationsbevægelse bidrager hver partikel i et objekt til den roterende kinetiske energi baseret på både dens masse og dens afstand fra aksen i anden potens.
Hvordan ændrer en partikels inertimoment sig, hvis dens masse tredobles, mens afstanden fra aksen holdes konstant?
- SvarHvis massen tredobles, og afstanden holdes konstant, vil inertimomentet også tredobles, fordi det er direkte proportionalt med massen.
Kan en partikel have et inertimoment på nul? Hvis ja, under hvilke betingelser?
- SvarJa, en partikel vil have et inertimoment på nul, hvis den er placeret direkte på rotationsaksen, hvilket gør dens afstand $r$ fra aksen lig med nul.
Hvorfor har forskellige objekter med samme masse og størrelse forskellige inertimomenter, når de roterer om forskellige akser?
- SvarMassefordelingen omkring rotationsaksen bestemmer inertimomentet. Selv hvis to objekter har samme masse og størrelse, kan deres massefordeling i forhold til rotationsaksen variere, hvilket fører til forskellige inertimomenter.
Er inertimomentet en skalar eller vektorstørrelse?
- SvarInertimomentet er en skalar størrelse. For stive legemer med komplekse former og flere rotationsakser repræsenteres det dog af en tensor.
Hvis to partikler, hver med masse $m$ , er placeret i afstande $r_{1}$ og $r_{2}$ Hvad er det kombinerede inertimoment ud fra rotationsaksen?
- SvarInertimomentet er additivt for separate partikler. Således er det kombinerede inertimoment $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Hvordan hænger inertimomentet sammen med bevarelsen af vinkelmomentet?
- Svar: Vinkelmoment $L$ er produktet af inertimomentet $I$ og vinkelhastighed $ω$ , repræsenteret af ligningen $L = I \times ω$ Hvis der ikke virker eksterne drejningsmomenter på et system, vil vinkelmomentet forblive konstant. Det betyder, at hvis inertimomentet ændrer sig (som hos en kunstskøjteløber, der trækker armene ind), skal vinkelhastigheden justeres for at holde produktet konstant.