Diffraktion ved en enkelt spalte – problemer og løsninger

1. Lys med en bølgelængde på 500 nm passerer gennem en spalte, der er 0.2 mm bred. Diffraktionsmønsteret på en skærm 60 cm væk. Bestem afstanden mellem det centrale maksimum og det andet minimum.

Diffraktion ved en enkelt spalte – problemer og løsninger 1

Kendt:

λ = 500 nm = 500 x ^10⁻⁶ m = 5 x ^10⁻⁶ m

d = 0.2 mm = 0.2 x 10⁻³ ^m = 2 x ^10⁻³ m

l = 60 cm = 0.6 m

n = 2

Ønskes : ja?

opløsning:

Spaltens bredde er minimal sammenlignet med afstanden mellem spalten og skærmen, så vinklen er minimal (spaltens bredde i figuren ovenfor er forstørret). Vinklen er så lille, at sin θ ≈ tan θ.

sin θ ≈ tan θ = y / l = y / 0.6

Ligning for diffraktion ved en enkelt spalte (minimum ima ):

d sin θ = n λ

(2 x ^10⁻⁴ )(y/0,6) = (2)(5 x ^10⁻⁴ )

(2 x ^10⁻⁴ ) y = (0.6)(10 x ^10⁻⁴ )

(2 x 10⁻⁴ ⁾ y = 6 x ^10⁻⁴

y = (6 x ^10⁻⁶ ) / (2 x ^10⁻⁴ )

y = 3 x ^10-3

y = 0.003 m

y = 3 mm

2. Monokromatisk lys med en bølgelængde på 5000 Å (1 Å = 10⁻⁻¹⁴ ^m ) passerer gennem den enkelte spalte og producerer et diffraktionsmønster, det første maksimum, som vist i figuren. Bestem spaltens bredde.

Diffraktion ved en enkelt spalte – problemer og løsninger 2

Kendt:

λ = 5000 Å = 5000 x ^{10⁻⁴⁻¹⁴} m = 5 x ^{10⁻⁴⁻¹⁴} m

sin 30 ^o = 0,5

n = 1

Ønsket: spaltens bredde (d)?

opløsning:

d sin θ = n λ

d(0.5) = (1)(5 x ^10-7 )

d = (5 x 10-7 ⁾ / (0.5)

d = 10 x ^10-7 m

d = 1 x ^10⁻⁶ m

d = 1 x ^10-3 mm

d = 0.001 mm

Diffraktion refererer til det fænomen, hvor bølger spredes ud, når de møder en forhindring eller passerer gennem en åbning. Når monokromatisk lys (lys med en enkelt bølgelængde) passerer gennem en enkelt spalte, bevæger det sig ikke bare i en lige linje; i stedet spredes det ud og skaber et diffraktionsmønster på en skærm placeret bag spalten.

For en enkelt spalte er det primære træk ved diffraktionsmønsteret et centralt lyst maksimum, flankeret på begge sider af en række skiftevis mørke og lyse frynser (minima og maksima). Sådan forstår og beskriver man diffraktionsmønsteret fra en enkelt spalte:

Centralt maksimumDen centrale lyse kant er den mest intense og bredeste. Intensiteten falder, når man bevæger sig væk fra det centrale maksimum.
minimaDe mørke frynser eller minima forekommer i vinkler $θ$ sådan at: $a synd (θ) = mλ$ hvor:

$a$ er spaltens bredde.
$λ$ er lysets bølgelængde.
$m$ er et heltal, eksklusive nul (dvs. ±1, ±2, ±3, …).

MaximaMellem disse minima er der sekundære maksima, men de er mindre klare end det centrale maksimum og aftager i intensitet længere væk fra midten.
Bred spalte vs. smal spalteBredden af det centrale maksimum er omvendt proportional med spaltebredden. Det vil sige, at en smallere spalte vil producere et bredere centralt maksimum og omvendt.
Længere bølgelængde vs. længere bølgelængde Kortere bølgelængdeMinima- og maksima-vinkelpositionerne afhænger af bølgelængden. Længere bølgelængder vil producere mere spredte mønstre sammenlignet med kortere bølgelængder.
Sammenligning med dobbelt spalteEt enkeltspalte-diffraktionsmønster er forskelligt fra et dobbeltspalte-interferensmønster, selvom de er relaterede fænomener. Hvis du har en dobbeltspalte, ville du se et interferensmønster af flere lyse og mørke frynser. Men hvis spalterne var brede nok, ville hver spalte også producere sit eget diffraktionsmønster, hvilket ville føre til en "kuvert"-effekt, hvor intensiteten af interferensfrynserne ændrer sig på grund af enkeltspalte-diffraktionen.

Den matematiske forståelse af enkeltspalte-diffraktion bruger Huygens-princippet, som siger, at ethvert punkt på en bølgefront kan betragtes som en kilde til sekundære sfæriske bølger, der spreder sig i fremadgående retning. Ved at integrere effekten af alle disse bølger kan man udlede diffraktionsmønsteret.

I praktiske anvendelser og laboratorier kan observation af enkeltspalte-diffraktionsmønstre bruges til at bestemme lysets bølgelængde eller spaltens størrelse, givet de andre parametre.