Eksempelspørgsmål og diskussion: Varians og standardafvigelse af enkeltdata
Statistik er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med indsamling, analyse, fortolkning, præsentation og organisering af data. To vigtige begreber i statistik er varians og standardafvigelse. Denne artikel vil diskutere i detaljer, hvordan man beregner variansen og standardafvigelsen for et enkelt datasæt gennem flere eksempelproblemer.
Forståelse af varians og standardafvigelse
Varians er et mål, der kvantificerer, hvor langt tallene i et datasæt afviger fra middelværdien eller gennemsnittet. Varians udtrykkes i kvadratenheder af de oprindelige data, hvilket ofte gør det vanskeligt at fortolke.
Standardafvigelsen er kvadratroden af variansen. Den giver et mere intuitivt mål for, hvor meget dataene generelt afviger fra middelværdien, fordi dens enheder er de samme som de oprindelige enheder af dataene.
Generel formel
For enkeltdata er formlen for populationens varians \( \sigma^2 \) og standardafvigelse \( \sigma \) som følger:
1. Varians (σ²):
(\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Standardafvigelse (σ):
(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2})
Din mand:
– \(N \) er antallet af data i populationen.
– \(x_i \) er den i'te dataværdi.
– \( \mu \) er middelværdien eller gennemsnittet af dataene.
Hvis vi beregner variansen og standardafvigelsen for stikprøven, ændres ovenstående formel en smule:
1. Stikprøvevarians (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Standardafvigelse for stikprøve (s):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Din mand:
– \(n \) er antallet af data i stikprøven.
– \( \bar{x} \) er middelværdien eller gennemsnittet af stikprøven.
Eksempel på løn og kompensation
Eksempelspørgsmål 1:
Givet følgende data:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Beregn variansen og standardafvigelsen af dataene!
Løsningstrin:
1. Beregning af gennemsnittet (gennemsnittet) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Beregn forskellen mellem data og gennemsnittet, og kvadrer derefter:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Addition af alle kvadratiske resultater:
\[
\sum (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Beregning af varians (σ²) af populationsdata:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Bemærk: Da disse data er angivet som befolkningsdata, dividerer vi med 6.
5. Beregning af standardafvigelse (σ):
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \approx 1.886
\]
Så dataenes varians er 3.559, og standardafvigelsen er 1.886.
Eksempelspørgsmål 2:
Givet følgende eksempeldata:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Beregn variansen og standardafvigelsen for stikprøven!
Løsningstrin:
1. Beregning af gennemsnittet (gennemsnittet) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Beregn forskellen mellem data og gennemsnittet, og kvadrer derefter:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Addition af alle kvadratiske resultater:
\[
\sum(x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Beregning af stikprøvevariansen (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Bemærk: Da dette er eksempeldata, dividerer vi med 5 (n-1).
5. Beregning af standardafvigelse (s):
\[
s = 5.351 = ca. 2.313
\]
Så variansen af stikprøvedataene er 5.351, og standardafvigelsen er 2.313.
Konklusion
Beregning af varians og standardafvigelse er afgørende for at forstå, hvor spredte data er inden for et givet sæt. Mens varians giver et teoretisk mål for spredning i kvadrater af de oprindelige enheder, fortolker standardafvigelsen målet for spredning i forhold til de oprindelige enheder af dataene, hvilket gør det lettere at forstå. I dataanalyse bruges disse to mål ofte til at vurdere datavariabilitet og træffe statistiske beslutninger.
Ved at forstå de nødvendige trin og formler kan vi nemt beregne varians og standardafvigelse for forskellige situationer, vi støder på i den daglige dataindsamling og -analyse. Forhåbentlig giver denne artikel en dybere forståelse af begreberne varians og standardafvigelse i enkelte datasæt.
