Eksempelspørgsmål og diskussion af vektorsubtraktion
Pendahuluan
I matematik og fysik er vektorer et grundlæggende begreb, der bruges til at forklare mange naturlige og tekniske fænomener. En vektor er en størrelse, der har både størrelse og retning. Nogle vigtige eksempler på vektorer er forskydning, hastighed, acceleration og kraft. I denne artikel vil vi diskutere vektorsubtraktion, selvom dette emne ofte fremhæves i forbindelse med vektorkombination.
Vektorsubtraktion er en fundamental operation, der er afgørende i vektoranalyse. For at dykke dybere ned i dette koncept, lad os gennemgå nogle eksempler på problemer og diskussioner relateret til vektorsubtraktion.
Vektorsubtraktion
Vektorsubtraktionen {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}} er defineret som operationen med at addere vektoren {\displaystyle \mathbf{A}} med vektoren {\displaystyle -\mathbf{B}}, hvor {\displaystyle -\mathbf{B}} er en vektor med samme størrelsesorden som {\displaystyle \mathbf{B}}, men med den modsatte retning. Matematisk kan dette skrives som:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = \mathbf{A} + (-\mathbf{B})}
Eksempel på løn og kompensation
Spørgsmål 1: Subtraktion af todimensionelle vektorer
Antag, at der er to vektorer i kartesiske koordinater:
{\displaystyle \mathbf{A} = (4, 3)} og {\displaystyle \mathbf{B} = (1, 2)}. Beregn {\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B}}.
Diskussion:
Det første trin er at finde den negative vektor af B, nemlig:
{\displaystyle -\mathbf{B} = (-1, -2)}
Dernæst lægges vektoren {\displaystyle \mathbf{A}} til med {\displaystyle -\mathbf{B}}:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4, 3) + (-1, -2)}
Udfør vektoraddition ved at addere hver x- og y-komponent:
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (4 + (-1), 3 + (-2))}
{\displaystyle \mathbf{A} – \mathbf{B} = (3, 1)}
Så resultatet af at subtrahere vektorerne A – B er vektoren (3, 1).
Spørgsmål 2: Subtraktion af tredimensionelle vektorer
Givet to vektorer i tredimensionelle koordinater:
P = (2, -4, 6) og Q = (-3, 5, 7). Beregn P – Q.
Diskussion:
Det første trin er at finde den negative vektor af {\displaystyle \mathbf{Q}}:
{\displaystyle -\mathbf{Q} = (3, -5, -7)}
Dernæst lægges vektoren P til med - Q:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2, -4, 6) + (3, -5, -7)}
Udfør vektoraddition ved at addere hver x-, y- og z-komponent:
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (2 + 3, -4 + (-5), 6 + (-7))}
{\displaystyle \mathbf{P} – \mathbf{Q} = (5, -9, -1)}
Så resultatet af at subtrahere vektorerne P – Q er vektoren (5, -9, -1).
Spørgsmål 3: Vektorsubtraktion i den komplekse plan
Antag at der er to vektorer repræsenteret af komplekse tal:
{\displaystyle \mathbf{M} = 3 + 4i} og {\displaystyle \mathbf{N} = 1 + 2i}. Beregn {\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N}}.
Diskussion:
Det første trin er at finde den negative vektor af {\displaystyle \mathbf{N}}:
{\displaystyle -\mathbf{N} = -1 – 2i}
Dernæst lægges vektoren {\displaystyle \mathbf{M}} til med {\displaystyle -\mathbf{N}}:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + 4i) + (-1 – 2i)}
Udfør vektoraddition ved at addere hver reel og imaginær komponent:
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = (3 + (-1)) + (4i + (-2i))}
{\displaystyle \mathbf{M} – \mathbf{N} = 2 + 2i}
Så resultatet af at subtrahere vektorerne M – N er det komplekse tal 2 + 2i.
Spørgsmål 4: Vektorsubtraktion i polarkoordinatsystemet
Antag at der er to vektorer i polarkoordinater:
har en størrelsesorden på 5 og en vinkel på 30°,
og V har en størrelsesorden på 3 og en vinkel på 150°.
Beregn U – V.
Diskussion:
Det første trin er at konvertere vektorerne U og V til kartesiske koordinater.
For {\displaystyle \mathbf{U}}:
U_x = 5 \cos(30^\circ) = 5 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 5 \cdot 0.866 = 4.33
U_y = 5 sin(30^circ) = 5 venstre(frac{1}{2}) = 5 0.5 = 2.5
Så U i kartesisk er (4.33, 2.5).
For {\displaystyle \mathbf{V}}:
V_x = 3 \cos(150^\circ) = 3 \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 3 \cdot (-0.866) = -2.598}
V_y = 3 sin(150^circ) = 3 venstre(frac{1}{2}) = 3 0.5 = 1.5
Så V i kartesisk er (-2.598, 1.5).
Næste trin, beregn vektorsubtraktionen i kartesisk form:
U – V = (4.33, 2.5) – (-2.598, 1.5)
Hvilket betyder ved at addere den negative af vektoren:
{\displaystyle \mathbf{U} – \mathbf{V} = (4.33 + 2.598, 2.5 – 1.5)}
U – V = (6.928, 1)
Så resultatet af at subtrahere vektoren U – V i kartesiske koordinater er (6.928, 1).
Konklusion
Vektorsubtraktion er en essentiel matematisk operation inden for mange områder, der anvender vektoranalyse. Uanset om det er i todimensionelle, tredimensionelle, komplekse eller polære koordinatsystemer, forbliver det grundlæggende princip det samme: at lægge en vektor til den negative af en anden. Eksemplerne ovenfor illustrerer forskellige måder at anvende denne operation på i forskellige sammenhænge, hvilket hjælper os med at forstå konceptet mere dybtgående og praktisk.
