Deilliadau Ffwythiannau Trigonometreg
Mewn mathemateg uwch, yn enwedig calcwlws, rydym yn aml yn dod ar draws ffwythiannau trigonometrig fel sin (sin), cosin (cos), secant (sec), cosecant (csc), tangiad (tan), a chotangiad (cot). Yn y cyd-destun hwn, mae gwybod deilliadau'r ffwythiannau hyn yn hanfodol, yn enwedig ar gyfer cymwysiadau mewn ffiseg, peirianneg a chyfrifiadureg. Bydd yr erthygl hon yn manylu ar sut i bennu deilliadau'r ffwythiannau trigonometrig hyn.
Cyflwyniad i Ddeilliadau
Cyn trafod deilliadau ffwythiannau trigonometrig, gadewch inni adolygu'n fyr y cysyniad o ddeilliad. Mae deilliad ffwythiant yn rhoi cyfradd newid y ffwythiant hwnnw i ni mewn perthynas â'i newidyn annibynnol. Mewn termau geometrig, mae deilliad ffwythiant f(x) mewn pwynt x yn rhoi'r graddiant, neu'r llethr, o'r llinell tangiad i'r gromlin f(x) yn y pwynt hwnnw.
Yn fathemategol, diffinnir deilliad cyntaf y ffwythiant f(x) fel a ganlyn:
[f'(x) = \lim_{Deltax \to 0} \frac{f(x + \Deltax) – f(x)}{\Deltax} \]
Mae'r diffiniad hwn mewn gwirionedd yn aros yr un fath ar gyfer ffwythiannau trigonometrig, ond bydd yn haws os ydym yn gwybod rhai deilliadau sylfaenol o ffwythiannau trigonometrig sylfaenol.
Deilliadau Ffwythiannau Trigonometreg Sylfaenol
1. Deilliad sin (sin x)
Mae'r ffwythiant sin yn un o'r ffwythiannau trigonometreg mwyaf sylfaenol. Deilliad sin x yw cos x. Mae hyn yn deillio o rai terfynau ac algebra gwahaniaethol.
[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
Hynny yw, os yw f(x) = sin x, yna mae f'(x) = cos x.
2. Deilliad Cosin (cos x)
Mae cosin yn ffwythiant trigonometrig sylfaenol arall. Deilliad cos x yw -sin x.
[ \frac{d}{dx}(cos x) = -sin x \]
Hynny yw, os yw f(x) = cos x, yna f'(x) = -sin x.
3. Deilliad Tangiad (tan x)
Y ffwythiant tangiad yw cymhareb y sin a'r cosin. Deilliad tan x yw sec^2 x. Gellir cael hyn gan ddefnyddio'r rheol ddeilliad ar gyfer ffwythiannau cyfansawdd (cadwyn).
[ \frac{d}{dx}(\tanx) = \sec^2x \]
Hynny yw, os yw f(x) = tan x, yna f'(x) = sec² x.
4. Deilliad Cotangiad (cot x)
Cotangiad yw gwrthdro tangiad. Deilliad cot x yw -csc² x.
\[ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
Hynny yw, os yw f(x) = cot x, yna f'(x) = -csc² x.
5. Deilliad Secant (sec x)
Gwrthdro'r cosin yw'r ffwythiant secant. Deilliad sec x yw sec x tan x.
[ \frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
Hynny yw, os yw f(x) = sec x, yna f'(x) = sec x tan x.
6. Deilliad Cosecant (csc x)
Gwrthdro'r sin yw'r ffwythiant cosecant. Deilliad csc x yw -csc x cot x.
\[ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]
Hynny yw, os yw f(x) = cscx, yna mae f'(x) = -cscx cotx.
Cymhwyso Rheolau Deilliadol i Ffwythiannau Trigonometreg
Unwaith y byddwn yn gwybod deilliadau sylfaenol ffwythiannau trigonometrig, gallwn ehangu i gymwysiadau mwy cymhleth gan ddefnyddio rheolau deilliadau fel y rheol gadwyn, y rheol lluoswm, a'r rheol swm.
1. Rheol y Gadwyn
Defnyddir y rheol gadwyn pan fydd gennym swyddogaeth sy'n gyfansoddiad o ddwy swyddogaeth neu fwy. Enghreifftiau o'i defnydd:
Os oes gennym ffwythiant \( g(x) = \sin(3x^2) \), gallwn ddefnyddio'r rheol gadwyn i ddod o hyd i'w ddeilliad:
[g'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(3x^2)] \]
\[ = \cos(3x^2) \cdot \frac{d}{dx}[3x^2] \]
[ = \cos(3x^2) \cdot 6x \]
\[ = 6x \cos(3x^2) \]
2. Rheolau Cynnyrch
Defnyddir y rheol cynnyrch pan fydd gennym ffwythiant sy'n gynnyrch dau ffwythiant neu fwy. Enghreifftiau o'i defnydd:
Os yw \( h(x) = x^2 \sin(x) \), yn ôl y rheol lluoswm:
[ h'(x) = \frac{d}{dx}[x^2 \cdot \sin(x)] \]
[ = x^2 ⋅ cos(x) + sin(x) ⋅ frac{d}{dx][x^2]]
[ = x^2 \cos(x) + \sin(x) \cdot 2x \]
[ = x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) \]
3. Rheolau Rhif
Defnyddir y rheol swm pan fydd gennym ffwythiant sy'n swm dau ffwythiant neu fwy. Enghreifftiau o'i defnydd:
Os yw \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \):
[f'(x) = \frac{d}{dx}[sin(x) + \cos(x)]]
[ = \frac{d}{dx}[sin(x)] + \frac{d}{dx}[cos(x)] \]
[ = \cos(x) + (-\sin(x)) \]
[ = \cos(x) – \sin(x) \]
Ffwythiannau Trigonometreg Gwrthdro a'u Deilliadau
Yn ogystal â'r ffwythiannau trigonometrig sylfaenol, mae gennym hefyd ffwythiannau trigonometrig gwrthdro fel sin^-1 x (arcsin x), cos^-1 x (arccos x), a tan^-1 x (arctan x). Mae deilliadau'r ffwythiannau hyn hefyd yn bwysig mewn cymwysiadau calcwlws.
Fel enghraifft:
– Deilliad arcsin x:
\[ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
– Deilliad o arccos x:
[ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
– Deilliad o arctan x:
\[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \]
Casgliad
Mae dysgu deilliadau ffwythiannau trigonometrig yn gam sylfaenol mewn calcwlws. Mae deilliadau ffwythiannau sylfaenol fel sin, cos, tan, cot, sec, a csc yn darparu sylfaen gadarn ar gyfer dadansoddi a datrys problemau mwy cymhleth mewn amrywiaeth o ddisgyblaethau. Ar ben hynny, mae dealltwriaeth o'r rheol gadwyn, y rheol lluoswm, a'r rheol swm yn ein helpu i ddelio â deilliadau ffwythiannau mwy cymhleth. Mae'r wybodaeth hon yn amhrisiadwy mewn llawer o gymwysiadau ymarferol a damcaniaethol, gan gynnwys ffiseg, peirianneg, a chyfrifiadureg.
