Termau a Mathau Nodiant Fector
Wrth drafod mathemateg, ffiseg a chyfrifiadureg, mae'r cysyniad o fectorau yn aml yn elfen hanfodol i'w deall. Nid cysyniadau haniaethol yn unig yw fectorau; maent yn berthnasol mewn amrywiaeth o sefyllfaoedd ymarferol, megis dadansoddi data, graffeg gyfrifiadurol ac efelychiadau ffiseg. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod terminoleg a nodiant fectorau, yna'n archwilio'r gwahanol fathau o fectorau a geir yn y disgyblaethau hyn.
Termau a Nodiant Fector
1. Fectorau a Scalarau
Mae fector yn endid mathemategol sydd â maint a chyfeiriad. Mewn cyferbyniad, mae scalar yn werth sengl sydd â maint yn unig a dim cyfeiriad. Er enghraifft, mae cyflymder o 5 m/s heb nodi cyfeiriad yn scalar, tra bod cyflymder o 5 m/s tua'r dwyrain yn fector.
2. Nodiant Fector
Fel arfer, dynodir fectorau â llythyren fach feiddgar fel v, neu â saeth uwchben y llythyren fel \(\vec{v}\). Er enghraifft, os oes gennym fector v y mae ei elfennau yn \(v_1, v_2, v_3\), yna gellir ysgrifennu hyn fel:
\[ \vec{v} = \dechrau{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
Ffordd arall o ysgrifennu fectorau, yn enwedig mewn cyd-destunau dau neu dri dimensiwn, yw defnyddio sail safonol. Er enghraifft:
[ \vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k} \]
lle mae \(\hat{i}, \hat{j}\), a \(\hat{k}\) yn fectorau uned ar echelinau x, y, a z.
Mathau o Fectorau
1. Fector Safle
Mae fector safle yn fector sy'n disgrifio safle pwynt mewn gofod o'i gymharu â phwynt cyfeirio, fel arfer pwynt O (y tarddiad). Os oes gan bwynt P gyfesurynnau (x, y, z) mewn gofod 3D, yna gellir mynegi'r fector safle \(\vec{r}\) fel:
\[ \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \]
2. Fector Dadleoliad
Mae fector dadleoliad yn disgrifio'r newid yn safle pwynt o un safle i'r llall. Tybiwch fod gan bwynt A gyfesurynnau (x1, y1, z1) a bod gan bwynt B gyfesurynnau (x2, y2, z2). Gellir ysgrifennu'r fector dadleoliad \(\vec{d}\) o A i B fel:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]
3. Fector Cyflymder
Mae cyflymder yn fector sy'n nodi cyfradd newid safle gwrthrych fesul uned amser. Os yw _(\vec{r}(t)\) yn ffwythiant o safle mewn perthynas ag amser, y fector cyflymder _(\vec{v}(t)\) yw deilliad _(\vec{r}(t)\) mewn perthynas ag amser t:
\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \]
4. Fector Cyflymiad
Y fector cyflymiad yw deilliad y fector cyflymder mewn perthynas ag amser. Mae'n nodi cyfradd newid cyflymder gwrthrych fesul uned amser. Os yw \(\vec{v}(t)\) yn ffwythiant o gyflymder mewn perthynas ag amser, y fector cyflymiad \(\vec{a}(t)\) yw deilliad \(\vec{v}(t)\):
\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \]
5. Fector Grym
Yn ôl ail gyfraith Newton, mae grym yn gynnyrch màs a chyflymiad. Mae grym hefyd yn fector oherwydd bod ganddo faint a chyfeiriad. Os yw m yn màs ac \(\vec{a}\) yn fector cyflymiad, yna gellir mynegi'r fector grym \(\vec{F}\) fel:
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]
6. Fector Uned
Fector uned yw fector sydd â maint (hyd) o un. Gellir cael fector uned fector \(\vec{v}\) trwy rannu \(\vec{v}\) â'i faint. Os oes gan \(\vec{v}\) faint o \(||\vec{v}||\), yna gellir ysgrifennu ei fector uned fel:
\[ \hat{v} = \frac{ \vec{v}}{||\vec{v}||} \]
7. Fector Sero
Fector sero yw fector y mae ei gydrannau i gyd yn sero, ac fel arfer caiff ei ddynodi gan \(\vec{0}\). Nid oes gan y fector hwn gyfeiriad ac mae ei faint yn sero. Enghraifft mewn gofod tri dimensiwn yw:
\[ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
8. Fectorau Orthogonal
Dywedir bod dau fector yn orthogonal os yw eu cynnyrch mewnol yn sero. Os yw \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\) yn ddau fector, yna maent yn orthogonal os:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
9. Fectorau Collinear a Fectorau Coplanar
Dywedir bod dau fector yn gydlinol os ydynt yn gorwedd ar hyd yr un llinell syth neu'n gyfochrog. Gellir eu mynegi fel lluosrifau sgalar o'i gilydd. Er enghraifft:
\[ \vec{v} = k\vec{u} \]
ar gyfer rhywfaint o sgalar \(k\).
Yn y cyfamser, dywedir bod tri fector yn gydblanar os ydynt yn gorwedd yn yr un plân. Gellir eu mynegi fel cyfuniad llinol o'r ddau fector arall.
Gweithrediadau ar Fectorau
1. Adio a Thynnu Fectorau
Gwneir adio fectorau drwy adio eu cydrannau cyfatebol. Os \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) a \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), yna:
\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix} \]
Gwneir tynnu trwy dynnu'r cydrannau cyfatebol:
\[ \vec{u} – \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \end{pmatrix} \]
2. Lluosi Sgalar
Mae lluosi sgalar yn weithrediad sy'n cynnwys fector â sgalar (gwerth rhifiadol). Os yw k yn sgalar ac \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), yna:
\[ k\vec{v} = \begin{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \end{pmatrix} \]
3. Cynnyrch Mewnol (Cynnyrch Dot)
Mae lluoswm mewnol dau fector \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\) yn sgalar. Gellir ei gyfrifo gan:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
4. Cynnyrch Traws
Mae croes-lluoswm dau fector \(\vec{u}\) a \(\vec{v}\) yn cynhyrchu fector newydd sy'n orthogonal i'r ddau fector hyn. Mewn gofod tri dimensiwn, cyfrifir hyn fel:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
\hat{i} a \hat{j} a \hat{k} \\
u_1 ac u_2 ac u_3 \\
v_1 a v_2 a v_3
\end{vmatrix} \]
Casgliad
Mae deall terminoleg a nodiant fectorau, yn ogystal â'u mathau, yn hanfodol mewn amrywiol ddisgyblaethau gwyddonol. Nid endidau mathemategol haniaethol yn unig yw fectorau, ond maent hefyd yn offer pwerus mewn ffiseg, peirianneg a dadansoddi technoleg gwybodaeth. Gyda dealltwriaeth dda o'r cysyniadau sylfaenol hyn, gallwn fynd i'r afael â phroblemau cymhleth yn haws mewn ystod eang o feysydd.
