Ysgrifennu Deilliad Ffwythiant
Rhagymadrodd
Mewn mathemateg, yn enwedig calcwlws, mae'r deilliad yn gysyniad sylfaenol sy'n chwarae rhan hanfodol mewn ystod eang o gymwysiadau. Defnyddir deilliadau nid yn unig mewn mathemateg ddamcaniaethol ond hefyd mewn gwyddoniaeth, peirianneg, economeg, a llawer o ddisgyblaethau eraill. Bydd yr erthygl hon yn trafod deilliad ffwythiant yn fanwl, gan gwmpasu ei hanfodion, rheolau pwysig, ac enghreifftiau cymhwysiad.
Hanfodion Deilliadau
Diffiniad o Ddeilliadau
Mae deilliad ffwythiant yn disgrifio cyfradd newid y ffwythiant mewn perthynas â'i newidyn annibynnol. Yn reddfol, gellir diffinio'r deilliad fel llethr y llinell tangiad sy'n cyffwrdd â graff y ffwythiant mewn pwynt.
Os yw \( y = f(x) \), yna dynodir y deilliad cyntaf o \( f \) mewn perthynas â \( x \) gan \( f'(x) \) neu \( \frac{dy}{dx} \). Rhoddir y diffiniad ffurfiol o'r deilliad gan y terfyn canlynol:
\[ f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Nodiant Deilliadol
Mae sawl nodiant a ddefnyddir yn gyffredin wrth ysgrifennu deilliadau:
1. Nodiant Leibniz: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Nodiant Lagrange: \( f'(x) \)
3. Nodiant Newton: \(y' \)
4. Nodiant Euler: \( Df(x) \)
Mae gan bob nodiant ddefnyddiau a chyd-destunau penodol lle cânt eu defnyddio'n fwy cyffredin.
Rheolau Sylfaenol mewn Gwahaniaethu
Rheolau Adio a Thynnu
Os yw \( f(x) \) a \( g(x) \) yn ddau ffwythiant gwahaniaethadwy, yna:
[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Rheolau Lluosi
Ar gyfer dau ffwythiant \( u(x) \) a \( v(x) \):
[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Rheolau'r Adran
Os yw \( u(x) \) a \( v(x) \) yn ddwy ffwythiant, a \( v(x) \neq 0 \):
[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Rheol y Gadwyn
Ar gyfer cyfansoddiad dau ffwythiant \( f(u) \) a \( u(g) \):
[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Enghreifftiau o Gymwysiadau
Deilliadau Ffwythiannau Polynomial
Tybiwch fod \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1 \). I ddod o hyd i ddeilliad y ffwythiant hwn, rydym yn defnyddio rheolau sylfaenol gwahaniaethu.
[f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (2x) – \frac{d}{dx} (1) \]
\[ f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Deilliadau Ffwythiannau Esbonyddol a Logarithmig
Os yw \( f(x) = e^x \), yna deilliad y ffwythiant esbonyddol yw:
\[ f'(x) = e^x \]
Ar gyfer y ffwythiant logarithm naturiol \( f(x) = \ln(x) \):
\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]
Deilliadau Ffwythiannau Trigonometreg
Ar gyfer ffwythiannau trigonometrig sylfaenol:
– Os yw \(f(x) = \sin(x) \), yna mae \(f'(x) = \cos(x) \)
– Os yw \(f(x) = \cos(x) \), yna \(f'(x) = -\sin(x) \)
– Os yw \( f(x) = \tan(x) \), yna \( f'(x) = \sec^2(x) \)
Deilliad o Swyddogaeth Gyfansawdd
Tybiwch fod \( f(x) = \sin(2x) \). Gallwn gymhwyso'r rheol gadwyn:
[f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Deilliadau Uwch
Ail Ddeilliadau a Deilliadau Dilynol
Yr ail ddeilliad yw deilliad y ffwythiant deilliad cyntaf. Os yw \( y = f(x) \) yna dynodir yr ail ddeilliad gan \( f”(x) \) neu \( \frac{d^2y}{dx^2} \). Ac yn y blaen ar gyfer y trydydd deilliad \( f”'(x) \) neu \( \frac{d^3y}{dx^3} \).
Tybiwch \( f(x) = x^4 \):
\[ f'(x) = 4x^3 \]
[f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
[f"'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
[f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Cymwysiadau Deilliadau mewn Ffiseg
Mewn ffiseg, defnyddir deilliadau'n aml i bennu cyflymder a chyflymiad. Tybiwch fod \(s(t) \) yn ffwythiant o safle mewn perthynas ag amser \(t \). Cyflymder \(v(t) \) yw'r deilliad cyntaf o safle:
\[ v(t) = s'(t) \]
Cyflymiad \( a(t) \) yw'r deilliad cyntaf o gyflymder neu'r ail ddeilliad o safle:
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
Casgliad
Mae deilliad ffwythiant yn gysyniad sylfaenol mewn calcwlws gyda chymwysiadau eang ar draws amrywiol feysydd. Mae'r ddealltwriaeth reddfol o'r deilliad fel llethr llinell tangiad yn rhoi cipolwg pwysig ar briodweddau ac ymddygiad ffwythiant. Mae deall a gallu cymhwyso rheolau gwahaniaethu fel y rheol gadwyn, y rheol cynnyrch, a'r rheol rhannu yn hanfodol i unrhyw un sy'n astudio calcwlws. Trwy enghreifftiau a chymwysiadau syml mewn ffiseg, mae'r erthygl hon yn gobeithio darparu dealltwriaeth gynhwysfawr o ysgrifennu deilliad ffwythiant.
