### Dulliau Prawf Mathemategol
Mae prawf mathemategol yn gonglfaen meddwl mathemategol a'r sylfaen y mae disgyblaeth gyfan mathemateg wedi'i hadeiladu arni. Mae profion yn gwasanaethu i ardystio cywirdeb dyfaliadau, theoremau a datganiadau mathemategol. Mae meistroli gwahanol dechnegau prawf yn hanfodol i fathemategwyr, gwyddonwyr, peirianwyr ac unrhyw un sy'n ymwneud â meddwl dadansoddol trylwyr. Mae'r erthygl hon yn archwilio gwahanol fathau o ddulliau prawf mathemategol, gan ddangos sut mae pob dull yn dod â chryfderau unigryw i faes dilysu mathemategol.
#### 1. Prawf Uniongyrchol
Nodweddir prawf uniongyrchol gan ddull syml lle mae'r casgliad yn deillio'n uniongyrchol o'r rhagdybiaethau penodol gan ddefnyddio dilyniant o gamau rhesymegol. Ystyrir y dull hwn yn eang fel y ffurf fwyaf greddfol ac elfennol o brawf.
enghraifft:
I brofi bod swm unrhyw ddau eilrif yn eilrif:
1. Bydded i \(a \) a \(b \) fod yn ddau eilrif.
2. Yn ôl diffiniad, \(a = 2k \) a \(b = 2m \) ar gyfer rhai cyfanrifau \(k \) ac \(m \).
3. Y swm \( a + b = 2k + 2m = 2(k + m) \).
4. Gan fod \(k + m \) yn gyfanrif, mae \(a + b \) yn eilrif.
#### 2. Prawf Anuniongyrchol
Mae prawf anuniongyrchol, sy'n aml yn gyfystyr â phrawf trwy wrthddywediad, yn cynnwys tybio negyddu'r datganiad i'w brofi a dangos bod y dybiaeth hon yn arwain at wrthddywediad rhesymegol. Mae'r goblygiad hwn yn awgrymu bod y datganiad gwreiddiol yn wir.
enghraifft:
I brofi bod \(\sqrt{2}\) yn afresymol:
1. Tybiwch i'r gwrthwyneb, bod \(\sqrt{2}\) yn rhesymol.
2. Yna \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) lle mae \( p \) a \( q \) yn gyd-gysefin (h.y., eu rhannwr cyffredin mwyaf yw 1).
3. Sgwario'r ddwy ochr, \( 2 = \frac{p^2}{q^2} \), felly \( 2q^2 = p^2 \).
4. Felly, mae \( p^2 \) yn eilrif, sy'n awgrymu bod \( p \) hefyd yn eilrif (gan fod sgwâr odrif yn odrif).
5. Gadewch i \(p = 2k \) ar gyfer rhyw gyfanrif \(k \). Yna \(2q^2 = (2k)^2 = 4k^2 \), felly \(q^2 = 2k^2 \).
6. Mae hyn yn awgrymu bod \( q^2 \) yn eilrif, ac felly rhaid i \( q \) fod yn eilrif.
7. Fodd bynnag, mae hyn yn gwrth-ddweud y dybiaeth bod \(p \) a \(q \) yn gyd-rifau gan fod y ddau yn eilrifau.
8. Felly, rhaid bod \(\sqrt{2}\) yn afresymol.
#### 3. Prawf trwy Flinedd
Mae prawf drwy flinder, neu ddadansoddiad achos, yn cynnwys rhannu'r datganiad yn nifer gyfyngedig o achosion a phrofi bod pob achos yn wir. Mae'r dull hwn yn arbennig o ddefnyddiol pan fo nifer yr achosion yn fach iawn i'w reoli.
enghraifft:
Profwch fod sgwâr cyfanrif bob amser yn an-negatif:
1. Ystyriwch y cyfanrif \(n \).
2. Achos 1: \(n \geq 0 \). Yn yr achos hwn, \(n^2 \geq 0 \).
3. Achos 2: \(n < 0 \). Yma, \( n^2 = (-n)^2 \), sydd yn dal i fod yn \(\geq 0 \).
Yn derfynol, ym mhob achos, nid yw \(n^2 \) yn negatif.
#### 4. Prawf drwy Anwythiad Mae anwythiad mathemategol yn ddull pwerus sy'n arbennig o ddefnyddiol wrth brofi datganiadau am gyfanrifau. Mae'n cynnwys dau brif gam: yr achos sylfaenol, sy'n gwirio'r datganiad ar gyfer y gwerth cychwynnol, a'r cam anwythol, sy'n profi, os yw'r datganiad yn dal ar gyfer cyfanrif mympwyol \(k \), ei fod hefyd yn dal ar gyfer \(k+1 \).
Enghraifft: Profwch, ar gyfer pob cyfanrif \(n \geq 1 \), fod swm y cyfanrifau \(n \) positif cyntaf yn \( \frac{n(n+1)}{2} \): 1. Achos Sylfaenol: Ar gyfer \(n = 1 \), yr ochr chwith yw \(1 \) a'r ochr dde yw \( \frac{1(1+1)}{2} = 1 \). Mae'r achos sylfaenol yn wir.
2. Cam Anwythol: Tybiwch fod y datganiad yn wir ar gyfer rhyw gyfanrif \(k \); hynny yw, \(1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} \).
3. Mae angen i ni brofi bod (1 + 2 + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2).
Gan ddechrau o'r rhagdybiaeth anwythol: \( 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \) \( = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \) \( = \frac{(k+1)(k+2)}{2} \).
Felly, trwy anwythiad, mae'r datganiad yn dal i bob \(n \geq 1 \).
#### 5. Prawf drwy Adeiladu Mae prawf drwy adeiladwaith yn dangos bodolaeth gwrthrych mathemategol drwy lunio'r gwrthrych yn benodol. Mae'r dull hwn yn aml yn rhoi mwy o fewnwelediad o'i gymharu â phrawf anadeiladol.
Enghraifft: Profwch fod rhif cysefin eilrif yn bodoli: 1. Ystyriwch rif 2.
2. Yn ôl y diffiniad, mae 2 yn rif cysefin oherwydd bod ganddo ddau rannwr positif gwahanol yn union: 1 a 2.
3. Mae 2 hefyd yn gyfartal gan ei fod yn weladwy gan 2.
4. Felly, mae 2 yn rhif cysefin eilrif.
#### 6. Prawf drwy Wrthenghraifft Er nad yw'n ddull o brofi, mae darparu gwrthenghraifft yn ffordd bwerus o wrthbrofi datganiad drwy ddangos bod o leiaf un achos yn methu. Mae'r dull hwn yn arbennig o ddefnyddiol ar gyfer diystyru damcaniaethau a dyfaliadau.
Enghraifft: Gwrthbrofi'r datganiad "Mae pob rhif cysefin yn odrif": 1. Ystyriwch rif 2.
2. Fel y dangoswyd yn flaenorol, mae 2 yn rhif cysefin.
3. Mae 2 hefyd yn eilrif, nid yn odrif.
4. Felly, mae'r datganiad "Mae pob rhif cysefin yn odrif" yn anghywir.
#### 7. Prawf drwy Wrthbositif Mae'r dull hwn yn cynnwys profi gwrthbositif goblygiad penodol. Gwrthwyneb y datganiad "Os P, yna Q" yw "Os nad Q, yna nid P". Mae'r ddau ddatganiad yn gyfwerth yn rhesymegol, felly mae profi'r gwrthpositif yn profi'r datganiad gwreiddiol.
Enghraifft: Profwch “Os yw rhif yn weladwy gan 6, yna mae'n weladwy gan 3” trwy'r gwrthbositif: 1. Y gwrthbwys yw "Os nad yw rhif yn weladwy gan 3, yna nid yw'n weladwy gan 6".
2. Tybiwch nad yw rhif \(n \) yn weladwy gan 3.
3. Mae hyn yn golygu nad oes cyfanrif \(k \) fel bod \(n = 3k \)
