Cwestiynau Enghreifftiol yn Trafod Fectorau Dau Ddimensiwn mewn System Gyfesurynnau
Mae fector yn faint sydd â maint a chyfeiriad. Defnyddir fectorau'n aml mewn amrywiol bynciau mathemateg a ffiseg i gynrychioli amrywiol ffenomenau. Yn yr erthygl hon, byddwn yn trafod enghreifftiau o fectorau dau ddimensiwn mewn system gyfesurynnau.
Cysyniadau Sylfaenol Fectorau mewn Systemau Cyfesurynnau
Gellir cynrychioli fector mewn system gyfesurynnau dau ddimensiwn fel \(\vec{A} = (a_1, a_2)\), lle mae \(a_1\) yn gydran-x y fector ac \(a_2\) yn gydran-y y fector. Gellir dadelfennu'r fector yn ddwy gydran, sef y gydran-x a'r gydran-y.
Adio a Thynnu Fector
Mae adio dau fector \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) a \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) yn:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
Er bod y gostyngiad yn:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
Lluosi Sgalar
Os yw \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ac mae \(k\) yn sgalar, yna mae \(k\vec{A}\) yn:
\[
k\vec{A} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)
\]
Maint Fector
Maint neu hyd y fector \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) yw:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
Fector Uned
Fector uned yw fector sydd â hyd o un uned. Fector uned \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) yw:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
Cwestiynau Enghreifftiol a Thrafodaeth
Cwestiwn 1: Adio a Thynnu Fectorau
Rhoddir dau fector fel a ganlyn: \(\vec{A} = (3, 4)\) a \(\vec{B} = (1, 2)\). Dewch o hyd i gynnyrch \(\vec{A} + \vec{B}\) a \(\vec{A} – \vec{B}\).
Trafodaeth:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
Cwestiwn 2: Lluosi Sgalar
O ystyried y fector \(\vec{C} = (2, -3)\), cyfrifwch \(3\vec{C}\) a \(-2\vec{C}\).
Trafodaeth:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
Cwestiwn 3: Maint Fector
Cyfrifwch faint y fector \(\vec{D} = (5, 12)\).
Trafodaeth:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
Cwestiwn 4: Fectorau Uned
Dewch o hyd i fector uned y fector \(\vec{E} = (4, 3)\).
Trafodaeth:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\hat{E} = \frac{\vec{E}}{|\vec{E}|} = \left( \frac{4}{5}, \frac{3}{5} \right)
\]
Cwestiwn 5: Safle a Phellter Fectorau
Dau bwynt yn y plân cyfesurynnau dau ddimensiwn yw P(2, 3) a Q(5, 7). Pennwch y fector safle o bwynt P i bwynt Q a'r pellter rhyngddynt.
Trafodaeth:
Y fector safle o P i Q yw:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} – \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
Y pellter rhwng pwyntiau P a Q yw:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
Cwestiwn 6: Canlyniad Cynnyrch Dot
Os yw \(\vec{F} = (-3, 4)\) a \(\vec{G} = (2, 1)\), cyfrifwch luoswm dot \(\vec{F} \cdot \vec{G}\).
Trafodaeth:
Cynnyrch dot dau fector yw:
\[
\vec{F} \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
Cwestiwn 7: Ongl Rhwng Dau Fector
Os yw H = (7, -4) ac I = (3, 0), pennwch yr ongl rhwng y ddau fector.
Trafodaeth:
I bennu'r ongl rhwng dau fector, rydym yn defnyddio'r fformiwla:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
Yn gyntaf, cyfrifwch y lluoswm dot \(\vec{H} \cdot \vec{I}\):
\[
\vec{H} \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
Yna, cyfrifwch feintiau \(\vec{H}\) a \(\vec{I}\):
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
Rhowch y gwerthoedd hyn yn y fformiwla:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
Felly, (theta = cos^{-1} (frac{7}{qrt{65})).
Cwestiwn 8: Tafluniad Fector
Ar gyfer y fectorau \(\vec{J} = (2, 1)\) a \(\vec{K} = (-1, 3)\), cyfrifwch dafluniad \(\vec{J}\) ar \(\vec{K}\).
Trafodaeth:
Y tafluniad o \(\vec{J}\) ar \(\vec{K}\) yw:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
Yn gyntaf, cyfrifwch y lluoswm dot \(\vec{J} \cdot \vec{K}\):
\[
\vec{J} \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
Yna, maint \(\vec{K}\):
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
Felly hynny,:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
Rhowch yn y fformiwla:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
Dyma enghreifftiau o broblemau a thrafodaethau sy'n gysylltiedig â fectorau dau ddimensiwn mewn system gyfesurynnau. Gall dealltwriaeth dda o fectorau fod yn ddefnyddiol mewn llawer o gymwysiadau mewn mathemateg, ffiseg a pheirianneg. Gall ymarfer gydag amryw o enghreifftiau ddyfnhau eich dealltwriaeth o'r cysyniad hwn, gan ganiatáu iddo gael ei gymhwyso'n effeithiol mewn amrywiaeth o sefyllfaoedd.
